股票市場(chǎng)分析方法綜述：從隨機(jī)波動(dòng)到動(dòng)力學(xué)過程

股票市場(chǎng)分析方法綜述：從隨機(jī)波動(dòng)到動(dòng)力學(xué)過程股票市場(chǎng)分析方法綜述：從隨機(jī)波動(dòng)到動(dòng)力學(xué)過程研究組在自然界、工程技術(shù)科學(xué)領(lǐng)域以及經(jīng)濟(jì)社會(huì)方面，波動(dòng)現(xiàn)象俯拾皆是。例如河流來(lái)水量的年際變化、太陽(yáng)黑子數(shù)量的變化、機(jī)械振動(dòng)、電路振蕩、物價(jià)指數(shù)和GDP的消長(zhǎng)、時(shí)尚的變化，等等。不同的波動(dòng)現(xiàn)象服從不同的規(guī)律。出于預(yù)測(cè)、控制和駕馭波動(dòng)的目的，人們?cè)谘芯扛鞣N波動(dòng)現(xiàn)象所服從的規(guī)律方面，投入了大量的財(cái)力、物力和心智；既取得了很大的進(jìn)展，也打開了更為廣闊的有待探索的空間。本文將對(duì)二十世紀(jì)八十年代及前有關(guān)股價(jià)波動(dòng)的某些研究作出綜述，其重點(diǎn)在于數(shù)學(xué)系統(tǒng)建模方面。一、隨機(jī)走動(dòng)與巴奇萊爾假設(shè)對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列數(shù)組（橫軸為時(shí)間t，縱軸為所關(guān)心的某一變量的值），它隨時(shí)間t變化的圖象應(yīng)該如何來(lái)表示呢？最易想到是如下的一個(gè)回歸模型：Xt=β1t+εt（εt是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值為零，方差為；對(duì)于不同的t值，可以假設(shè)εt是正態(tài)獨(dú)立分布的）。這個(gè)模型要求諸εt因而諸Xt是相互獨(dú)立的。但是，當(dāng)一個(gè)時(shí)間序列的諸Xt具有如下性質(zhì)時(shí)：即Xt-1大，Xt也一般趨向大值；如Xt-1小，Xt也趨向于小值；則上述模型對(duì)此數(shù)組顯然是不合適的。因?yàn)椋琗t可能依賴于Xt-1，Xt-1可能依賴于Xt-2，等等。例如，氣候變化常呈現(xiàn)連旱、連澇的圖景；而股票市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)通常也具有連漲連跌的模式（即追漲殺跌）。在這種情況下，我們寧可要一個(gè)表示Xt對(duì)Xt-1或Xt-1對(duì)Xt-2的這種依賴關(guān)系的模型，而不要表示Xt對(duì)t的依賴關(guān)系的模型?；窘y(tǒng)計(jì)方法主要基于假設(shè)數(shù)據(jù)在統(tǒng)計(jì)上是相互獨(dú)立的或互不相關(guān)的。這不能直接用于上述數(shù)據(jù)模式，因?yàn)樗鼈儾皇窍嗷オ?dú)立的。實(shí)際上，每一個(gè)數(shù)據(jù)組最重要和最有用的特性是多次觀測(cè)之間的依賴關(guān)系或相關(guān)性。依賴關(guān)系正是表征作為基礎(chǔ)的動(dòng)態(tài)或“記憶”性能的（在力學(xué)里稱之慣性）。一旦確定依賴關(guān)系的量值，則利用系統(tǒng)的依賴關(guān)系/動(dòng)態(tài)/記憶性能就可從系統(tǒng)的過去值預(yù)測(cè)其未來(lái)值。依賴關(guān)系或動(dòng)態(tài)的本質(zhì)是使一個(gè)系統(tǒng)與另一個(gè)系統(tǒng)相互區(qū)別開來(lái)。一階模型如此，可以把表示Xt與Xt-1關(guān)系的模型寫成Xt=?1Xt-1+at

（1）前式表示在同一時(shí)刻，一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依賴關(guān)系；（1）式則表示變量在不同時(shí)刻對(duì)其自身的依賴關(guān)系，即變量Xt對(duì)其自身回歸。因此，（1）式被稱為一階自回歸模型，用AR（1）表示。式（1）的AR（1）模型首先假設(shè)：在不同的t值上諸at是相互獨(dú)立的，且均值為零，為方便起見，也將假設(shè)at的分布是正態(tài)的。另外由于（1）式是一階自回歸或自回歸的，它就隱含地假定：at不依賴于Xt-2，Xt-3等等。如有一組數(shù)據(jù)，怎樣用一個(gè)AR（1）模型去“擬合”它，并獲得?1和的估計(jì)值呢？由于AR（1）模型恰好為條件回歸，可以通過使諸at的平方和為極小，用條件最小二乘估計(jì)的方法去求?1和（at的方差）。參數(shù)?1表示Xt對(duì)Xt-1之間的依賴程度，如依賴關(guān)系較強(qiáng)，則?1

的值將較大；反則反之。如果?1為零，則AR（1）模型變?yōu)椋篨t=at；如此，Xt實(shí)際上成為一個(gè)相互獨(dú)立的或不相關(guān)的序列（這是一個(gè)AR（O）模型）。在這種情況下，Xt隨Xt-1變化的圖形（即Xt-1為橫軸，Xt為縱軸）看起來(lái)將是不規(guī)則的、隨處散布的。顯然，AR（1）模型并不是適用于每一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)系統(tǒng)，但它對(duì)許多具有慣性特點(diǎn)的系統(tǒng)是一種近似良好的模型。通過對(duì)1961年5月17日至1962年11月2日IBM每日股價(jià)的研究便可以清楚地看到這一點(diǎn)（數(shù)據(jù)和圖示見附錄）。用條件最小二乘估計(jì)可計(jì)算上述IBM股價(jià)序列的AR（1）模型的參數(shù)，由此可求得：?1=0.999,

=52.61。相應(yīng)的計(jì)算和檢驗(yàn)表明at與at-1及at與Xt-2的關(guān)系沒有明顯違反上述基本假設(shè)的跡象。這樣，AR（1）模型（具有舍入的各參數(shù)）：Xt=0.999Xt-1+at,at～NID（0,52.61）可被認(rèn)為適用于IBM股價(jià)序列。這個(gè)AR（1）模型可以非常近似地表示為：Xt=Xt-1+at

（2）即：Xt-Xt-1=at或Xt=at，式中表示差分算子。由于?1接近于1，故（2）式是AR（1）模型的一個(gè)有趣的極限形式。首先，它表示系統(tǒng)的特點(diǎn)是慣性極大，即有強(qiáng)依賴關(guān)系或記憶性能。除了隨機(jī)相互獨(dú)立的增量at之外，當(dāng)模型從t-1時(shí)刻運(yùn)動(dòng)至t時(shí)，其數(shù)值或響應(yīng)保持不變。如沒有這個(gè)增量at，系統(tǒng)可能無(wú)限期地停留在同一狀態(tài)。AR（1）模型的極限形式（2）的一個(gè)直接結(jié)論是：基于Xt-1預(yù)測(cè)Xt，即。這樣，明天股價(jià)的最好預(yù)測(cè)或預(yù)報(bào)就是今天的股價(jià)，至少對(duì)于正在研究的IBM股價(jià)來(lái)說是如此。由于Xt-1=Xt-2+at-1，如將此代入（2），并繼續(xù)迭代下去，可得：Xt=at+at-1+at-2+…＝

（3）如此，Xt就簡(jiǎn)單地成為許多相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和。換言之，序列是每一時(shí)刻由隨機(jī)的一步加到先前的狀態(tài)上而產(chǎn)生的。由此，式（3）及式（2）被稱為“隨機(jī)走動(dòng)”模型。也就是說，股價(jià)的行為就像隨機(jī)走動(dòng)一樣，明天價(jià)格的最好預(yù)報(bào)就是今天的價(jià)格；這一個(gè)推斷早在1900年就由巴奇萊爾（Bachelier）提出了。現(xiàn)在稱之為巴奇萊爾假說。股價(jià)的波動(dòng)行為就像隨機(jī)走動(dòng)一樣，這一觀點(diǎn)至今仍在經(jīng)濟(jì)研究中占據(jù)主流地位；而且，它還成為市場(chǎng)有效性假設(shè)的基石。它假設(shè)市場(chǎng)價(jià)格是不可預(yù)測(cè)的，其檢驗(yàn)方法是通過市場(chǎng)價(jià)格遵從隨機(jī)游走模型等方法來(lái)實(shí)現(xiàn)的。市場(chǎng)有效性假設(shè)的含意是：市場(chǎng)價(jià)格的隨機(jī)波動(dòng)反映的正是一個(gè)功能良好、理性的有效市場(chǎng)，因此，任何人都不可能只依靠信息的分析來(lái)獲得套利的機(jī)會(huì)；由于證券價(jià)格是隨機(jī)波動(dòng)的，任何信息都不能影響市場(chǎng)價(jià)格的系統(tǒng)發(fā)展趨勢(shì)。在后文中，我們將會(huì)看到市場(chǎng)價(jià)格或股價(jià)波動(dòng)的不可預(yù)測(cè)性及其程度，不一定只依賴于隨機(jī)走動(dòng)模式。高階模型前述AR（1）模型對(duì)于IBM股價(jià)波動(dòng)的機(jī)理給出了一個(gè)定性的說明，即其是隨機(jī)走動(dòng)的。然而它是不是一個(gè)最合適的模型呢？為了回答這一問題需要把模型的選擇推廣到ARMA（n，n-1）的范圍，即（n階）自回歸（n-1階）滑動(dòng)平均模型。現(xiàn)在產(chǎn)生一個(gè)問題，是否總能用一個(gè)ARMA（n，n-1）模型去表示或近似表示一組數(shù)據(jù)呢？換言之，每一隨機(jī)系統(tǒng)能否用一個(gè)ARMA（n，n-1）模型去恰當(dāng)?shù)乇硎灸?？?duì)于平穩(wěn)隨機(jī)系統(tǒng)，包括其極限情況（例如隨機(jī)走動(dòng)），這個(gè)問題的答案是肯定的。利用希爾伯特空間（無(wú)窮維空間）上線性算子的基本理論，可以證明：對(duì)于離散的、連續(xù)的、標(biāo)量的以及向量的情況，用一個(gè)（n，n-1）階的自回歸滑動(dòng)平均模型可以把任一平穩(wěn)隨機(jī)系統(tǒng)逼近到所要求的精度。另外，所謂求和ARMA模型（即ARIMA）也可以作為ARMA（n，n-1）的特例來(lái)得到；例如隨機(jī)走動(dòng)Xt=at，是?1=1時(shí)的AR（1，0）；求和隨機(jī)走動(dòng)Xtat是?1=2，?2=-1和θ=0時(shí)的ARMA（2,1）等等。雖然，對(duì)n應(yīng)為多大沒有一個(gè)理論的極限，但在實(shí)用中，n值通常都是較小的；對(duì)于很多情況，n=2實(shí)際已足夠了。在實(shí)際中，大量的隨機(jī)系統(tǒng)可以恰當(dāng)?shù)赜肁RMA（2，1）模型來(lái)模擬。在研究連續(xù)系統(tǒng)時(shí)，ARMA（2，1）模型的重要性將變得特別明顯。ARMA（2，1）模型的方程如下：Xt=?1Xt-1+?2Xt-2-θ1at-1+at

(4)

對(duì)于IBM股價(jià)序列，由于高階模型的殘差平方和減小明顯，擬合了ARMA（2，1）、ARMA（4，3）、ARMA（6，5）和ARMA（8，7）模型系列，結(jié)果見附錄的表2；利用F-判據(jù)，合適的模型就是ARMA（6，5）。但是，AR（1）（即AR（1，0））模型的置信區(qū)間是最好的；如果選擇一個(gè)0.01的顯著水平，利用F分布的百分?jǐn)?shù)點(diǎn)表，則可以認(rèn)為AR（1）是合適的。IBM股價(jià)序列的AR（2，1）模型為：Xt=1.05Xt-1-0.05Xt-2-0.03at

-1+at其中?1接近于1，?2的值很小。因

此，當(dāng)

?1=1時(shí)的極限ARMA（1，1）模型

：Xt=Xt-1-θ1at-1+at，也可能是合適的；對(duì)于這個(gè)模型，只有一個(gè)參數(shù)，因?yàn)榫郸瘫坏窒篨t-Xt-1=（Xt-μ）-（Xt-1-μ）參數(shù)θ1的估值為：θ1＝-0.0848±0.1030，殘差平方和＝19334.2。這樣，這個(gè)極限的ARMA（1，1）模型也可以被認(rèn)為是合適的；盡管小的θ1值及其置信區(qū)間再次顯示出AR（1）模型（?1→1）或隨機(jī)走動(dòng)。但在處理指數(shù)平滑法預(yù)報(bào)股價(jià)時(shí)，此ARMA（1，1）的結(jié)果將是有用的。二、微分方程與動(dòng)力學(xué)用常系數(shù)微分方程表示的最簡(jiǎn)單系統(tǒng)是一階系統(tǒng)，從連續(xù)、離散關(guān)系的觀點(diǎn)來(lái)看，一階系統(tǒng)也是最簡(jiǎn)單的。因?yàn)樗木鶆虿蓸酉到y(tǒng)具有AR（1）模型的離散表達(dá)式。對(duì)于較高階系統(tǒng)，這將不再是正確的，例如，均勻采樣的二階連續(xù)系統(tǒng)一般不具有AR（2）的離散表達(dá)式。一階模型盡管簡(jiǎn)單，但一階微分方程仍能表示大量的實(shí)際系統(tǒng)，它所依據(jù)的基本假設(shè)是：在任何時(shí)刻，變量的變化率都與其量值成比例。這個(gè)假設(shè)對(duì)于許多實(shí)際系統(tǒng)（如轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械等）都非常接近于真實(shí)情況。該假設(shè)對(duì)于任何處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)受到小擾動(dòng)時(shí)也是正確的。因此，一階模型對(duì)許多隨機(jī)系統(tǒng)也是有用的。現(xiàn)考慮系統(tǒng)的響應(yīng)X（t），它在時(shí)刻t的變化率X′(t)

與該時(shí)刻的量值成比例，而符號(hào)相反，如果比例常數(shù)用a0表示，則系統(tǒng)的方程為：X′(t)=－a0X(t)

或X′(t)+a0X(t)=0

（5）上述方程的解為：X(t)=x(0)

通過引入“連續(xù)白噪聲”擾動(dòng)力函數(shù)Z（t），可把上述齊次微分方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)非齊次隨機(jī)微分方程：X′(t)+a

0X(t)=Z(t)

（6）式（6）表示連續(xù)時(shí)間一階自回歸系統(tǒng)。為了避免每次都使用連續(xù)一詞以便與離散AR系統(tǒng)相區(qū)別，下文將用A（1）表示它。這里，輸入Z（t）相應(yīng)于前文中離散形式的at，Z（t）具有零均值，并且在不同時(shí)刻是互不相關(guān)的。輸出X（t）也為一具有零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程；X（t）的相關(guān)或協(xié)方差函數(shù)是連續(xù)時(shí)間的函數(shù)，且當(dāng)正交分解已知時(shí)可以推導(dǎo)出來(lái)。應(yīng)該注意at的方差是；而Z（t）的方差為“無(wú)窮大”，這是白噪聲不存在這個(gè)具體事實(shí)的數(shù)學(xué)解釋。然而，在一個(gè)有限區(qū)間（例如Δ）上，白噪聲的積分的確存在，且方差實(shí)際上為Δ。在前述（6）式中，當(dāng)a0→0，易見A（1）模型變?yōu)閄′(t)=Z(t)

（7）這是連續(xù)時(shí)間下的隨機(jī)走動(dòng)。如同在離散情況已經(jīng)看到的那樣，隨機(jī)走動(dòng)簡(jiǎn)單地就是不相關(guān)的變量at的總和（參見（3）式）。自然，在連續(xù)情況下，它就是不相關(guān)白噪聲Z（t）的積分。當(dāng)a0趨于零時(shí)取極限，可得到上式的等效表達(dá)式：(8a)…

(8b)即Xt=at+at-1+at-2+……。這正是離散時(shí)間隨機(jī)走動(dòng)式（2），它是離散模型在a0→零時(shí)的極限情況。式（7）形式的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)走動(dòng)亦稱為獨(dú)立增量過程。因?yàn)樗诓贿B貫的間隔內(nèi)，過程的增量是相互獨(dú)立的，如兩間隔相重疊，則增量將為相關(guān)的。

前文已提到，隨機(jī)走動(dòng)模型是巴奇萊爾于1900年聯(lián)系股票價(jià)格提出的設(shè)想。維納及其他人在描述粒子懸浮在流體中，受流體分子隨擊沖擊下的布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)曾經(jīng)使用連續(xù)時(shí)間隨機(jī)走動(dòng)模型（7）。因此，連續(xù)時(shí)間隨機(jī)走動(dòng)也稱為巴奇萊爾一維納過程。在（5）式中，參數(shù)a0表示系統(tǒng)的阻尼、慣性或?qū)ζ胶馕恢酶淖兊淖枇?。參?shù)在概率意義上表示隨機(jī)擾動(dòng)力函數(shù)、噪聲或干擾力Z（t）的力量或強(qiáng)度，它導(dǎo)致發(fā)生改變并產(chǎn)生響應(yīng)X（t）。下述方程：X′(t)=-a0x(t)+Z(t)表示變化率也受隨機(jī)分量Z（t）的影響。-a0X（t）項(xiàng)的作用就象是恢復(fù)或阻尼力，要把系統(tǒng)推回到已假設(shè)為零的平衡或中間位置。只要-a0x（t）項(xiàng)占支配地位，響應(yīng)將停留在中間位置左右，并圍繞中間位置波動(dòng)。當(dāng)a0值變小時(shí)，隨機(jī)項(xiàng)Z（t）開始支配變化率X′(t)。噪聲Z（t）的符號(hào)可能為正或?yàn)樨?fù)，從而可能產(chǎn)生的變化率以隨機(jī)方式接近或者遠(yuǎn)離平衡位置。當(dāng)-a0接近于零時(shí)，則如式（7）所示，變化率完全由隨機(jī)項(xiàng)Z（t）支配，從而產(chǎn)生一隨機(jī)走動(dòng)，其響應(yīng)可能長(zhǎng)時(shí)間偏離平衡位置。式（7）表明，X（t）的導(dǎo)數(shù)是隨機(jī)的。而其采樣表達(dá)式（2）（即Xt=at）表明，在間隔相等的兩次觀測(cè)之間的差別是隨機(jī)的。比較式（8a）和（8b）及其后的離散時(shí)間隨機(jī)走動(dòng)公式清楚地顯示了連續(xù)和離散過程之間的關(guān)系。為了例示極限情況，試研究IBM股票價(jià)格序列。前文曾為此序列擬合了一個(gè)?=0.999和＝52.61的AR（1）模型。由于參數(shù)?為正值，此AR（1）模型也將是一個(gè)采樣系統(tǒng)模型，所以可由下式求得A（1）模型的參數(shù)。如取一天的采樣間隔作為時(shí)間單位，因而有Δ=1，則a0=-（ln?/△）=-Ln(0.999)=0.001=(2ao)/（1-?

2

）=

(2×0.001×52.61)/（1-0.999

2

）=52.66這樣，IBM股價(jià)（減去——即股價(jià)序列的平均值之后）的A（1）模型為：X′(t)+0.001X(t)=Z（t）這個(gè)例子說明了前文所討論的：當(dāng)aO→0時(shí)隨機(jī)走動(dòng)的極限情況。上述A（1）模型也可近似表為：X′(t)=Z(t)或

這是一個(gè)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)走動(dòng)，而作為股價(jià)基礎(chǔ)的連續(xù)時(shí)間過程是一種巴奇萊爾一維納過程。二階模型最重要和應(yīng)用最廣的隨機(jī)系統(tǒng)是以常系數(shù)二階線性微分方程表示的系統(tǒng)。下文通過研究彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)對(duì)連續(xù)時(shí)間白噪聲或擾動(dòng)力函數(shù)的響應(yīng)來(lái)處理作為隨機(jī)振動(dòng)提出的系統(tǒng)。與頻域法不同。這里是對(duì)隨機(jī)振動(dòng)進(jìn)行分析的時(shí)域法。對(duì)于許多系統(tǒng)。把二階微分方程的兩個(gè)系數(shù)解釋為恢復(fù)力和阻尼力是有用的；還要根據(jù)所給出的一組離散數(shù)據(jù)找出以微分方程形式表示的一個(gè)模型。試考慮一個(gè)彈簧－質(zhì)量－阻尼系統(tǒng)：擾動(dòng)力函數(shù)f（t）作用于質(zhì)量M，f（t）引起的運(yùn)動(dòng)受到彈簧和阻尼器的對(duì)抗：用X（t）表示質(zhì)量體對(duì)平衡位置的距離，并假設(shè)X（0）=0。如假設(shè)對(duì)平衡位置的偏移小，則重力的變化可以忽略，由彈簧產(chǎn)生的力可以認(rèn)為與位移X（t）成比例，而由阻尼器產(chǎn)生的力可以認(rèn)為與速度X′(t)成比例。沿f（t）方向量測(cè)的力及其符號(hào)為：f（t）為擾動(dòng)力系數(shù)；－KX（t）為彈簧力，K為彈簧常數(shù)；-CX′(t)為阻尼力，C為阻尼常數(shù)。

根據(jù)牛頓定律，可得質(zhì)量體M的運(yùn)動(dòng)方程f（t）－KX（t）－CX′(t)=M或

M+（C/M）X′(t)

+（K/M）X(t)=（1/M）f（t）

（9）令

=K/M或ωn=（K/M）1/2

和ζ=

=實(shí)際阻尼/臨界阻尼，則稱ωn為自然頻率，ζ為彈簧-質(zhì)量-阻尼器振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比。把式（9）化成熟悉的形式M

+2ζωnX′(t)

+

X（t）=（1/M）f（t）或（

D2+2ζωnD+）X(t)=(1/M)f(t)

(10)其中D為微分算子，（10）式表示一個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)力函數(shù)f（t）作用后的受迫振動(dòng)。為使A（n）系統(tǒng)的符號(hào)統(tǒng)一，先從（10）式的齊次形式入手，有（D

2

+a1D+a0）X（t）=0

(11)式中a1=2ζωn=C/M

(12)a0=

=K/M

(13)

引入擾動(dòng)力函數(shù)Z（t），可得A（2）系統(tǒng)的方程為（D

2

+a1D+a0）X（t）=Z（t）

(14)E[Z（t）]=0E[Z（t）Z（t-u）]=δ(u)（δ(u)為狄拉克函數(shù)）應(yīng)該注意，在對(duì)數(shù)據(jù)擬合A（2）模型（11）時(shí)，a0與a1是作為回歸系數(shù)求得的。這些系數(shù)分離為ζ與ωn是為了便于把響應(yīng)作為一種隨機(jī)振動(dòng)解釋。式（12）、（13）提供了這種分離，且把a(bǔ)1看作單位質(zhì)量、單位速度的系統(tǒng)阻尼力，把a(bǔ)0看作單位質(zhì)量、單位位移的恢復(fù)力。然而，這種類比不能延伸的太遠(yuǎn)，除非記錄是來(lái)自真實(shí)的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)，否則基于這種記錄的物理解釋只是一種抽象的概念，在處理提取數(shù)據(jù)的系統(tǒng)的參數(shù)和特性時(shí)應(yīng)該小心使用。前文已指出，在取作均值時(shí)，隨機(jī)振動(dòng)模型能恰當(dāng)?shù)財(cái)M合IBM股價(jià)數(shù)據(jù)。這就證實(shí)了巴奇萊爾的假說：股價(jià)的變化情況就像隨機(jī)走動(dòng)，因此，明天股價(jià)的最好預(yù)報(bào)是今天的價(jià)格。前已表明，在估計(jì)均值時(shí)，AR（1）模型也是合適的。不過ARMA（1，1）模型也可提供一個(gè)相當(dāng)好的擬合，盡管其中θ1＝-0.0848±0.1030的估計(jì)表明，95%的置信區(qū)間包括零，并且模型在趨向于一個(gè)隨機(jī)走動(dòng)模型。由此易見，如果擬合一個(gè)A（2）模型，則IBM股價(jià)序列將是一個(gè)好的實(shí)例。和離散模型擬合的情況一樣，對(duì)IBM數(shù)據(jù)，擬合的A（2）模型支持了它是一個(gè)隨機(jī)走動(dòng)的假說。因此，就預(yù)報(bào)股價(jià)而言，A（2）模型與隨機(jī)走動(dòng)兩者實(shí)際上將給出同樣的結(jié)果。由于接近于一個(gè)隨機(jī)走動(dòng)，明于股價(jià)的預(yù)報(bào)將是今天的價(jià)格。因此，一旦知道了模型接近于一個(gè)隨機(jī)走動(dòng)時(shí)，不論是離散的或連續(xù)的模型都不可能提供比今天的價(jià)格好得多的預(yù)報(bào)。但通過與有實(shí)際意義的振動(dòng)系統(tǒng)類比，連續(xù)的A（2）模型可以增加對(duì)股價(jià)歷史的深入了解。A（2）模型的參數(shù)可以導(dǎo)引出有關(guān)上市公司生產(chǎn)力的重要信息，它們通常反映在其股價(jià)的歷史（或時(shí)間歷程）上。雖然股價(jià)不能“有效”地預(yù)測(cè)出，但它們可用一個(gè)A（2）模型來(lái)表征。A（2）模型參數(shù)顯示出的股價(jià)歷史能表明：有關(guān)上市公司的生產(chǎn)力，其股價(jià)的穩(wěn)定性，其可供有利投資的潛力，特別是與其它上市公司的對(duì)比等方面的情況。如果簡(jiǎn)單地用一個(gè)隨機(jī)走動(dòng)模型擬合股價(jià)，那么所有這些問題仍都得不到答案。下面將闡明，通過擬合一個(gè)A（2）模型可以設(shè)法定量地回答其中的一些問題。A（2）模型的參數(shù)是用使殘差at的平方和為極小的方法進(jìn)行估計(jì)的。在每次選代中θ1是作為一個(gè)非獨(dú)立參數(shù)計(jì)算的。已擬合的離散模型的估計(jì)參數(shù)具有95%的置信區(qū)間。離散模型（Xt表示對(duì)均值的偏差）AR（2,1）如下：Xt-0.9985Xt-1+0.00078Xt-2=at+0.08742at-1?1

?2

θ1均值＝460.0590±7.2117殘差方差：51.999考慮置信區(qū)間，此模型可表示為：Xt=at

，這與隨機(jī)走動(dòng)模型相同。通過計(jì)算分析表明，上述離散模型變?yōu)橐粋€(gè)隨機(jī)走動(dòng)模型所必須的條件都得到滿足。于是作為基礎(chǔ)的A（2）模型為+7.155X′(t)+0.016X(t)=Z對(duì)于此式有ωn=0.1265和ζ=28.26。因此，IBM股價(jià)將用一高阻尼比28.26和相對(duì)較低的恢復(fù)力

=0.016來(lái)表征。這兩種情況都是直觀易解的。IBM在計(jì)算機(jī)市場(chǎng)所占的巨大份額和持久不衰的商譽(yù)是導(dǎo)致高阻尼比的緣故，高阻尼比表明其股價(jià)波動(dòng)不會(huì)有持久的影響。并將很快會(huì)被抑制住。另一方面，它的規(guī)模龐大，從而引起的靈活性損失則可能是小恢復(fù)力或“弱彈簧”作用的原因。ωn與ζ這兩個(gè)數(shù)值可用于比較兩個(gè)不同的公司，或同一公司在兩個(gè)不同時(shí)期的股價(jià)歷史，以其性能和穩(wěn)定性來(lái)表示。三、小結(jié)本文綜述了以ARMA模型作為一般工具對(duì)股價(jià)波動(dòng)進(jìn)行系統(tǒng)分析的主要內(nèi)容；這是二十世紀(jì)九十年代以前的基本成果，它的主要結(jié)論有以下幾點(diǎn)。第一，在一定的意義上論證了股價(jià)的波動(dòng)遵循隨機(jī)走動(dòng)，或說遵循馬爾科夫過程。假設(shè)現(xiàn)在IBM股價(jià)或大盤指數(shù)為100美元，如果股價(jià)遵從隨機(jī)走動(dòng)或馬爾科夫過程，則一個(gè)星期以前、一個(gè)月以前、或是一年以前的股價(jià)并不會(huì)影響我們對(duì)將來(lái)的預(yù)測(cè)；唯一相關(guān)的信息就是股價(jià)的現(xiàn)價(jià)為100美元。而對(duì)將來(lái)的預(yù)測(cè)是不確定的，必須以概率分布的方式表達(dá)。隨機(jī)走動(dòng)性質(zhì)隱含了在將來(lái)任一特定時(shí)刻股價(jià)的概率分布僅取決于股票當(dāng)前的價(jià)格100美元。第二，股價(jià)的隨機(jī)走動(dòng)性質(zhì)與弱型市場(chǎng)有效性相