第二章現代地圖學

新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎第2章地圖的數學基礎 §1地球體

§2地球坐標系與大地定位

§3地圖投影

§4地圖投影的應用

新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎§1

地球體1.1地球的自然表面——為了了解地球的形狀，讓我們由遠及近地觀察一下地球的自然表面。水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星冥王星新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎浩瀚宇宙之中:

地球是一個表面光滑、藍色美麗的正球體。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎機艙窗口俯視大地:

地表是一個有些微起伏、極其復雜的表面。

——

珠穆朗瑪峰與太平洋的馬里亞納海溝之間高差近20km。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎事實是： 地球不是一個正球體，而是一個極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎1.2地球的物理表面 當海洋靜止時，自由水面與該面上各點的重力方向（鉛垂線）成正交，這個面叫水準面。

在眾多的水準面中，有一個與靜止的平均海水面相重合，并假想其穿過大陸、島嶼形成一個閉合曲面，這就是大地水準面。它實際是一個起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包圍的形體稱為大地體。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎大地水準面的意義1.地球形體的一級逼近： 對地球形狀的很好近似，其面上高出與面下缺少的相當。2.起伏波動在制圖學中可忽略：

對大地測量和地球物理學有研究價值，但在制圖業(yè)務中，均把地球當作正球體。3.重力等位面： 可使用儀器測得海拔高程（某點到大地水準面的高度）。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎1.2地球的數學表面在測量和制圖中就用旋轉橢球體來代替大地球體，這個旋轉橢球體通常稱為地球橢球體，簡稱橢球體。

它是一個規(guī)則的數學表面，所以人們視其為地球體的數學表面，也是對地球形體的二級逼近，用于測量計算的基準面。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎橢球體

三要素:

長軸a（赤道半徑）、短軸b（極半徑）和橢球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter=12756.3km

polardiameter=12713.5km

equatorialcircumference=40075.1km

surfacearea=510064500km2

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a63781371—=298.257f對

a，b，f

的具體測定就是近代大地測量的一項重要工作。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎

對地球形狀a，b，f

測定后，還必須確定大地水準面與橢球體面的相對關系。即確定與局部地區(qū)大地水準面符合最好的一個地球橢球體——參考橢球體，這項工作就是參考橢球體定位。 通過數學方法將地球橢球體擺到與大地水準面最貼近的位置上，并求出兩者各點間的偏差，從數學上給出對地球形狀的三級逼近。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎

由于國際上在推求年代、方法及測定的地區(qū)不同，故地球橢球體的元素值有很多種。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎中國1952年前采用海福特（Hayford）橢球體；1953—1980年采用克拉索夫斯基橢球體（坐標原點是前蘇聯玻爾可夫天文臺）；自1980年開始采用GRS1975（國際大地測量與地球物理學聯合會IUGG1975推薦）新參考橢球體系，并確定陜西涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標系”大地坐標的起算點。陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標系”大地坐標的起算點——大地原點。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎

地球表面上的定位問題，是與人類的生產活動、科學研究及軍事國防等密切相關的重大問題。具體而言，就是球面坐標系統的建立?！?地球坐標系與大地定位2.1地理坐標

——用經緯度表示地面點位的球面坐標。①天文經緯度②大地經緯度③地心經緯度新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎①

天文經緯度：表示地面點在大地水準面上的位置，用天文經度和天文緯度表示。2.1地理坐標天文經度：觀測點天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。在地球上定義為本初子午面與觀測點之間的兩面角。天文緯度：在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎②

大地經緯度：表示地面點在參考橢球面上的位置，用大地經度l

、大地緯度

和大地高h

表示。2.1地理坐標大地經度l

：指參考橢球面上某點的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經為正，西經為負。大地緯度

：指參考橢球面上某點的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎③

地心經緯度：即以地球橢球體質量中心為基點，地心經度同大地經度l

，地心緯度是指參考橢球面上某點和橢球中心連線與赤道面之間的夾角y

。2.1地理坐標在大地測量學中，常以天文經緯度定義地理坐標。在地圖學中，以大地經緯度定義地理坐標。在地理學研究及地圖學的小比例尺制圖中，通常將橢球體當成正球體看，采用地心經緯度。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎2.2

中國的大地坐標系統1.中國的大地坐標系1980年以前：1952年前采用海福特（Hayford）橢球體1953—1980年采用克拉索夫斯基橢球體（坐標原點是前蘇聯玻爾可夫天文臺）1980年選用1975年國際大地測量協會推薦的參考 橢球：ICA-75橢球參數

a=6378140m

b=6356755m

f=1/298.257新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎2.中國的大地控制網平面控制網:按統一規(guī)范，由精確測定地理坐標的地面點組成，由三角測量或導線測量完成，依精度不同，分為四等。2.2

中國的大地坐標系統由平面控制網和高程控制網組成，控制點遍布全國各地。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎高程控制網

:

按統一規(guī)范，由精確測定高程的地面點組成，以水準測量或三角高程測量完成。依精度不同，分為四等。中國高程起算面是黃海平均海水面。1956年在青島觀象山設立了水準原點，其他各控制點的絕對高程均是據此推

算，稱為1956年黃海高程系。1987年國家測繪局公布：啟用《1985國家高程基準》取代《黃海平均海水面》其比《黃海平均海水面》上升29毫米。

青島觀象山水準原點2.2

中國的大地坐標系統新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎絕對高程相對高程國家水準原點

國家測繪局新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎平面控制網國家測繪局新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎高程控制網國家測繪局新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎水準面示意圖國家測繪局新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎GPS控制網國家測繪局新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎

2.3全球定位系統-GPS

全球定位系統(NavigationSatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem--GPS)：是以人造衛(wèi)星為基礎的無線電導航系統，可提供高精度、全天候、實時動態(tài)定位、定時及導航服務。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎1.GPS系統由三個獨立的部分組成空間部分：21顆工作衛(wèi)星，另3顆備用衛(wèi)星（白色）。它們在高度20200km的近圓形軌道上運行，分布在六個軌道面上，軌道傾角55°，兩個軌道面之間在經度上相隔60°，每個軌道面上布放四顆衛(wèi)星。衛(wèi)星在空間的這種配置，保障了在地球上任意地點，任意時刻，至少同時可見到四顆衛(wèi)星。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎

地面支撐系統：1個主控站，3個注入站，5個監(jiān)測站。它向GPS導航衛(wèi)星提供一系列描述衛(wèi)星運動及其軌道的參數；監(jiān)控衛(wèi)星沿著預定軌道運行；保持各顆衛(wèi)星處于GPS時間系統及監(jiān)控衛(wèi)星上各種設備是否正常工作等。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎

用戶設備部分：GPS接收機——接收衛(wèi)星信號，經數據處理得到接收機所在點位的導航和定位信息。通常會顯示出用戶的位置、速度和時間。還可顯示一些附加數據，如到航路點的距離和航向或提供圖示。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎2.GPS系統定位原理數據，組成3個方程式，就可以解出觀測點的位置（X,Y,Z）?？紤]到衛(wèi)星的時鐘與接收機時鐘之間的誤差，實際上有4個未知數，X、Y、Z和鐘差，因而需要引入第4顆衛(wèi)星，形成4個方程式以求解，從而得到觀測點經緯度和高程。

通過測量衛(wèi)星信號到達接收機的時間延遲，即可算出用戶到衛(wèi)星的距離。再根據三維坐標中的距離公式，利用3顆衛(wèi)星的新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎3.常用GPS測量模式

常規(guī)靜態(tài)測量：采用兩臺(或兩臺以上)GPS接收機，分別安置在一條或數條基線的兩端，同步觀測4顆以上衛(wèi)星，每時段根據基線長度和測量等級觀測45分鐘以上的時間。常用于建立全球性或國家級大地控制網、地殼運動監(jiān)測網。

快速靜態(tài)測量：這種模式是在一個已知測站上安置一臺GPS接收機作為基準站，連續(xù)跟蹤所有可見衛(wèi)星。移動站接收機依次到各待測測站，每測站觀測數分鐘。這種模式常用于控制網的建立及其加密、工程測量、地籍測量等。這種方法要求在觀測時段內確保有5顆以上衛(wèi)星可供觀測；流動點與基準點相距應不超過20km。靜態(tài)測量模式新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎準動態(tài)測量

在一已知測站上安置一臺GPS接收機作為基準站，連續(xù)跟蹤所有可見衛(wèi)星。移動站接收機在進行初始化后依次到各待測測站，每測站觀測幾個歷元數據。這種方法不同于快速靜態(tài)，除觀測時間不一樣外，它要求移動站在搬站過程中不能失鎖，并且需要先在已知點或用其它方式進行初始化。

這種模式可用于開闊地區(qū)的加密控制測量、工程定位及碎部測量、剖面測量及線路測量等。要求在觀測時段內確保有5顆以上衛(wèi)星可供觀測；流動點與基準點相距應不超過20km。動態(tài)測量模式新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎實時動態(tài)測量：DGPS和RTK

在一個已知測站上架設GPS基準站接收機和數據鏈，連續(xù)跟蹤所有可見衛(wèi)星，并通過數據鏈向移動站發(fā)送數據。移動站接收機通過移動站數據鏈接收基準站發(fā)射來的數據，并在機進行處理，從而實時得到移動站的高精度位置。DGPS通常叫做實時差分測量，精度為亞米級到米級，這種方式是基準站將基準站上測量得到的RTCM數據通過數據鏈傳輸到移動站，移動站接收到RTCM數據后，自動進行解算，得到經差分改正以后的坐標。

RTK則是以載波相位觀測量為根據的實時差分GPS測量，它是GPS測量技術發(fā)展中的一個新突破。它的工作思路與DGPS相似，只不過是基準站將觀測數據發(fā)送到移動站（而不是發(fā)射RTCM數據），移動站接收機再采用更先進的在機處理方法進行處理，從而得到精度比DGPS高得多的實時測量結果。這種方法的精度一般為2cm左右。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎§3地圖投影

3.1地圖投影的意義

地球橢球體表面是不可展曲面，要將曲面上的客觀事物表示在有限的平面圖紙上，必須經過由曲面到平面的轉換。地圖投影：在地球橢球面和平面之間建立點與點之間函數關系的數學方法，稱為地圖投影。

地圖投影的實質：是將地球橢球面上的經緯線網按照一定的數學法則轉移到平面上。x=f1(j,l)

y=f2(j

,l)新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎3.2地圖的比例尺

1.地圖比例尺的含義地圖比例尺：地圖上一直線段長度與地面相應直線水平投影長度之比。可表達為（d為圖上距離，D為實地距離）

根據地圖投影變形情況，地圖比例尺分為：主比例尺：

在投影面上沒有變形的點或線上的比例尺。局部比例尺：在投影面上有變形處的比例尺。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎2.地圖比例尺的表示 ①

數字式比例尺

如1:10000 ②文字式比例尺

如百萬分之一 ③

圖解式比例尺 直線比例尺 斜分比例尺 復式比例尺 ④

特殊比例尺 變比例尺 無級別比例尺新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎3.3地圖投影變形1.投影變形的概念

把地圖上和地球儀上的經緯線網進行比較，可以發(fā)現變形表現在長度、面積和角度三個方面。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎2.變形橢圓 取地面上一個微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當作平面看待），它投影到平面上通常會變?yōu)闄E圓，通過對這個橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。為經線長度比；為緯線長度比新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎微小圓→變形橢圓該方程證明:地球面上的微小圓，投影后通常會變?yōu)闄E圓，即：以O'為原點，以相交成q角的兩共軛直徑為坐標軸的橢圓方程式。代入：X2+Y2=1，得新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎特別方向：變形橢圓上相互垂直的兩個方向即經向和緯向長軸方向（極大值）a短軸方向（極小值）b經線方向m；緯線方向n主方向據阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎在研究投影時，可借助變形橢圓與微小圓比較，來說明變形的性質和數量。橢圓半徑與小圓半徑之比，可以說明長度變形。橢圓面積與小圓面積之比，可以說明面積變形。橢圓上任意兩條方向線的夾角與小圓上相應的兩方向線夾角之差為角度變形。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎3.投影變形的性質和大小

長度比和長度變形：投影面上一微小線段（變形橢圓半徑）和球面上相應微小線段（球面上微小圓半徑，已按規(guī)定的比例縮?。┲?。

m表示長度比，Vm表示長度變形

長度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。=0不變>0變大<0變小新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎很明顯的看出長度變形是隨方向的變化而變化，在長短半徑方向上有極大和極小長度比a和b，而長短半徑方向之間，長度比μ，為b<μ<a新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎面積比和面積變形：投影平面上微小面積（變形橢圓面積）dF′與球面上相應的微小面積（微小圓面積）dF之比。

P

表示面積比

Vp

表示面積變形

P=a·b=m

·

n(q=90)

P=m

·

n

·sinq

(q≠90)面積比是變量，隨位置的不同而變化。=0不變>0變大<0變小新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎 角度變形：投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以ω表示角度最大變形。 設A點的坐標為（x、y），A

′點的坐標為(x

′

、y

′)，則已知新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎將上式兩邊各用tana減和加即：將兩式相除，得：新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎顯然當（a+a

′）=90°時，右端取最大值，則最大方向變形：以w表示角度最大變形：若已知

m,n,q，則：＝4新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎等變形線在各種投影圖上，都存在著誤差或變形。并且各不同點的變形數量常常是不一樣的，為了便于觀察和了解繪制區(qū)域變形的分布。常用等變形線來表示制圖區(qū)域的變形分布特征。等變形線就是變形值相等的各點的連線，它是根據計算的各種變形的數值（如p,w）繪于經緯線網格內的，如面積等變形線。等變形線在不同的投影圖上，具有不同的形狀，在方位投影中，因投影中心點無變形，從投影中心向外變形逐漸增大，等變形線成同心圓狀分布。等變形線通常是用虛線來表示的。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎3.5地圖投影分類1.按地圖投影的構成方法分類（1）幾何投影:

將橢球面上的經緯線網投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面?？梢愿鶕队懊娴念愋秃推渑c地球橢球體的關系劃分。按投影面的類型

方位投影:以平面作投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經緯線投影到平面上而成。圓柱投影:以圓柱面作投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。 圓錐投影:以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎3.5地圖投影分類1.按地圖投影的構成方法分類（1）幾何投影（2）:按投影面的類型按投影面和地球橢球體的位置關系分正軸、橫軸、斜軸按投影面和地球橢球體的相切或者相切關系分切投影、割投影新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎（2）非幾何投影：

根據某些條件，用數學解析法確定球面與平面之間點與點的函數關系。 偽方位投影：在方位投影的基礎上，根據某些條件改變經線形狀而成，除中央經線為直線外，其余均投影為對稱中央經線的曲線。 偽圓柱投影：在圓柱投影基礎上，根據某些條件改變經線形狀而成，無等角投影。除中央經線為直線外，其余均投影為對稱中央經線的曲線。 偽圓錐投影：在圓錐投影基礎上，根據某些條件改變經線形狀而成，無等角投影。除中央經線為直線外，其余均投影為對稱中央經線的曲線。 多圓錐投影：設想有更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經線的延長線上。中央經線為直線，其余經線投影為對稱于中央經線的曲線。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎2.按地圖投影的變形性質分類

等角投影:投影面上某點的任意兩方向線夾角與橢球面上相應兩線段夾角相等，即角度變形為零ω=0（或a=b，m=n）。

等積投影:投影面與橢球面上相應區(qū)域的面積相等，即面積變形為零Vp=0（或

P=1，a=1/b）。

任意投影:投影圖上，長度、面積和角度都有變形，它既不等角又不等積。其中，等距投影是在特定方向上沒有長度變形的任意投影（m=1）。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎地圖投影的命名四個方面地球橢球體與投影面的相對位置地圖投影的變形性質投影面和地球橢球體的相切和相割投影面的類型如：正軸等角割圓錐投影、橫軸等角切圓柱投影新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎3.4地圖投影方法1.

幾何投影法

地圖投影最初建立在透視的幾何原理上，它是把橢球面直接透視到平面上，或透視到可展開的曲面上，如平面、圓柱面和圓錐面。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎2.

數學解析法——以正軸圓錐投影為例經線

投影為放射直線，經差l與投影面上d成正比：d=α

·l（α為圓錐系數，0<α

<1）。緯線

投影為同心圓弧，其半徑r是緯度

的函數，r

=f（

）。圓錐投影的一般公式為：X=r

s－

r

cosδr

=f(

)

Y=r

sind

d

=α

·l新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎等角投影（也稱蘭勃特lambert）條件：ω=0，m=n，構成經移項、積分、整理得：n－ααk積分常數為赤道的投影半徑新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎等角圓錐一般公式新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎單標準緯線標準緯線處n＝1雙標準緯線新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎等角圓錐投影應用1962年國際地圖技術會議通過的制圖規(guī)范，百萬分之一地圖的數學基礎。全球的百萬分之一的地圖采用兩種投影，北緯84及南緯80之間采用等角圓錐投影，極地附近等角方位投影分幅：（每一幅單獨投影）緯60度以下緯差4經差660～76，4、1276～84，4、2484～88，4、3688以上一幅變形情況：長度中緯-0.027％邊緯+0.037％（北）+0.034％（南）面積兩倍于長度1978年我國采用同樣的分幅規(guī)則和投影方法標準緯線不同±

35’長度變形邊緯中緯±0.030％，面積變形兩倍新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎等角切圓錐投影

相切的緯線沒有變形長度比為1。其他緯線投影后為擴大的同心圓弧并且離開標準緯線越遠，這種擴大的變形程度也就越大，經線為過緯線圓心的一束直線。由于m=n所以在緯線方向上擴大多少，就在經線上擴大多少。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎等角割圓錐投影

相割的兩條緯線為標準緯線。長度比為1，沒有變形。兩條標準緯線之間緯線長度比小于1。兩條標準緯線之外，緯線長度比大于1。經線的變形長度也是如此。所以在等角割圓錐投影上從兩條標準緯線向外，緯線間距是逐漸增大的。從兩條標準緯線逐漸向里，緯線距離是縮小的。雙標準緯線等角圓錐投影，廣泛應用于中緯度地區(qū)的分國地圖和地區(qū)圖。例如“中國地圖集”各分省圖就是用的這種投影?！笆澜绲貓D集”大部分分國地圖采用該投影。世界上有些國家如法國、比利時、西班牙也都采用此投影作為地形圖的數學基礎。此外西方國家出版的許多掛圖地圖集中已廣泛采用等角圓錐投影。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎等積圓錐投影

面積比不變

等積切圓錐投影：相切的緯線沒有變形，長度比為1，其他緯線投影后均擴大并且離開標準緯線越遠，這種變形也就越大。所以投影后要保持面積相等，在緯線方向上變形擴大多少倍，那么在經線方向上就的縮小多少。所以在等積切圓錐投影圖上，緯線間隔從標準緯線向南向北是逐漸縮小的。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎等積割圓錐投影：兩條緯線為標準緯線其長度比等于1，兩條標準緯線之間，緯線長度比小于1，緯線間隔愈向中間就越大。在兩條標準緯線之外緯線長度比大于1，緯線間是逐漸縮小的。等積圓錐投影上面積沒有變形，但角度變形比較大，離開標準緯線越遠角度變形也就越大。等積圓錐投影常用以編制行政區(qū)劃圖，人口密度圖，及社會經濟地圖或某些自然圖。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎

等距圓錐投影

等距圓錐投影的條件是經線投影后保持正長，即經線方向上的長度比是1，沒有變形。在標準緯線上也均無變形。除此以外其他緯線均有變形。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎1.等距切圓錐投影：從標準緯線向南向北緯線長度比大于1，離開標準緯線越遠緯線長度變形、面積變形、角度變形也越大。2.等距割圓錐投影：兩條標準緯線內緯線長度比小于1，面積變形向負方向增大，兩條標準緯線之外，緯線長度比大于1，面積變形向正方向增加。角度變形離標準線越遠變形越大。等距圓錐投影，在面積變形方面比等角圓錐投影要小，在角度變形上比等積圓錐投影要小這種投影圖上最明顯的特點是：緯線間隔相等。這種投影變形均勻常用于編制各種教學用圖和中國大陸交通圖。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎總結：圓錐投影變形特性：同緯線上變形相等，等變形線與緯線的走向一致，標準緯線處n＝1，標準線內側<1外側n>1若標準緯線相同，采用不同性質的投影，變形不同，變形沿緯線長度比n相差較小，沿經線方向m相差較大因此圓錐投影適合中緯沿緯線延伸的區(qū)域中緯陸地多，經緯線形狀簡單，編圖、量算方便中科院1：400萬中國地勢圖，正軸等面積標準緯線25°、45°新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎思考題：編制中國教學地圖為什么多采用等距圓錐投影？新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎圓柱投影可以看成是圓錐投影的特殊情況，x=f(

)y=α

·λα是一個常數，當圓柱切于赤道時，等于赤道半徑，相割時，是割緯圈的緯圈半徑新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎正軸等角圓柱投影（墨卡托Mercator）應用于航海航空新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎在墨卡托投影中，赤道投影為正長，緯線投影成和赤道等長的平行線段，即離赤道越遠，緯線投影的長度也越大，為了保持等角條件，必須把地圖上的每一點的經線方向上的長度比和緯線方向上的長度比相等。所以隨著緯線長度比的增加，相應經線方向上的長度比也得增加，并且增加的程度相等。所以在墨卡托投影中，從赤道向兩極，緯線間隔越來越大。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎在墨卡托投影中，面積變形最大，如在緯度60度地區(qū)，經線和緯線比都擴大了2倍，面積比P=m*n=2*2=4，擴大了4倍，愈接近兩極，經緯線擴大的越多，在φ=80度時，經緯線都擴大了近6倍，面積比擴大了36倍，所以墨卡托投影在80度以上高緯地區(qū)通常就不繪出來了。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎等角航線（或稱斜航線）在此投影中表現為直線所謂等角航線，就是地球表面上與經線相交或相同角度的曲線，或者說地球上兩點間的一條等方位線，就是說船只要按照等角航向航行，不用改變方位角就能從起點到達終點。由于經線是收斂于兩極的，所以地球表面上的等角航線是除經線和緯線以外，以極點為漸近點的旋轉曲線，因墨卡托投影是等角投影，而且經線投影為平行直線，那末兩點間的那兩條等方位螺旋線在投影中只能是連接該兩點的一條直線。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎但是等角航線不是地球上兩點間的最短距離，地球上兩點間的最短距離，地球上兩點間的最短距離是通過兩點的大圓弧，（又稱大圓航線或正航線）。大圓航線它各經線的夾角是不等的，因此它在墨卡托投影圖上為曲線。如從非洲的好望角到澳大利亞的墨爾本，沿等角航線航行，航程是6020海里，沿大圓航線航行5450海里，二者相差570海里（約1000公里）。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎實際上在遠洋航行時，一般把大圓航線展繪到墨卡托投影的海圖上，然后把大圓航線分成幾段，每一段連成直線，就是等角航線。船只航行時，總的情況來說，大致是沿大圓航線航行。因而走的是一條較近路線，但就每一段來說，走的又是等角航線，不用隨時改變航向，從而領航十分方便。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎高斯-克呂格投影（橫軸等角切橢圓柱）中央經線和赤道投影后互相垂直；等角；中央經線長度不變投影長度比公式變形性質：中央經線長度不變；其余點的長度比大于1；同緯線上，離中央經線越遠變形越大；同經線上，緯度越低變形越大；沒有角度變形；長度比的等變形線平行于中央子午線用于1：50萬～1：1萬地形圖新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎通用橫軸墨卡托投影（UniversalTransverseMercator，UTM）橫軸等角割圓柱變形比新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎總結：圓柱投影的變形正軸情況下：隨著緯度的變化，與經度無關，切圓柱中赤道無變形，割方式標準緯線兩側增大經線平行，適意于低緯地區(qū)沿緯線延伸區(qū)域沿經線方向的區(qū)域，可以用橫軸墨卡托投影經線平行，編制世界時區(qū)圖（73年世界地勢圖1：1千萬。標準緯線35的墨卡托投影）斜軸墨卡托可以用于專用航海圖新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎方位投影方位投影是以平面作為投影面，使平面與地球表面相切或相割，將球面上的經緯線投影到平面上所得到的圖形。透視方位投影（透視法把地球表面投影到平面上的方法）非透視方位投影（借助于透視投影的方式，而附加上一定的條件，如加上等積、等距等條件所構成的投影）新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎透視方位投影視點位置不同球心投影球面投影正射投影投影面和地球相切位置的不同：正軸投影橫軸方位投影斜軸方位投影新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎非透視方位投影等角、等積、任意（等距）等條件等距方位投影和等積方位投影新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎等角方位新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎正軸等角緯線投影為以極點為圓心的同心圓，即緯線方向上的長度比大于1。赤道上的長度變形比原來擴大1倍經線投影為以極點為圓心的放射性直線束，經線夾角等于相應的經差這種投影的誤差分布由投影中心向外逐漸增大經緯線投影后，仍保持正交，沒有角度變形，但面積變形較大，在投影邊緣處更大新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎正軸等距方位

經線保持正長，經線上緯距保持相等特點經線投影后保持正長，所以投影后的緯線間距相等緯線投影后擴大，且自投影中心向外，經線擴大的程度是增加的，如當φ=30度時，在緯線方向擴大的程度比原來多21%，當φ=0度時，達57%，面積緯線長度等變形線為以投影中心為圓線的同心圓。在此投影中，球面上的微圓投影為橢圓，且誤差橢圓的長半徑和緯線方向一致，短半徑與經線方向一致，橢圓就越來越扁了。等距正軸方位投影常用來做兩極的投影。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎等積橫軸方位

投影面切于赤道上，面積沒有誤差通過投影中心的中央經線和赤道投影為直線，其他經緯線都是對稱于中央經線和赤道的曲線在中央經線上從中心向南向北，緯線間隔是逐漸縮小的，在赤道上，自投影中心向西向東，經線間隔也是逐漸縮小的。該投影常用于制東西半球。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎等積斜軸方位投影

投影面切于兩極和赤道間的任意一點上，面積保持不變中央經線投影為直線，其他經線投影為對稱于中央經線的曲線，緯線投影曲線。其特點是在中央經線上自投影中心向上、向下緯線間隔是逐漸縮小的，若中央經線上的緯線間隔相當，那就是等距斜軸方位投影。若間隔是逐漸增大的，是等角斜軸方位投影。等積和等距斜軸方位投影，常用作大洲圖，水陸半球圖，地震圖，航空圖和導彈發(fā)射圖。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎斜軸等積方位投影新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎斜軸等距方位投影新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎幾種方位投影變形性質的圖形判別方位投影經緯線形式具有共同的特征，判別時先看構成形式（經緯線網），判別是正軸、橫軸、斜軸方位投影。正軸投影，其緯線是以中心為圓心的同心圓，經線為放于投影心的放射狀直線，夾角相等。橫軸投影，赤道與中央經線為垂直的直線，其他經緯線為曲線。斜軸投影，除中央經線為直線外，其余的經緯線均為曲線。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎然后根據中央經線上經緯線圖的間隔變化，判別變形性質。等角方位投影，在中央經線上，緯線間隔從投影中心向外逐漸縮小，等距方位投影，在中央經線上緯線間隔相等。如上可判斷方位投影的變形性質及推斷出投影的名稱。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎總結：方位投影特點：在投影平面上，由投影中心（平面與球面的切點）向各方向的方位角與實地相等，其等變形線是以投影中心為圓心的同心圓。等角方位投影：可以用作大比例尺地圖，美國的UPS通用極球面投影（正軸等角割方位），我國百萬分之一的高緯地區(qū)等角方位等面積方位：東西半球橫軸等面積方位、水陸半球斜軸等面積方位，大州圖，等距離方位：世界地圖的極地圖部分正軸，斜軸的如航空地震應用等新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎思考？1.方位投影的概念、變形分布規(guī)律、適合制圖的區(qū)位和形狀。2.圓柱投影的概念、變形分布規(guī)律、適合制圖的區(qū)位和形狀。3.圓錐投影的概念、變形分布規(guī)律、適合制圖的區(qū)位和形狀。4.正、橫、斜軸方位投影的特點和應用。5.墨卡托投影的特點和應用。5.正軸圓錐投影的特點和應用。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎3.6地圖投影變換1.傳統地圖的投影變換

格網轉繪法（地圖資料投影格網和新地圖投影格網對應加密，手工逐點逐線轉繪）藍圖嵌貼法（按新比例尺曬成藍圖，切塊嵌貼在新地圖格網內，紙張或者薄膜的變形拉伸）新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎2.數字地圖的投影變換投影變換的一般公式X=f1(x,y)Y=f2(x,y)x=f1(

,l

) X=Φ1(

,l

)y=f2(

,l

) Y=Φ2(

,l

)

=

(x,y)l

=l(x,y)X=

1[

(x,y),l(x,y)]

Y=

2[

(x,y),l(x,y)]定域內單值、連續(xù)A投影 B投影反解代入B新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎如不知地圖的投影系統，可通過多項式實施變換：X=a00+

a10x+a20x2

+a01y

+a11xy

+a02y2

+

a30x3

+a21x2y

+a12xy2

+a03y3+…

Y=b00+

b10x

+b20x2

+b01y

+b11xy

+b02y2

+

b30x3

+b21x2y

+b12xy2

+b03y3+…

系數

aij，bij

可用多個已知坐標點求出。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎根據投影方程進行變換的實例等角圓柱投影→等角圓錐投影x=rk

lnU,y=rkl

y

U=e

n,l=—

rk

x(n=—)

rkr

=K/U2

X=r

s-

r

cosδd

=a

l

Y=r

sindK為積分常數，a為圓錐系數新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎根據投影方程進行變換的實例等距圓柱投影→等距圓錐投影x=s,y=rkl

yl=—

rk

yX=r

s-

(C-s)cos(a

·—)rk

yY=(C-s)

sin(a

·—)

rkr

=

C-s

X=r

s-

r

cosdd

=a

l

Y=r

sindC

為積分常數，s

為赤道到緯度

的經線弧長新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎§4地圖投影的應用4.1地圖投影的選擇依據

1.制圖區(qū)域的范圍、形狀和地理位置2.制圖比例尺3.地圖的內容4.出版方式新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎1.制圖區(qū)域的范圍、形狀和地理位置4.1地圖投影的選擇依據制圖區(qū)域的地理位置決定投影種類制圖區(qū)域的形狀直接制約投影選擇制圖區(qū)域的范圍大小影響投影選擇新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎2.制圖比例尺不同比例尺地圖對精度要求不同，投影亦不同。大比例尺地形圖，對精度要求高，宜采用變形小的投影，如分帶投影。中、小比例尺地圖范圍大，概括程度高，定位精度低，可有等角、等積、任意投影的多種選擇。4.1地圖投影的選擇依據新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎3.地圖的內容用途主題和內容不同，對投影的要求也不同。要求方向正確，應選擇等角投影要求面積對比正確，應選擇等積投影教學或一般參考圖，要求各方面變形都不大，則應選擇任意投影4.1地圖投影的選擇依據新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎4.出版方式單幅圖系列圖地圖集4.1地圖投影的選擇依據新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎

1.

高斯-克呂格投影（等角橫切橢圓柱投影） 以橢圓柱為投影面，使地球橢球體的某一經線與橢圓柱相切，然后按等角條件，將中央經線兩側各一定范圍內的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。

由德國數學家、天文學家高斯（C.F.Gauss，1777—1855）及大地測量學家克呂格（J.Krüger，1857—1923）共同創(chuàng)建。4.2地形圖投影新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎 此投影無角度變形，中央經線無長度變形。為保證精度，采用分帶投影方法： 經差6°或3°分帶，長度變形<0.14%新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎中國國家基本比例尺地形圖采用高斯-克呂格6°和3°分帶投影：

1∶2.5萬、1∶5萬、1∶10萬、1∶25萬、1∶50萬。

1：1萬、1：5000新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎各帶中央子午線經度(L)可用下式計算：

式中n為6°帶的帶號。已知某點大地經度L，可按下式計算該點所屬的帶號：

有余數時，為n的整數商+1新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎3°帶是在6°帶基礎上劃分的，其中央子午線在奇數帶時與6°帶中央子午線重合，每隔3°為一帶，共120帶，各帶中央子午線經度(L)為式中n′為3°帶的帶號。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎我國幅員遼闊，含有11個6°帶，即從13～23帶(中央子午線從75°～135°)，21個3°帶，從25～45帶。北京位于6°帶的第20帶，中央子午線經度為117°。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎高斯-克呂格直角坐標新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎yA=245863.7myB

=-168474.8myA通=20745863.7myB通=20331525.2m新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎2.

通用橫軸墨卡托投影——UTM投影

以橫軸橢圓柱面割于地球橢球體的兩條等高圈，按等角條件，將中央經線兩側各一定范圍內的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。又稱

UniversalTransverseMercator——UTM投影。

此投影無角度變形，中央經線長度比為0.9996，距中央經線約±180km處的兩條割線上無變形。亦采用分帶投影方法：經差6°或3°分帶。長度變形<0.04%新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎3.百萬分一地形圖投影新編國際百萬分一地圖采用雙標準緯線等角圓錐投影，自赤道起按緯差4°分帶，北緯84°以北和南緯80°以南采用等角方位投影。中國《1∶100萬地形圖編繪規(guī)范》規(guī)定采用邊緯線與中緯線長度變形絕對值相等的雙標準緯線等角割圓錐投影,按緯差4°分帶長度變形最大值:±0.03%面積變形最大值:±0.06%新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎4.3區(qū)域圖投影

1.方位投影

正軸方位投影(極地)正軸等角方位投影（美國UPS，100萬極地）正軸等距方位投影（極地，聯合國國徽）橫軸和斜軸方位投影(東西半球，航空等)新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎4.3區(qū)域圖投影

2.圓錐投影

以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎①正軸圓錐投影 經線:投影為放射直線，經差l與投影面上d成正比：d=Cl

（C為常數）。

緯線:投影為同心圓弧，其半徑r是緯度

的函數，r

=f（

） 圓錐投影的各種變形均是緯度

的函數，與經度l無關。適于制作中緯度沿東西方向延伸地區(qū)的地圖4.3區(qū)域圖投影新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎②等角割圓錐投影條件：w=0;

m=n;

n1=n2=1相割緯線：

1=25°

；

2=45°

4.3區(qū)域圖投影我國百萬分之一圖新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎③等積割圓錐投影條件：P=mn=1;n1=n2=1

多用于要求面積對比正確的圖種，如分布圖、類型圖、區(qū)劃圖如1:800萬，1:600萬，1:400萬《中華人民共和國地圖》采用了(

1=25°；

2=47°)的該投影。④等距割圓錐投影條件：m=1;n1=n2=1

原蘇聯出版的蘇聯全圖，采用(

1=47°；

2=62°)的該投影。4.3區(qū)域圖投影新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎

3.

偽圓錐投影

由法國彭納（R.Bonne）在圓錐投影的基礎上，根據某些條件改變經線形狀設計而成，故又稱彭納投影。緯線長度比

n=1，同心圓弧中央經線

m0=1其他經線為對稱m0的曲線常用于編制中緯度地區(qū)小比例區(qū)域圖4.3區(qū)域圖投影新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎4.4世界地圖投影主要類型：多圓錐投影、圓柱投影和偽圓柱投影

具體方案：等差分緯線多圓錐投影正切差分緯線多圓錐投影墨卡托（Mercator）投影摩爾威特（Mollweide）投影古德（Goode）投影新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎4.4世界地圖投影

1.多圓錐投影 設想更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經線的延長線上。中央經線為直線，其余經線投影為對稱中央經線的曲線。新編地圖學教程第2章地圖的數學基礎

普通多圓