201X-202x學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章函數(shù)應(yīng)用4.1.2利用二分法求方程的近似解北師大版必修1

1.2

利用二分法求方程的近似解1.2.一二一、二分法的定義對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷,且滿(mǎn)足f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過(guò)每次取函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的中點(diǎn),將區(qū)間一分為二,再經(jīng)比較,按需要留下其中一個(gè)小區(qū)間的方法稱(chēng)為二分法.3.一二【做一做1】以下函數(shù)圖像與x軸均有交點(diǎn),其中能用二分法求其函數(shù)零點(diǎn)的是()4.一二解析:依據(jù)“二分法〞求近似解的步驟,以及前提條件可知B正確.答案:B5.一二二、利用二分法求方程實(shí)數(shù)解的過(guò)程

6.一二利用二分法求方程實(shí)數(shù)解的過(guò)程可以用圖表示出來(lái).在這里:“初始區(qū)間〞是一個(gè)兩端函數(shù)值反號(hào)的區(qū)間;“M〞的含義是:取新區(qū)間,一個(gè)端點(diǎn)是原區(qū)間的中點(diǎn),另一端是原區(qū)間兩端點(diǎn)中的一個(gè),新區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值反號(hào);“N〞的含義是:方程解滿(mǎn)足要求的精度;“P〞的含義是:選取區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)作為方程的近似解.在二分法求方程解的步驟中,初始區(qū)間的選定,往往需要通過(guò)分析函數(shù)的性質(zhì)和試驗(yàn)估計(jì).初始區(qū)間可以選的不同,不影響最終計(jì)算結(jié)果.7.一二【做一做2】

下面是連續(xù)函數(shù)f(x)在[1,2]上一些點(diǎn)的函數(shù)值:由此可判斷,方程f(x)=0的一個(gè)近似解為

.(精確到0.1)

解析:由題中表格對(duì)應(yīng)的數(shù)值可得,函數(shù)零點(diǎn)一定在區(qū)間[1.4065,1.438]上,由精確度可知近似解可為1.4.答案:1.48.一二思考辨析判斷以下說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√〞,錯(cuò)誤的打“×〞.(1)用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值.()(2)用二分法求方程的近似解時(shí),精度可以為小數(shù)點(diǎn)后的任一位.()(3)二分法無(wú)規(guī)律可循.()(4)只有在求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)才用二分法.()答案:(1)×(2)√(3)×(4)×9.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析二分法定義的理解【例1】(1)用二分法求函數(shù)f(x)=x3+5的零點(diǎn)時(shí),可以取的初始區(qū)間為()A.[-2,1] B.[-1,0]C.[0,1] D.[1,2](2)以下圖像與x軸均有交點(diǎn),其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是()10.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析解析:(1)由于f(-2)=(-2)3+5=-3<0,f(1)=13+5=6>0,f(-2)·f(1)<0,因此可以將[-2,1]作為初始區(qū)間,應(yīng)選A.(2)B選項(xiàng)中,函數(shù)零點(diǎn)x0左右兩側(cè)的函數(shù)值均小于0,不能用二分法求零點(diǎn)近似值,應(yīng)選B.答案:(1)A(2)B1.在二分法中,初始區(qū)間的選擇不唯一,一般應(yīng)在兩個(gè)整數(shù)間,初始區(qū)間不同時(shí),二分的次數(shù)可能不同.2.如果函數(shù)f(x)的某個(gè)零點(diǎn)x0的左右兩側(cè)的函數(shù)值是同號(hào)的,那么這樣的零點(diǎn)就不能用二分法求解.11.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練1(1)以下函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是()A.f(x)=2x+3 B.f(x)=lnx+2x-6C.f(x)=x2-2x+1 D.f(x)=2x-1(2)用二分法求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,4)上的唯一零點(diǎn)近似值時(shí),f(2)f(4)<0,取區(qū)間(2,4)的中點(diǎn)x1==3,計(jì)算得f(2)f(x1)<0,那么函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A.(2,4) B.(2,3)C.(3,4) D.無(wú)法確定解析:(1)因?yàn)閒(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以在零點(diǎn)的左右兩側(cè)函數(shù)值同號(hào),所以不能用二分法求其零點(diǎn),應(yīng)選C.(2)由f(2)f(4)<0,f(2)f(3)<0知f(3)f(4)>0.故函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(2,3).答案:(1)C(2)B12.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析用二分法求方程的近似解【例2】

求方程lgx-2-x+1=0的近似解(精度為0.1).分析:先確定f(x)=lgx-2-x+1的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間,再用二分法求解.解:令f(x)=lgx-2-x+1,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)(證明略),所以f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)閒(1)=0.5>0,f(0.1)≈-0.933<0,所以方程在[0.1,1]內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解.使用二分法求解,如下表13.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析至此,得到區(qū)間[0.49375,0.55],其區(qū)間長(zhǎng)度為0.55-0.49375=0.05625<0.1,由于要求的精度為0.1,那么這一區(qū)間內(nèi)的任一數(shù)都可作為方程的近似解,不妨取0.5作為方程的近似解.14.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析利用二分法求方程近似解的本卷須知(1)要選好計(jì)算的初始區(qū)間,這個(gè)區(qū)間既要包含函數(shù)的零點(diǎn),又要使其長(zhǎng)度盡量小.(2)在求解過(guò)程中,可借助表格或數(shù)軸清楚地描寫(xiě)逐步縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的長(zhǎng)度.(3)根據(jù)給定的精確度,及時(shí)檢驗(yàn)所取區(qū)間長(zhǎng)度是否到達(dá)要求,以及時(shí)終止計(jì)算.15.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練2根據(jù)下表,用二分法求函數(shù)f(x)=x3-3x+1在區(qū)間(1,2)上的零點(diǎn)的近似值(精度0.1)是

.

解析:由題表可知f(1.5)·f(1.5625)<0,且|1.5625-1.5|=|0.0625|<0.1,故函數(shù)f(x)=x3-3x+1在區(qū)間(1,2)上的零點(diǎn)的近似值為1.6.答案:1.616.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析二分法在實(shí)際中的應(yīng)用【例3】中央電視臺(tái)有一檔娛樂(lè)節(jié)目“幸運(yùn)52〞,主持人給選手在限定時(shí)間內(nèi)猜某一物品的售價(jià)的時(shí)機(jī),如果猜中,就把物品獎(jiǎng)給選手.某次猜一種品牌的,價(jià)格在500~1000元之間,選手開(kāi)始報(bào)價(jià):1000元,主持人說(shuō):高了.選手緊接著報(bào)價(jià)900元,高了;700元,低了;880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你,猜中了.外表上看猜價(jià)格具有很大的碰運(yùn)氣的成分,實(shí)際上,游戲報(bào)價(jià)過(guò)程表達(dá)了“逼近〞的數(shù)學(xué)思想,你能設(shè)計(jì)出可行的猜價(jià)方案來(lái)幫助選手猜價(jià)嗎?解:取價(jià)格區(qū)間[500,1000]的中點(diǎn)750,如果主持人說(shuō)低了,就再取區(qū)間[750,1000]的中點(diǎn)875;否那么取另一個(gè)區(qū)間[500,750]的中點(diǎn);假設(shè)遇到小數(shù),那么取整數(shù),照這種方案,游戲過(guò)程猜價(jià)如下:750,875,812,843,859,851,經(jīng)過(guò)6次可以猜中價(jià)格.17.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析二分法在實(shí)際生活中經(jīng)常用到.如在平時(shí)的線路故障、氣管故障等檢查中,可以利用二分法較快地得到結(jié)果.還可用于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、資料查詢(xún)等方面.用二分法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)應(yīng)考慮的兩個(gè)問(wèn)題:一是轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題;二是逐步縮小考察范圍,逼近問(wèn)題的解.18.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練3某市A地到B地的線路發(fā)生故障,這是一條10km長(zhǎng)的線路,每隔50m有一根電線桿,最少經(jīng)過(guò)次查找,可將故障范圍縮小到50~100m.

解析:如下圖,可首先從中點(diǎn)C開(kāi)始查找,用隨身攜帶的工具檢查,假設(shè)發(fā)現(xiàn)AC段正常,那么故障在BC段,再到BC段中點(diǎn)D檢查,假設(shè)CD段正常,那么故障在BD段,再到BD段中點(diǎn)E檢查,如此這般,每次檢查就可以將待查的線路縮短一半,經(jīng)過(guò)7次查找,即可將故障范圍縮小到50~100m.答案:719.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析對(duì)二分法原理理解不到位而致誤

20.探究一探究二探究三易錯(cuò)辨析錯(cuò)解中沒(méi)有準(zhǔn)確理解二分法的原理,二分法是逐步逼近零點(diǎn)的方法,但有時(shí)零點(diǎn)恰好在端點(diǎn)或中點(diǎn)處.21.123451.以下函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是()解析:只有選項(xiàng)C滿(mǎn)足二分法求零點(diǎn)的兩個(gè)條件.答案:C22.123452.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以判定方程f(x)=ex-x-3的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(

)A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)解析:顯然f(1)·f(2)<0,而且在表中范圍最小.答案:C23.123453.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以判定方程ex-x-2=0的一個(gè)實(shí)根所在的區(qū)間為(k,k+1)(k∈N),那么k的值為.

解析:記f(x)=ex-x-2,那么該函數(shù)的零點(diǎn)就是方程ex-x-2=0的實(shí)根.由題表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零點(diǎn)存在性定理可得f(1)f(