蘇教版數(shù)學(xué)選修2-3講義第2章2.52.5.2離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差

2.5.2離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解并掌握隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念，了解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義．(重點(diǎn))2．掌握服從兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布的方差公式，會(huì)運(yùn)用方差的概念及相關(guān)公式求隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差．(難點(diǎn))1.借助概念構(gòu)建，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助實(shí)際問(wèn)題的解決，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差若離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表所示，Xx1x2…xnPp1p2…pn則(xi－μ)2(μ＝E(X))描述了xi(i＝1,2，…，n)相對(duì)于均值μ的偏離程度，故(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn(其中pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1)刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值μ的平均偏離程度，我們將其稱為離散型隨機(jī)變量X的方差，記為V(X)或σ2.即V(X)＝σ2＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn，其中，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.方差也可用公式V(X)＝eq\o(∑,\s\up12(n),\s\do18(i＝1))xeq\o\al(2,i)pi－μ2計(jì)算．X的方差V(X)的算術(shù)平方根稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差，即σ＝eq\r(VX).2．超幾何分布和二項(xiàng)分布的方差(1)若X～0-1分布，則V(X)＝p(1－p)；(2)當(dāng)X～H(n，M，N)時(shí)，V(X)＝eq\f(nMN－MN－n,N2N－1)eq\o(\s\up7(),\s\do5(；))(3)當(dāng)X～B(n，p)時(shí)，V(X)＝np(1－p)．思考1：離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了隨機(jī)變量的什么性質(zhì)？[提示]離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度．思考2：離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定還是方差越小越穩(wěn)定？[提示]離散型隨機(jī)變量的方差越小隨機(jī)變量越穩(wěn)定．1．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，則E(X)，V(X)的值分別是()A．0和1 B．p和p2C．p和1－p D．p和(1－p)pD[隨機(jī)變量X的概率分布符合兩點(diǎn)分布，所以E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)．]2．已知隨機(jī)變量ξ，V(ξ)＝eq\f(1,9)，則ξ的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_______．eq\f(1,3)[ξ的標(biāo)準(zhǔn)差eq\r(Vξ)＝eq\r(\f(1,9))＝eq\f(1,3).]3．一批產(chǎn)品中，次品率為eq\f(1,3)，現(xiàn)連續(xù)抽取4次，其次品數(shù)記為X，則V(X)的值為_(kāi)_______．eq\f(8,9)[由題意知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，所以V(X)＝4×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(8,9).]方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算【例1】(1)已知隨機(jī)變量X滿足V(X)＝2，則V(3X＋2)＝______.(2)一牧場(chǎng)有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02，設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ，則V(ξ)等于________．(3)已知η的分布列為：η010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)①求η的方差及標(biāo)準(zhǔn)差；②設(shè)Y＝2η－E(η)，求V(Y)．(1)18(2)0.196[(1)V(3X＋2)＝9V(X)＝18.(2)ξ服從二項(xiàng)分布，ξ～B(10,0.02)，∴V(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.](3)[解]①∵E(η)＝0×eq\f(1,3)＋10×eq\f(2,5)＋20×eq\f(1,15)＋50×eq\f(2,15)＋60×eq\f(1,15)＝16，所以V(η)＝(0－16)2×eq\f(1,3)＋(10－16)2×eq\f(2,5)＋(20－16)2×eq\f(1,15)＋(50－16)2×eq\f(2,15)＋(60－16)2×eq\f(1,15)＝384，∴eq\r(Vη)＝8eq\r(6).②法一：隨機(jī)變量Y的概率分布為：Y－1642484104Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)∴E(Y)＝－16×eq\f(1,3)＋4×eq\f(2,5)＋24×eq\f(1,15)＋84×eq\f(2,15)＋104×eq\f(1,15)＝16，V(Y)＝(－16－16)2×eq\f(1,3)＋(4－16)2×eq\f(2,5)＋(24－16)2×eq\f(1,15)＋(84－16)2×eq\f(2,15)＋(104－16)2×eq\f(1,15)＝1536.法二：∵Y＝2η－E(η)，V(Y)＝V(2η－E(η))＝22V(η)＝4×384＝1536.求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及方法(1)已知分布列型(非兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布)：直接利用定義求解，具體如下：①求均值；②求方差．(2)已知分布列是兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布：型：直接套用公式求解，具體如下：①若X服從兩點(diǎn)分布，則V(X)＝p(1－p)；②若X～B(n，p)，則V(X)＝np(1－p)．(3)未知分布列型：求解時(shí)可先借助已知條件及概率知識(shí)先求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成(1)中的情況．(4)對(duì)于已知V(X)求V(aX＋b)型，利用方差的性質(zhì)求解，即利用V(aX＋b)＝a2V(X)求解．1．為防止風(fēng)沙危害，某地政府決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹(shù)、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，已知各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)X為成活沙柳的株數(shù)，已知E(X)＝3，V(X)＝eq\f(3,2)，求n，p的值．[解]由題意知，X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，由E(X)＝np＝3，V(X)＝np(1－p)＝eq\f(3,2)，得1－p＝eq\f(1,2)，∴p＝eq\f(1,2)，n＝6.方差的應(yīng)用【例2】甲、乙兩射手在同一條件下進(jìn)行射擊，射手甲擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.2,0.6,0.2；射手乙擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.4,0.2,0.4.用擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差比較兩名射手的射擊水平．[思路探究]分別計(jì)算甲、乙兩射手的期望與方差，比較其大小，并依據(jù)期望與方差的意義作出結(jié)論．[解]設(shè)甲、乙兩射手射擊，擊中環(huán)數(shù)分別為ξ1，ξ2，E(ξ1)＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9.V(ξ1)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；同理有E(ξ2)＝9，V(ξ2)＝0.8.由上可知，E(ξ1)＝E(ξ2)，V(ξ1)＜V(ξ2)．所以，在射擊之前，可以預(yù)測(cè)甲、乙兩名射手所得的平均環(huán)數(shù)很接近，均在9環(huán)左右，但甲的環(huán)數(shù)較集中，而乙的環(huán)數(shù)較分散．1.均值能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”，因此當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見(jiàn)分曉．2.有時(shí)兩個(gè)隨機(jī)變量即使均值相同，其取值差異也可能很大，此時(shí)，我們就要利用方差來(lái)反映隨機(jī)變量取值的集中程度．由此來(lái)刻畫(huà)兩個(gè)隨機(jī)變量的分布，對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出決策判斷．2．在例2題設(shè)條件不變的條件下，(1)其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在8環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？(2)如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在9環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？[解](1)如果其他對(duì)手射擊成績(jī)都在8環(huán)左右，且甲射擊水平更穩(wěn)定，故應(yīng)派甲．(2)如果其他對(duì)手射擊成績(jī)都在9環(huán)左右，由于乙射擊10環(huán)的可能性較甲大，故應(yīng)派乙．均值、方差的綜合應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．A，B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表：A機(jī)床次品數(shù)X10123P0.70.20.060.04B機(jī)床次品數(shù)X20123P0.80.060.040.10試求E(X1)，E(X2)．[提示]E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.2．在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比較兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？[提示]不能．因?yàn)镋(X1)＝E(X2)．3．在探究1中，試想利用什么指標(biāo)可以比較A，B兩臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量？[提示]利用樣本的方差．方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定．【例3】甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)．[思路探究](1)由分布列的性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平，需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望，然后再看其方差值．[解](1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a因?yàn)橐疑渲?0,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；V(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；V(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，V(ξ)<V(η)，說(shuō)明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績(jī)比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好．利用均值和方差的意義分析解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)比較均值．離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，因此，在實(shí)際決策問(wèn)題中，需先計(jì)算均值，看一下誰(shuí)的平均水平高．(2)在均值相等的情況下計(jì)算方差．方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度．通過(guò)計(jì)算方差，分析一下誰(shuí)的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定．(3)下結(jié)論．依據(jù)方差的幾何意義做出結(jié)論．3．甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等．兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護(hù)區(qū)：X0123P0.30.30.20.2乙保護(hù)區(qū)：Y012P0.10.50.4試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平．[解]甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；V(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；V(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因?yàn)镋(X)＝E(Y)，V(X)>V(Y)，所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的平均違規(guī)次數(shù)是相同的，但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散，故乙保護(hù)區(qū)的管理水平較高．1．本節(jié)課的重點(diǎn)是方差的計(jì)算及方差的應(yīng)用，難點(diǎn)是方差的應(yīng)用．2．通常在求離散型隨機(jī)變量的均值與方差時(shí)，先分析隨機(jī)變量的分布特征，看其是否為常用的特殊分布．如果是，就直接用公式求解；如果不是，則按求均值與方差的基本方法進(jìn)行求解.1．下列說(shuō)法中正確的是()A．離散型隨機(jī)變量的均值E(ξ)反映了取值的概率的平均值B．離散型隨機(jī)變量的方差V(ξ)反映了取值的平均水平C．離散型隨機(jī)變量的均值E(ξ)反映了取值的平均水平D．離散型隨機(jī)變量的方差V(ξ)反映了取值的概率的平均值C[離散型隨機(jī)變量的均值E(ξ)反映了取值的平均水平，它的方差反映了取值的離散程度．]2．已知隨機(jī)變量ξ，η滿足ξ＋η＝8，且ξ服從二項(xiàng)分布ξ～B(10,0.6)，則E(η)和V(η)的值分別是()A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6B[由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，V(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.因?yàn)棣危牵?，所以η＝8－ξ.所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，V(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.]3．有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機(jī)變量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，V(X1)>V(X2)，則自動(dòng)包裝機(jī)________的質(zhì)量較好．乙[因?yàn)镋(X1)＝E(X2)，V(X1)>V(X2)，故乙包裝機(jī)的質(zhì)量穩(wěn)定．]4．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X－1012Pabceq\f(1,12)若E(X)＝0，V(X)＝1，則a＝________，b＝________.eq\f(5,12)eq\f(1,4)[由題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＋\f(1,12)＝1，,－1×a＋0×b＋1×c＋2×\f(1,12)＝0，,－1－02×a＋0－02×b＋1－02×c＋2－02×\f(1,12)＝1，))解得a＝eq\f(5,12)，b＝c＝eq\f(1,4).]5．海關(guān)大樓頂端鑲有A、B兩面大鐘，它們的日走時(shí)誤差分別為X1，X2