高三北師大版數(shù)學(xué)（理）一輪課時(shí)檢測(cè) 13.2 合情推理與演繹推理 含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精13.2合情推理與演繹推理一、選擇題1．如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍,下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是()．解析該五角星對(duì)角上的兩盞花燈依次按逆時(shí)針?lè)较蛄烈槐K，故下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是A.答案A2．推理“①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③三角形不是矩形"中的小前提是（）A．① B．②C．③ D．①和②解析由演繹推理三段論可知，①是大前提；②是小前提；③是結(jié)論．答案B3．設(shè)f0(x)＝sinx，f1（x)＝f0′（x），f2(x)＝f1′（x),…，fn（x）＝fn－1′（x），n∈N,則f2013（x)＝（）A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析f1(x)＝(sinx)′＝cosx,f2（x)＝（cosx)′＝－sinx,f3(x）＝(－sinx)′＝－cosx,f4(x）＝（－cosx)′＝sinx，f5(x)＝（sinx）′＝cosx＝f1（x），f6（x)＝(cosx）′＝－sinx＝f2(x），fn＋4（x）＝…＝…＝fn（x），故可猜測(cè)fn（x)以4為周期，有f4n＋1（x）＝f1（x)＝cosx，f4n＋2(x)＝f2（x)＝－sinx，f4n＋3(x）＝f3(x）＝－cosx，f4n＋4(x)＝f4（x）＝sinx，所以f2013(x）＝f503×4＋1（x）＝f1(x）＝cosx，故選C。答案C4．為提高信息在傳輸中的抗干擾能力,通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)定原信息為a0a1a2,ai∈{0,1}(i＝0，1,2），信息為h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕運(yùn)算規(guī)則為:0A．11010B．01100C．10111D．00011解析對(duì)于選項(xiàng)C，傳輸信息是10111,對(duì)應(yīng)的原信息是011，由題目中運(yùn)算規(guī)則知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故傳輸信息應(yīng)是10110.答案C5．觀察下圖：12343456745678910……則第________行的各數(shù)之和等于20112()．A．2010B．2009C．1006D．1005解析由題圖知，第一行各數(shù)和為1；第二行各數(shù)和為9＝32;第三行各數(shù)和為25＝52；第四行各數(shù)和為49＝72；…；故第n行各數(shù)和為(2n－1)2，令2n－1＝2011，解得n＝1006。答案C6．觀察下列各式:55＝3125，56＝15625,57＝78125，…，則52011的末四位數(shù)字為()．A．3125B．5625C．0625D．8125解析∵55＝3125，56＝15625,57＝78125,58＝390625，59＝1953125，510＝9765625,…∴5n(n∈Z,且n≥5）的末四位數(shù)字呈周期性變化，且最小正周期為4，記5n（n∈Z，且n≥5）的末四位數(shù)字為f(n）,則f（2011）＝f(501×4＋7)＝f(7)∴52011與57的末四位數(shù)字相同,均為8125。故選D.答案D7．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)．比如：他們研究過(guò)圖1中的1，3，6，10，…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地,稱圖2中的1,4，9，16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（）．A．289B．1024C．1225D．1378解析觀察三角形數(shù)：1，3,6,10，…，記該數(shù)列為｛an},則a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1）＋（1＋2＋3＋…＋n)?an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f（nn＋1，2)，觀察正方形數(shù)：1,4，9,16,…,記該數(shù)列為{bn}，則bn＝n2。把四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字,分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1225.答案C二、填空題8．對(duì)于命題：若O是線段AB上一點(diǎn)，則有|eq\o(OB,\s\up6(→)）｜·eq\o(OA,\s\up6(→））＋｜eq\o(OA，\s\up6（→））|·eq\o(OB，\s\up6(→））＝0。將它類比到平面的情形是:若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S△OBC·eq\o（OA,\s\up6(→))＋S△OCA·eq\o（OB,\s\up6（→)）＋S△OAB·eq\o(OC，\s\up6（→)）＝0。將它類比到空間的情形應(yīng)該是:若O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn),則有________．解析平面上的線段長(zhǎng)度類比到平面上就是圖形的面積，類比到空間就是幾何體的體積．答案VO－BCD·eq\o（OA,\s\up6(→))＋VO－ACD·eq\o（OB，\s\up6(→））＋VO－ABD·eq\o（OC，\s\up6（→））＋VO－ABC·eq\o(OD,\s\up6（→)）＝09．在平面上,若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中,若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1∶2，則它們的體積比為_(kāi)_______．解析∵兩個(gè)正三角形是相似的三角形,∴它們的面積之比是相似比的平方．同理，兩個(gè)正四面體是兩個(gè)相似幾何體，體積之比為相似比的立方,所以它們的體積比為1∶8.答案1∶810．已知結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點(diǎn),G是三角形ABC的重心，則eq\f(AG，GD)＝2”．若把該結(jié)論推廣到空間,則有結(jié)論:“在棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中,若△BCD的中心為M,四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等”，則eq\f(AO,OM)＝________.解析由題知，O為正四面體的外接球、內(nèi)切球球心,設(shè)正四面體的高為h，由等體積法可求內(nèi)切球半徑為eq\f(1,4)h，外接球半徑為eq\f(3，4)h，所以eq\f（AO，OM）＝3。答案311．設(shè)n為正整數(shù),f(n)＝1＋eq\f(1，2）＋eq\f(1，3）＋…＋eq\f（1，n)，計(jì)算得f(2）＝eq\f（3,2）,f（4）〉2，f（8）>eq\f(5,2），f(16)>3,觀察上述結(jié)果，可推測(cè)一般的結(jié)論為_(kāi)_______．解析由前四個(gè)式子可得，第n個(gè)不等式的左邊應(yīng)當(dāng)為f（2n），右邊應(yīng)當(dāng)為eq\f(n＋2,2），即可得一般的結(jié)論為f(2n）≥eq\f(n＋2,2)。答案f（2n)≥eq\f（n＋2，2)12．在Rt△ABC中,若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，則△ABC外接圓半徑r＝eq\f（\r(a2＋b2),2）。運(yùn)用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為a，b，c，則其外接球的半徑R＝________。解析（構(gòu)造法)通過(guò)類比可得R＝eq\f(\r（a2＋b2＋c2）,2)。證明：作一個(gè)在同一個(gè)頂點(diǎn)處棱長(zhǎng)分別為a,b，c的長(zhǎng)方體,則這個(gè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度是eq\r（a2＋b2＋c2）,故這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑是eq\f(\r（a2＋b2＋c2)，2），這也是所求的三棱錐的外接球的半徑．答案eq\f(\r（a2＋b2＋c2），2）【點(diǎn)評(píng)】本題構(gòu)造長(zhǎng)方體。解題時(shí)題設(shè)條件若是三條線兩兩互相垂直，就要考慮到構(gòu)造正方體或長(zhǎng)方體三、解答題13．平面中的三角形和空間中的四面體有很多相類似的性質(zhì),例如在三角形中：（1）三角形兩邊之和大于第三邊；（2）三角形的面積S＝eq\f（1,2）×底×高；(3)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的eq\f（1,2）;……請(qǐng)類比上述性質(zhì)，寫出空間中四面體的相關(guān)結(jié)論．解析由三角形的性質(zhì)，可類比得空間四面體的相關(guān)性質(zhì)為：（1)四面體的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積；(2)四面體的體積V＝eq\f(1，3)×底面積×高；（3)四面體的中位面平行于第四個(gè)面且面積等于第四個(gè)面的面積的eq\f(1,4）.14．（10分）蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢,第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f(n）表示第n個(gè)圖的蜂巢總數(shù)．(1）試給出f(4）,f（5）的值，并求f(n)的表達(dá)式(不要求證明)；(2）證明：eq\f（1，f1)＋eq\f(1,f2)＋eq\f(1，f3）＋…＋eq\f（1，fn)〈eq\f（4，3）。解析(1）f(4)＝37,f(5）＝61.由于f（2)－f（1）＝7－1＝6，f（3）－f（2）＝19－7＝2×6,f（4）－f（3)＝37－19＝3×6，f(5）－f(4）＝61－37＝4×6，…因此，當(dāng)n≥2時(shí),有f(n)－f（n－1)＝6(n－1)，所以f（n)＝[f（n)－f（n－1）]＋［f(n－1)－f(n－2）]＋…＋[f（2)－f（1)］＋f（1）＝6［(n－1)＋(n－2）＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1。又f(1）＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1。(2）證明：當(dāng)k≥2時(shí)，eq\f(1,fk)＝eq\f（1,3k2－3k＋1）<eq\f（1，3k2－3k)＝eq\f（1，3）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，k－1)－\f(1,k））)。所以eq\f(1,f1)＋eq\f（1,f2)＋eq\f(1,f3)＋…＋eq\f（1，fn）〈1＋eq\f(1,3）eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1，2))）＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）－\f（1，3)）)＋…＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,n－1)－\f（1，n）)）)）＝1＋eq\f（1，3)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f（1,n）))〈1＋eq\f(1，3）＝eq\f(4，3）。15．定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中,如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an｝是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，(1)求a18的值；(2)求該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解析（1）由等和數(shù)列的定義，數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2,公和為5，易知a2n－1＝2，a2n＝3（n＝1,2，…)，故a18＝3。(2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋（a2＋a4＋…＋an)＝2＋2＋…＋eq\o（2,\s\do4（\f(n,2)個(gè)2））＋3＋3＋…＋eq\o(3，\s\do4(\f（n，2）個(gè)3）)＝eq\f(5，2)n；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝Sn－1＋an＝eq\f（5，2)（n－1)＋2＝eq\f（5,2)n－eq\f(1，2）.綜上所述：Sn＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（5，2）nn為偶數(shù)，，\f（5，2）n－\f(1，2）n為奇數(shù).)）16．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)、(2）、（3)、(4)為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第n個(gè)圖形包含f（n)個(gè)小正方形．(1）求出f（5）的值;（2）利用合情推理的“歸納推理思想”,歸納出f(n＋1）與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f（n)的表達(dá)式；(3)求eq\f(1,f1)＋eq\f（1,f2－1）＋eq\f(1，f3－1）＋…＋eq\f(1,fn－1）的值．解析（1)f（5）＝41.(2）因?yàn)閒（2)－f（1)＝4＝4×1，f（3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f（3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4,……由上式規(guī)律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因?yàn)閒(n＋1)－f(n）＝4n?f（n＋1）＝f（n）＋4n?f（n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f（n－2)＋4（n－1）＋4(n－2)＝f（n－3）＋4(n－1)＋4（n－2)＋4(n－3)＝…＝f（1）＋4(n－1）＋4(n－2)＋4(n－3）＋…＋4＝2n2－2n＋1。（3）當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f（1，fn－1)＝eq\f(1,2nn－1）＝eq\f（1，2)e