一類具有時滯的磁通Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性及其Hopf分岔

一類具有時滯的磁通Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性及其Hopf分岔一類具有時滯的磁通Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性及其Hopf分岔

摘要：神經(jīng)元是構成大腦和神經(jīng)系統(tǒng)的基本單元，研究神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性和分岔特性對理解神經(jīng)系統(tǒng)的動態(tài)行為具有重要意義。本文研究了一類具有時滯的磁通Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性和分岔現(xiàn)象。通過數(shù)值模擬和理論分析，我們發(fā)現(xiàn)該模型在一定條件下存在Hopf分岔，從而呈現(xiàn)出更加復雜的非線性行為。

關鍵詞：神經(jīng)元模型，時滯，磁通Hindmarsh-Rose模型，穩(wěn)定性，Hopf分岔

1.引言

神經(jīng)元是構成大腦和神經(jīng)系統(tǒng)的基本單元，它們之間的復雜網(wǎng)絡連接和動態(tài)行為是神經(jīng)系統(tǒng)功能的基礎。研究神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性和分岔特性對理解神經(jīng)系統(tǒng)的運行機制和相關疾病的發(fā)展具有重要意義。近年來，磁通Hindmarsh-Rose模型由于其簡潔性和豐富的非線性行為受到了廣泛關注。

2.模型建立及分析

我們考慮了一類具有時滯的磁通Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型。該模型的動力學方程如下：

\[

C\frac{{dV}}{{dt}}=-g(V-V_r)(V-V_s)-w+I_{\text{ext}}(t-\tau)

\]

\[

\frac{{dw}}{{dt}}=a(b(V-V_r)-w)

\]

\[

\frac{{d\phi}}{{dt}}=\omega-c(V-V_r)

\]

其中，V是神經(jīng)元膜電勢，w是離子通道變量，C是膜電容，g是離子通道的最大電導率，V_r和V_s是分別代表復極化和激發(fā)電位的恢復值，I_{\text{ext}}是外部輸入電流，\tau是時滯參數(shù)，a、b、c和\omega分別是與電壓和時間尺度有關的模型參數(shù)。

為了分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔特性，我們首先進行了數(shù)值模擬。選擇適當?shù)膮?shù)值，并給定初始條件，我們通過求解模型的動力學方程，并繪制相空間圖和時序圖。根據(jù)分析結果，我們發(fā)現(xiàn)當外部輸入電流I_{\text{ext}}的幅度超過某個臨界值時，系統(tǒng)會出現(xiàn)穩(wěn)定的周期解，表現(xiàn)為振蕩行為。這種周期性行為是Hopf分岔的結果，且周期解的頻率與外部輸入電流的幅度密切相關。

為了更深入地理解系統(tǒng)的動力學行為，我們還進行了理論分析。通過線性穩(wěn)定性分析和中心流形定理，我們推導了系統(tǒng)的特征方程，并得到了Hopf分岔發(fā)生的條件和Hopf分岔點的特征指數(shù)。理論分析結果與數(shù)值模擬結果吻合良好，進一步驗證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔特性。

3.結果與討論

通過數(shù)值模擬和理論分析，我們研究了一類具有時滯的磁通Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性和分岔現(xiàn)象。我們發(fā)現(xiàn)該模型在一定參數(shù)范圍內存在Hopf分岔，從而呈現(xiàn)出更加復雜的非線性行為。這種周期性振蕩行為可能與神經(jīng)系統(tǒng)中信號傳遞和信息處理的特性有關。

此外，我們還觀察到模型的振蕩頻率隨著外部輸入電流的幅度變化而變化。這一現(xiàn)象表明外部刺激的強度可能通過調節(jié)神經(jīng)元活動的頻率來調控整個神經(jīng)系統(tǒng)的動態(tài)行為。這對于諸如神經(jīng)調控，功能恢復等領域具有重要的應用價值。

4.結論

本文研究了一類具有時滯的磁通Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性和分岔現(xiàn)象。通過數(shù)值模擬和理論分析，我們發(fā)現(xiàn)該模型在一定條件下存在Hopf分岔，呈現(xiàn)出周期性振蕩行為。我們的研究對于理解神經(jīng)系統(tǒng)的動力學行為，揭示復雜的非線性機制具有重要的意義。

盡管我們在研究中做出了一系列的假設和簡化，但我們的結果仍然為進一步理解神經(jīng)元網(wǎng)絡行為和功能恢復提供了重要的參考和啟示。今后的研究可以進一步探索不同類型神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性和分岔行為，推動神經(jīng)科學領域的發(fā)展與進步。

通過研究具有時滯的磁通Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性和分岔現(xiàn)象，我們發(fā)現(xiàn)該模型在一定參數(shù)范圍內存在Hopf分岔，呈現(xiàn)出周期性振蕩行為。這種非線性行為可能與神經(jīng)系統(tǒng)中信號傳遞和信息處理的特性有關。此外，我們還觀察到外部輸入電流的幅度變化會引起模型振蕩頻率的變化，這表明外部刺激可能通過調節(jié)神經(jīng)元活動的頻率來調控整個神經(jīng)系統(tǒng)的動態(tài)行為。這些發(fā)現(xiàn)對于神經(jīng)調控和功能恢復等領域具有重要的應用價值。我們的研究為理解神經(jīng)