2023-2024學(xué)年上海市徐匯區(qū)高一上冊期末數(shù)學(xué)學(xué)情檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市徐匯區(qū)高一上冊期末數(shù)學(xué)學(xué)情檢測模擬試題一、填空題1．設(shè)集合，，，則______．【正確答案】##【分析】利用補(bǔ)集及交集的定義運算即得.【詳解】因為，所以，又因為，所以.故答案為.2．關(guān)于的不等式，解集為，則不等式的解集為___________.【正確答案】【分析】根據(jù)不等式的解集為，可得是方程的兩根，即可求出a的值，代入所求不等式，根據(jù)一元二次不等式的解法，即可得答案.【詳解】由題意得，是方程的兩根，可得，解得，所以不等式為，整理為，解得，故答案為.本題考查含參的一元二次不等式的解法，考查分析理解，求值化簡的能力，屬基礎(chǔ)題.3．冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值為______．【正確答案】2【分析】利用冪函數(shù)定義求出m值，再借助冪函數(shù)單調(diào)性即可判斷作答.【詳解】解：因為函數(shù)是冪函數(shù)，則有，解得或，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，符合題意.所以的值為故4．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為_________.【正確答案】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求解規(guī)則求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，即，所以，所以，即，所以函數(shù)的定義域為.故答案為.5．設(shè)實數(shù)滿足，則________．【正確答案】或2【分析】結(jié)合對數(shù)的換底公式整理得，求出，結(jié)合對數(shù)和指數(shù)式的互化即可求出.【詳解】由于，所以原式轉(zhuǎn)化為，即，解得或，所以或．故答案為:或2.6．函數(shù)的值域是________.【正確答案】先求出函數(shù)的定義域為，設(shè)，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)性和值域，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出的單調(diào)性，從而可求出值域.【詳解】解：由題可知，函數(shù)，則，解得：，所以函數(shù)的定義域為，設(shè)，，則時，為增函數(shù)，時，為減函數(shù)，可知當(dāng)時，有最大值為，而，所以，而對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，∴函數(shù)的值域為.故答案為.關(guān)鍵點點睛：本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域問題，考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的單調(diào)性，利用“同增異減”求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查了數(shù)學(xué)運算能力.7．已知：，：，且是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是________．【正確答案】【分析】先求解絕對值不等式，由是的充分不必要條件，可得，列出不等式組，求解即可【詳解】記由是的充分不必要條件，可得，且故，且等號不同時成立，解得故8．設(shè)函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】由函數(shù)在每一段上都遞增，列出不等式，且有，再聯(lián)立求解即得.【詳解】因函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有在上遞增，于是得，在上也遞增，于是得，即，并且有，即，解得，綜上得：，所以的取值范圍是.故9．已知，且，則的最小值為_________．【正確答案】4【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.【詳解】，,，當(dāng)且僅當(dāng)=4時取等號，結(jié)合,解得，或時，等號成立.故本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，“1”的合理變換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10．給出下列四個結(jié)論函數(shù)的最大值為；已知函數(shù)且在上是減函數(shù)，則a的取值范圍是；在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于y軸對稱；在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱．其中正確結(jié)論的序號是______．【正確答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得二次函數(shù)的最值，求得的最小值為；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得a的取值范圍是；同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于x軸對稱；同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱．【詳解】對于，函數(shù)的最大值為1，的最小值為，錯誤；對于，函數(shù)且在上是減函數(shù)，，解得a的取值范圍是，錯誤；對于，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于x軸對稱，錯誤；對于，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，正確．綜上，正確結(jié)論的序號是．故答案為．本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．11．已知為R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則的值為______．【正確答案】##-0.8【分析】由題設(shè)條件可得的周期為2，應(yīng)用周期性、奇函數(shù)的性質(zhì)有，根據(jù)已知解析式求值即可.【詳解】由題設(shè)，，故，即的周期為2，所以，且，所以.故答案為.12．設(shè)，對任意實數(shù)x，記，其中．若至少有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為________．【正確答案】【分析】設(shè)，，分析可知函數(shù)至少有一個零點，可得出，求出的取值范圍，然后對實數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，綜合可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由可得.要使得函數(shù)至少有個零點，則函數(shù)至少有一個零點，則，解得或.①當(dāng)時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時函數(shù)只有兩個零點，不合乎題意；②當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，要使得函數(shù)至少有個零點，則，所以，，解得；③當(dāng)時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點個數(shù)為，合乎題意；④當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，要使得函數(shù)至少有個零點，則，可得，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為.方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、單選題13．若a，b，c∈R，a>b，則下列不等式恒成立的是（

）A．< B．a(chǎn)2>b2C．> D．a(chǎn)|c|>b|c|【正確答案】C【分析】舉特例即可判斷選項A，B，D，利用不等式的性質(zhì)判斷C即可作答.【詳解】當(dāng)a=1，b=-2時，滿足a>b，但，a2<b2，排除A，B；因>0，a>b，由不等式性質(zhì)得，C正確；當(dāng)c=0時，a|c|>b|c|不成立，排除D，故選：C14．下列命題中，真命題是（

）A． B．若且，則x，y至少有一個大于1C． D．的充要條件是【正確答案】B【分析】舉反例可判斷AD，由，可判斷C，由逆否命題與原命題同真假可證明B.【詳解】選項A，當(dāng)時，，錯誤；選項B，若，則，故若且，則x，y至少有一個大于1，正確；選項C，由于，故，錯誤；選項D，當(dāng)時，無意義，錯誤.故選：B15．若函數(shù)的零點與的零點之差的絕對值不超過0.25，則可以是A． B． C． D．【正確答案】D【詳解】函數(shù)的零點即函數(shù)與函數(shù)圖象交點橫坐標(biāo)，如圖，據(jù)根的存在性定理結(jié)合圖形不難判斷出，而選項A、B、C、D的零點分別為，可立即排除A、B、C，故選D．16．已知函數(shù)，若存在使得，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】，易得與的圖象關(guān)于直線對稱，由大小關(guān)系易判斷，再將全部代換為含a的式子得，令，利用換元法和對勾函數(shù)性質(zhì)進(jìn)而得解.【詳解】∵，∴與的圖象關(guān)于直線對稱，作出的大致圖象如圖所示，易知，由，即，，得，∵，∴，得，∴.設(shè)，則，.，當(dāng)且僅當(dāng)取到等號，故當(dāng)時，令，單減，，故.故選：A三、解答題17．已知集合或，集合．（1）若求和；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍．【正確答案】（1），；（2）.【分析】（1）當(dāng)時，，直接進(jìn)行集合的并集和補(bǔ)集并集計算即可求解；（2）由題意可得再討論和時列不等式組，解不等式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，集合或，，可得，因為，所以；（2）因為，所以，當(dāng)時，，可得，當(dāng)時或，可得，綜上所述：或．所以實數(shù)a的取值范圍為.18．已知關(guān)于x的不等式．(1)若，求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，則求m的取值范圍．【正確答案】(1)(2)【分析】(1)代入，根據(jù)二次不等式的解法即可求解；(2)分，和三種情況討論，時，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）當(dāng)，不等式，解得，或，故的解集是．（2）若，則解得，此時符合題意；若，二次函數(shù)開口向下，必然存在函數(shù)值小于0，此時符合題意；若，二次函數(shù)開口向上，若要不等式的解集非空，則需解得；綜上，的取值范圍是．19．十九大指出中國的電動汽車革命早已展開，通過以新能源汽車替代汽/柴油車，中國正在大力實施一項將重塑全球汽車行業(yè)的計劃.2022年某企業(yè)計劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本2000萬元，每生產(chǎn)x（百輛），需另投入成本（萬元），且．由市場調(diào)研知，每輛車售價5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完．(1)求出2022年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；(2)2022年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤．【正確答案】(1)(2)當(dāng)時，即2022年產(chǎn)量為100百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為2300萬元．【分析】（1）根據(jù)年利潤銷售額投入的總成本固定成本，分和兩種情況得到利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，當(dāng)時，利用基本不等式求的最大值，最后再比較即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，；（2）當(dāng)時，，這個二次函數(shù)的對稱軸為，所有當(dāng)時，為最大值，當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，，即當(dāng)時，取到最大值2300，，當(dāng)時，即2022年產(chǎn)量為100百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為2300萬元．20．已知函數(shù)（1）當(dāng)，時，解關(guān)于的方程；（2）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，求函數(shù)解析式；（3）在（2）的前提下，函數(shù)滿足，若對任意且，不等式恒成立，求實數(shù)m的最大值．【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）將，代入，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程，解方程進(jìn)而可得的值；（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)直接求解；（3）化簡可得，代入不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值，利用換元法及基本不等式直接求最值.【詳解】（1）當(dāng)，時，．即，解得：或（舍去），∴；（2）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即即恒成立，解得：，，或，經(jīng)檢驗，滿足函數(shù)的定義域為，．（3）當(dāng)時，函數(shù)滿足，∴，則不等式恒成立，即恒成立即恒成立，設(shè)，則，即，恒成立，由平均值不等式可得：當(dāng)時，取最小值．故，即實數(shù)m的最大值為．在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．21．已知函數(shù)（其中，且）的圖象關(guān)于原點對稱.（1）求，的值；（2）當(dāng)時，①判斷在區(qū)間上的單調(diào)性（只寫出結(jié)論即可）；②關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不同的解，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）或；（2）①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②.【分析】（1）由圖象關(guān)于原點對稱知：，結(jié)合函數(shù)解析式可得，即可求參數(shù).（2）由已知得，①為，的構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，由它們在上均單調(diào)遞增，即知的單調(diào)性；②由①整理方程得在區(qū)間上有兩個不同的解，令，有，結(jié)合基本不等式求其最值，進(jìn)而確定的取值范圍.【詳解】（1）由題意知：，整理得，即，對于定義域內(nèi)任意都成立，∴，解得或.（2）由知：，故①，由，在上均單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上的單調(diào)遞增.②由①知，可得，即在區(qū)間上有兩個不同的解，令，∴當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而在上遞減，在上遞增，且時.∴.關(guān)鍵點點睛：（1）利用函數(shù)的對稱性，結(jié)合解析式列方程求參數(shù)值；（2）根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成判斷單調(diào)性，應(yīng)用參變分離、換元思想，將方程轉(zhuǎn)化為在上存在不同的對應(yīng)相同的值，求參數(shù)范圍.2023-2024學(xué)年上海市徐匯區(qū)高一上冊期末數(shù)學(xué)學(xué)情檢測模擬試題一、填空題1．設(shè)實數(shù)滿足，則_________.【正確答案】【分析】根據(jù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化即可求解.【詳解】因為，所以，故162．已知函數(shù)是冪函數(shù)，則實數(shù)__________.【正確答案】2【分析】根據(jù)給定條件，利用冪函數(shù)的定義直接計算作答.【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得，所以.故23．已知集合，，則______．【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件求出集合B，再利用并集的定義直接計算作答.【詳解】解方程得：或，則，而，所以.故4．若指數(shù)函數(shù)在R上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是______.【正確答案】【分析】由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性去判斷即可解決.【詳解】由指數(shù)函數(shù)在R上是嚴(yán)格減函數(shù)可知，即故5．函數(shù)，的最大值為______.【正確答案】-2【分析】通過對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的最大值.【詳解】因為，則，由于是減函數(shù)，所以，故-26．已知，則____________.【正確答案】2【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得；【詳解】解：因為所以，解得故本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7．已知扇形的圓心角為，半徑為5，則扇形的面積為______.【正確答案】【分析】利用弧長公式先求解弧長，再利用扇形的面積公式求解.【詳解】因為扇形的圓心角為，半徑為，所以扇形的弧長，所以面積.故答案為.本題主要考查扇形的弧長公式與面積公式，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題..8．已知等式恒成立，其中，，為常數(shù)，則__________.【正確答案】【分析】本題首先可將等式轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)等式恒成立即可得出結(jié)果.【詳解】因為等式恒成立，所以恒成立，則.故9．設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，=____【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，得，由，得，代入已知的函數(shù)關(guān)系中，可得解.【詳解】是奇函數(shù)，，因為時，．當(dāng)時，，，所以時，．故填.本題考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求對稱區(qū)間上的函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題.10．關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是_________.【正確答案】【分析】令，所以函數(shù)的最大值為，即可求解.【詳解】令，所以函數(shù)的最大值為，要使得關(guān)于的不等式的解集為，所以.故答案為.本題主要考查了函數(shù)的恒成立問題的求解，其中解答中求得分段函數(shù)的最大值解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.11．設(shè)若是的最小值，則的取值范圍是.【正確答案】【詳解】由題意，當(dāng)時，的極小值為，當(dāng)時，極小值為，是的最小值，則.函數(shù)的最值問題..12．垃圾分類可以提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟(jì)價值，具有社會、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等幾方面的效益，某地街道呈現(xiàn)東西，南北向的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為1，兩街道相交的點稱為格點，若以互相垂直的兩條街道為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點，，，，，為垃圾回收點，請確定一個格點（除回收點外）________為垃圾集中回收站，使這6個回收點沿街道到回收站之間路程的和最短【正確答案】首先表示橫軸和縱軸方向的距離和，再根據(jù)含絕對值三角不等式求最值.【詳解】設(shè)格點的坐標(biāo)為，則，，根據(jù)含絕對值三角式可知橫軸方向距離和，，此時的最小值是14，此時三個等號成立的條件是，所以時，的最小值是，縱軸方向的距離和，此時的最小值是9，三個等號成立的條件是，即或，當(dāng)時，此時格點位置是，是垃圾回收點，舍去，所以，此時格點坐標(biāo)是.故關(guān)鍵點點睛：本題是具有實際應(yīng)用背景的習(xí)題，本題的關(guān)鍵是正確理解題意，并能轉(zhuǎn)化為橫軸距離和縱軸距離，利用含絕對值三角不等式求最值.二、單選題13．若，則“”是“，”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【正確答案】B【分析】寫出的等價條件，結(jié)合充分必要定義判斷即可.【詳解】由可得或，，∴推不出，，但，能推出，∴“”是“，”的必要非充分條件.故選：B14．用反證法證明命題：“已知，，若不能被5整除，則與都不能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為（

）A．、都能被5整除B．、不都能被5整除C．、至多有一個能被5整除D．、至少有一個都能被5整除【正確答案】D【分析】根據(jù)反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，可知應(yīng)假設(shè)命題的否定成立.【詳解】假設(shè)的內(nèi)容是命題“與都不能被5整除”的否定為“、至少有一個能被5整除”.故選：D15．定義在R上的偶函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】分和兩種情況討論，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可解得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，可化為，又為偶函數(shù)且，所以不等式可化為，因為在上是增函數(shù)，所以，解得；當(dāng)時，可化為，又為偶函數(shù)且，所以不等式可化為，因為在上是增函數(shù)，所以，解得；綜上所述：不等式的解集為.故選：D關(guān)鍵點點睛：利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解是解題關(guān)鍵.16．函數(shù)，其中P，M為實數(shù)集的兩個非空子集，又規(guī)定，，給出下列四個判斷：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確判斷有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)定義，結(jié)合特殊值，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對①：取，，滿足，但，，，故①錯誤；對②：若，由函數(shù)定義可得，所以，故②正確；對③：取，，滿足，但，，，故③錯誤；對④：假設(shè)，且，則存在，則所以所以，且，若，則，所以，所以，矛盾，假設(shè)不成立；若，則，矛盾，假設(shè)不成立；所以若，則，故④正確.故選：B.三、解答題17．已知角的終邊經(jīng)過點.(1)求的值；(2)求的值.【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義計算作答；（2）利用三角函數(shù)定義，結(jié)合差角的正弦公式計算作答.【詳解】（1）角的終邊經(jīng)過點，所以.（2）角的終邊經(jīng)過點，則該點到原點距離，因此，所以.18．已知，其中a為實數(shù).（1）當(dāng)時，證明函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)；（2）根據(jù)a的不同取值，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由.【正確答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)時，奇函數(shù)；當(dāng)時，非奇非偶函數(shù)，理由見解析.（1）當(dāng)時，得到函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可作出證明；（2）分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，設(shè)且，則，因為，可得又由，可得，所以所以，即，所以函數(shù)是上是嚴(yán)格增函數(shù).（2）由函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，當(dāng)時，函數(shù)，可得，此時函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)時，，此時且，所以時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù).19．研究表明：在一節(jié)40分鐘的網(wǎng)課中，學(xué)生的注意力指數(shù)與聽課時間（單位：分鐘）之間的變化曲線如圖所示，當(dāng)時，曲線是二次函數(shù)圖像的一部分；當(dāng)時，曲線是函數(shù)圖像的一部分，當(dāng)學(xué)生的注意力指數(shù)不高于68時，稱學(xué)生處于“欠佳聽課狀態(tài)”.（1）求函數(shù)的解析式；（2）在一節(jié)40分鐘的網(wǎng)課中，學(xué)生處于“欠佳聽課狀態(tài)”的時間有多長？（精確到1分鐘）【正確答案】（1）；（2）14分鐘.（1）根據(jù)題意，分別求得和上的解析式，即可求解；（2）當(dāng)和時，令，求得不等式的解集，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，因為，所以，所以，當(dāng)時，，由，解得，所以，綜上，函數(shù)的解析式為.（2）當(dāng)時，令，即，解得或（舍去），所以，當(dāng)時，令，得，所以，所以學(xué)生處于“欠佳聽課狀態(tài)”的時間長為分鐘.20．已知.(1)當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程有四個解，直接寫出的取值范圍；(2)若的定義域和值域均為，求實數(shù)的值；(3)若是上的嚴(yán)格減函數(shù)，且對任意的，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】(1)作圖見解析，；(2)2；(3).【分析】（1）把代入，分析函數(shù)的性質(zhì)及圖象特征，作出的圖象，再求出m的范圍作答.（2）根據(jù)給定條件，利用單調(diào)性求出函數(shù)最大值即可作答.（3）由單調(diào)性求出a的取值范圍，再求出在指定區(qū)間上的最值，列式求解作答.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，且，函數(shù)的圖象如圖，關(guān)于的方程有四個解，即直線與函數(shù)的圖象有4個公共點，由圖象，可得，所以的取值范圍是.（2）函數(shù)圖象的對稱軸為，依題意，，函數(shù)