第九講 二重積分的計(jì)算內(nèi)容提要與典型例題

講二重積分的計(jì)算內(nèi)容提要與典型例題2021/5/91

二重積分的計(jì)算方法是累次積分法，化二重積分為累次積分的步驟是：①作出積分區(qū)域的草圖②選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系③選定積分次序，定出積分限1.關(guān)于坐標(biāo)系的選擇

這要從積分區(qū)域的形狀和被積函數(shù)的特點(diǎn)兩個(gè)方面來(lái)考慮一、主要內(nèi)容2021/5/92被積函數(shù)呈常用極坐標(biāo)其它以直角坐標(biāo)為宜2.關(guān)于積分次序的選擇選序原則①能積分，②少分片，③計(jì)算簡(jiǎn)3.關(guān)于積分限的確定二重積分的面積元為正確定積分限時(shí)一定要保證下限小于上限積分區(qū)域?yàn)閳A形、扇形、圓環(huán)形2021/5/93看圖定限—穿越法定限和不等式定限先選序，后定限①直角坐標(biāo)系ⅰ先

y

后

x

，過(guò)任一x∈[a

,b

],作平行于

y

軸的直線穿過(guò)D的內(nèi)部從D的下邊界曲線穿入—內(nèi)層積分的下限從上邊界曲線穿出—內(nèi)層積分的上限ⅱ先x

后

y過(guò)任一

y∈[c,d]作平行于x

軸的直線定限2021/5/94左邊界——內(nèi)層積分的下限右邊界——內(nèi)層積分的上限則將D分成若干個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域再按上述方法確定每一部分的上下限分片計(jì)算，結(jié)果相加②極坐標(biāo)系積分次序一般是過(guò)極點(diǎn)O作任一極角為的射線從D的邊界曲線穿入從穿出ⅲ如D須分片2021/5/95——內(nèi)下限—內(nèi)上限具體可分為三種情況⑵極點(diǎn)在D的邊界上

是邊界在極點(diǎn)處的切線的極角絕大多數(shù)情況下為0⑶極點(diǎn)在D的內(nèi)部化累次積分后外限是常數(shù)內(nèi)限是外層積分變量的函數(shù)或常數(shù)極坐標(biāo)系下勿忘r⑴極點(diǎn)在D的外部2021/5/964.關(guān)于對(duì)稱(chēng)性

利用對(duì)稱(chēng)性來(lái)簡(jiǎn)化重積分的計(jì)算是十分有效的，它與利用奇偶性來(lái)簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算是一樣的，不過(guò)重積分的情況比較復(fù)雜，在運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性是要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面，不可誤用對(duì)①若D關(guān)于x

軸對(duì)稱(chēng)2021/5/972021/5/98②若D關(guān)于

y

軸對(duì)稱(chēng)③若D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2021/5/99——稱(chēng)為關(guān)于積分變量的輪換對(duì)稱(chēng)性是多元積分所獨(dú)有的性質(zhì)

奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)域的積分等于0，偶函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)域的積分等于對(duì)稱(chēng)的部分區(qū)域上積分的兩倍，完全類(lèi)似于對(duì)稱(chēng)區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分的性質(zhì)簡(jiǎn)述為“你對(duì)稱(chēng)，我奇偶”①、②、③簡(jiǎn)單地說(shuō)就是④若D關(guān)于直線

y=x

對(duì)稱(chēng)2021/5/9105關(guān)于二重積分的換元法f(x,y)在D上連續(xù)變換T：x=x(u,v),y=y(u,v)將uov

平面上的閉區(qū)域D1

變成

xoy

平面的閉區(qū)域D（1）x=x(u,v),y=y(u,v)在D1上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（2）在D1上2021/5/911基本要求:變換后定限簡(jiǎn)便，求積容易．注意2021/5/912二、例題分析例1計(jì)算解積分區(qū)域由不等式給出在不等式中取等號(hào)所得的曲線是兩個(gè)半圓但它們圍不成區(qū)域都有意義必須限制因此D只能在x=0

，x=2之間確定了積分區(qū)域后，再看被積函數(shù)結(jié)合積分區(qū)域的特點(diǎn)，化成極坐標(biāo)計(jì)算較為簡(jiǎn)單

2021/5/913顯然r

呢？極點(diǎn)在D的邊界上，所以

那就錯(cuò)了不能以為極點(diǎn)O在區(qū)域的邊界上就誤以為對(duì)

r

積分的下限為0定r

的積分限，應(yīng)先固定以原點(diǎn)為起點(diǎn)作射線這射線和兩個(gè)半圓相交穿入從從穿出積分限如何確定2021/5/914盡管極點(diǎn)在D的邊界上但極角為的射線并不是從極點(diǎn)穿入而不是域D的極坐標(biāo)表示為2021/5/915解D關(guān)于x,y

軸及原點(diǎn)及

y=x

對(duì)稱(chēng)故故例2計(jì)算2021/5/916解例3計(jì)算D1D22021/5/917解D的邊界極點(diǎn)在D的邊界上圓周在(0,0)的切線斜率為故例4計(jì)算2021/5/918例5計(jì)算D2D1解（和差化積）2021/5/919例6設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)求解D2021/5/920試將二重積分化成定積分解由積分域和被積函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性有用極坐標(biāo)例72021/5/921

為將二次積分化為所需要的定積分，須變換積分次序DD12021/5/922依題意，要化為定積分首先應(yīng)設(shè)法將二元函數(shù)化為一元函數(shù)自然想到用極坐標(biāo)其次，若先對(duì)

r

后對(duì)不可進(jìn)一步化為定積