勾股定理的應(yīng)用教案人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊

教學(xué)內(nèi)容分析勾股定理是中學(xué)數(shù)學(xué)重要定理之一，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.在利用勾股定理解決實(shí)際生活問題的過程中，能從實(shí)際問題中抽象出直角三角形這一幾何模型，利用勾股定理建立已知邊與未知邊長度之間的聯(lián)系，并進(jìn)一步求出未知邊長．強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)和應(yīng)用能力.運(yùn)用勾股定理證明直角三角形全等的HL判定定理，從中進(jìn)一步確認(rèn)，在直角三角形中，只要兩邊的大小確定，則這個(gè)三角形的形狀大小就確定了．運(yùn)用勾股定理，通過作直角三角形，畫出了長度為無理數(shù)的線段，并學(xué)習(xí)在數(shù)軸上畫出無理數(shù)表示的點(diǎn)的方法．通過本課的學(xué)習(xí)，體會(huì)勾股定理在數(shù)學(xué)中的地位和作用．教學(xué)時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意構(gòu)造勾股定理的使用條件，在應(yīng)用定理時(shí)關(guān)注數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想.教學(xué)目標(biāo)1.能運(yùn)用勾股定理及直角三角形的判定條件解決實(shí)際問題，感受數(shù)學(xué)的“轉(zhuǎn)化”思想，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.2.能用勾股定理證明直角三角形全等的“斜邊、直角邊”判定定理，能應(yīng)用勾股定理在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點(diǎn).教學(xué)重難點(diǎn)【重點(diǎn)】勾股定理的實(shí)際應(yīng)用問題.【難點(diǎn)】用勾股定理作出長度為無理數(shù)的線段.教學(xué)方法啟發(fā)法、探究法.教學(xué)過程（一）情境導(dǎo)入數(shù)學(xué)來源于生活，勾股定理的應(yīng)用在生活中無處不在.如圖，是一個(gè)邊長為1的正方體硬紙盒，現(xiàn)在A處有一只螞蟻，想沿著正方體的外表面到達(dá)B處吃食物，求螞蟻爬行的最短距離是多少.意圖：讓學(xué)生通過生活中的實(shí)際問題來引發(fā)思考，導(dǎo)入本節(jié)勾股定理的應(yīng)用學(xué)習(xí).效果：學(xué)生知道了勾股定理的應(yīng)用在生活中無處不在.新課講授勾股定理的應(yīng)用舉例：例1一個(gè)門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？問題1木板進(jìn)門框有幾種方法？問題2你認(rèn)為選擇哪種方法比較好？你能說出你這種方法通過的最大長度是什么？學(xué)生發(fā)現(xiàn)橫著或豎著都進(jìn)不去，應(yīng)當(dāng)想到試試斜著通過門框，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)直角三角形的問題，求出直角三角形的斜邊長再作比較.例2AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？問題1下滑前梯子底端B離墻角O的距離是多少？問題2下滑前后梯子與墻面、地面構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形，什么量沒有發(fā)生變化？問題3下滑后梯子底端外移的距離是哪條線段的長度？如何計(jì)算？意圖：讓學(xué)生能從實(shí)際生活的角度大膽去考慮，用生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)過的知識(shí)去解答，從而想到斜著通過門框，也就是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為了解直角三角形的問題.效果：學(xué)生通過例題初步將勾股定理應(yīng)用到了生活的實(shí)際問題中.歸納總結(jié)利用勾股定理解決實(shí)際問題的一般步驟：讀懂題意，分析已知、未知間的關(guān)系；構(gòu)造直角三角形；利用勾股定理等列方程；解決實(shí)際問題.練一練兩點(diǎn)，從與BA方向成直角的BC方向上的點(diǎn)C測得CA=130米，CB=120米，則AB為(A)意圖：歸納勾股定理解決實(shí)際問題的一般步驟，并通過練習(xí)來鞏固所學(xué).效果：通過歸納和練習(xí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)的方法.解決問題如圖，是一個(gè)邊長為1的正方體硬紙盒，現(xiàn)在A處有一只螞蟻，想沿著正方體的外表面到達(dá)B處吃食物，求螞蟻爬行的最短距離是多少.解：由題意得AC=2，BC=1，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=22+12=5∴AB=，即最短路程為.歸納在立體圖形中求最短距離的方法：意圖：運(yùn)用勾股定理解決最短問題，讓學(xué)生直觀的體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.效果：學(xué)生學(xué)會(huì)了將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，再利用勾股定理來解決最短問題.用勾股定理證明“HL”思考在八年級(jí)上冊中，我們曾經(jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等．學(xué)習(xí)了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=AB′AC=AC′．求證：△ABC≌△A′B′C′.教師引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖探究得到直角三角形全等的判定方法，運(yùn)用勾股定理更容易證明.意圖：發(fā)揮學(xué)生自主性，通過對勾股定理的理解，進(jìn)一步熟悉定理.建立勾股定理與全等的聯(lián)系，在解決實(shí)際問題或在數(shù)學(xué)應(yīng)用時(shí)，往往活學(xué)互用，體會(huì)內(nèi)在聯(lián)系.效果：學(xué)生加深了對勾股定理的理解，知道了知識(shí)點(diǎn)之間是互相聯(lián)系的.用勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)探究我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示13的點(diǎn)嗎？問題1我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)，有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù).你能在數(shù)軸上分別畫出表示3，2.5的點(diǎn)嗎？問題2求下列三角形的各邊長.問題3長為的線段能是直角邊的長都為正整數(shù)的直角三角形的斜邊嗎？思考根據(jù)上面問題你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)嗎？步驟：A，使OA=3;l⊥OA，在l上取一點(diǎn)B，使AB=2;O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于C點(diǎn)，則點(diǎn)C即為表示的點(diǎn).歸納總結(jié)利用勾股定理表示無理數(shù)的方法:利用勾股定理把一個(gè)無理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊.以原點(diǎn)為圓心，以無理數(shù)斜邊長為半徑畫弧與數(shù)軸存在交點(diǎn)，在原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示是負(fù)無理數(shù)，在原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示是正無理數(shù).類比遷移類似地，利用勾股定理可以作出長為...的線段.教師指導(dǎo)學(xué)生尋找長為2，3，，...這樣的包含在直角三角形中的線段.從而得到一個(gè)“數(shù)學(xué)海螺”.意圖：利用勾股定理和數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，將數(shù)和圖形聯(lián)系在一起，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)了數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)也加深了對勾股定理、數(shù)軸和實(shí)數(shù)的理解，規(guī)范學(xué)生的作圖語言和作圖方法.效果：學(xué)生學(xué)會(huì)了如何在數(shù)軸上作圖找到表示無理數(shù)的點(diǎn).例4如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，求a的值.易錯(cuò)點(diǎn)撥：求點(diǎn)表示的數(shù)時(shí)注意畫弧的起點(diǎn)不從原點(diǎn)起，因而所表示的數(shù)不是斜邊長.意圖：利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點(diǎn)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)的理論.效果：學(xué)生加深了對數(shù)軸上無理數(shù)的作圖的理解.課堂練習(xí)如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵2米，兩棵對相距8米.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵的樹梢，問小鳥至少飛行（B）8米B.10米C.12米D.14米2.如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)都是格點(diǎn)，則線段AB的長度為（A）3.如圖，學(xué)校教學(xué)樓前有一塊長方形長為4米，寬為3米的草坪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“徑路”，卻踩傷了花草.（1）求這條“徑路”的長；（2）他們僅僅少走了幾步(假設(shè)2步為1米)？解：(1)在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得∴這條“徑路”的長為5米.（2）他們僅僅少走了(3+45)×2=4(步).有一個(gè)圓柱形油罐，要以A點(diǎn)環(huán)繞油罐建梯子，正好建在A點(diǎn)的正上方點(diǎn)B處，問梯子最短需多少米(已知油罐的底面半徑是2m，高AB是5m，π取3）？解：油罐的展開圖如圖，則AB'為梯子的最短距離.∵AA'=2×3×2=12，A'B'=5，∴AB'=13.即梯子最短需13米.意圖：應(yīng)用勾股定理解決生活中的實(shí)際問題和幾何中的最短問題.效果：檢測了學(xué)生對勾股定理應(yīng)用的掌握情況.課堂小結(jié)先讓學(xué)生自己總結(jié)反思，然后同學(xué)之間進(jìn)行交流，再找學(xué)生談?wù)勛约旱氖斋@.方法：（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關(guān)系；（2）構(gòu)造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解決實(shí)際問題.2.利用勾股定理證明“HL”方法：（1）利用勾股定理把一個(gè)無理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊.（2）以原點(diǎn)為圓心，以無理數(shù)斜邊長為半徑畫弧與數(shù)軸存在交點(diǎn)，在原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示是負(fù)無理數(shù)，在原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示是正無理數(shù).意圖：總結(jié)反思是一節(jié)課必不可少的環(huán)節(jié)，有助于學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)和技能.效果：學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)知識(shí)有了系統(tǒng)的回顧.作業(yè)布置完成配套練習(xí)板書設(shè)計(jì)方法：（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關(guān)系；（2）構(gòu)造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解決實(shí)際問題.2.利用勾股定理證明“HL”方法：（1）利用勾股定理把一個(gè)無理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊.（2）以原點(diǎn)為圓心，以無理數(shù)斜邊長為半徑畫弧與數(shù)軸存在交點(diǎn)，在原點(diǎn)