專題03軸對稱突破核心考點【知識梳理解題方法專題過關】（解析版）

專題03軸對稱突破核心考點【聚焦考點+題型導航】考點一軸對稱圖形的識別考點二軸對稱圖形的性質(zhì)考點三畫軸對稱及設計軸對稱圖形考點四坐標與圖形變換——軸對稱考點五線段的垂直平分線性質(zhì)與判定考點六等腰三角形的定義與性質(zhì)考點七利用等腰三角形定義與性質(zhì)的多解題考點八等腰（等邊）三角形中全等綜合問題【知識梳理+解題方法】一、軸對稱軸對稱概念：有一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點．兩個圖形關于直線對稱也叫做軸對稱．二、軸對稱圖形軸對稱圖形概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線就是它的對稱軸.（對稱軸必須是直線）軸對稱圖形的性質(zhì)（重點）：如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.類似的，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分．軸對稱圖形上對應線段相等、對應角相等.畫一圖形關于某條直線的軸對稱圖形步驟：找到關鍵點，畫出關鍵點的對應點，按照原圖順序依次連接各點.用坐標表示軸對稱1、點（x，y）關于x軸對稱的點的坐標為（x，-y）；2、點（x，y）關于y軸對稱的點的坐標為（-x，y）；三、線段的垂直平分線概念：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．四、等腰三角形（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.五、等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.【專題過關+能力提升】考點一軸對稱圖形的識別例題：（2022·全國·八年級專題練習）下面在線學習平臺的圖標中，是軸對稱圖形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)“如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形”判斷即可得．【詳解】解：A.不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；B.能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；C.不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；D.不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；故選：B．【點睛】本題主要考查軸對稱圖形，解題的關鍵是掌握軸對稱圖形的概念．【變式訓練】1．（2021·重慶市巴渝八年級期中）下列圖形中是軸對稱圖形是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：C．【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（2022·廣東·高州市第一附屬實驗七年級階段練習）下列交通安全圖標不是軸對稱圖形的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；D、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：C【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，熟練掌握若一個圖形沿著一條直線折疊后兩部分能完全重合，這樣的圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸是解題的關鍵．3．（2022·江西·崇仁縣第二七年級階段練習）繁體字具有數(shù)千年的歷史，不僅在中國，在中國周邊國家中，繁體字仍舊具有非常大的影響力．簡繁互補是中國文字的演變規(guī)律．下面是成語“喜聞樂見”的繁體字，其中可以看作是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】解：選項B、C、D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項A能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．考點二軸對稱圖形的性質(zhì)例題：（2021·山西臨汾·八年級期中）如圖，與關于直線對稱，其中，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，從而得到，再由三角形內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：∵與關于直線對稱，∴，∴，∵，∴．故選∶A．【點睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知關于軸對稱的兩個圖形全等是解答此題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·江蘇·靖江市實驗七年級期中）如圖a是長方形紙帶，∠DEF=28°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是（）A．94° B．96° C．102° D．128°【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BFE=∠DEF，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，折疊后重疊了3層，然后根據(jù)平角的定義列式進行計算即可得解．【詳解】解：∵長方形的對邊ADBC，∴∠BFE=∠DEF=28°，∴∠CFE=180°-3×28°=96°．故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，觀察圖形，判斷出重疊部分重疊了3層是解題的關鍵．2．（2022·廣東·茂名市電白區(qū)第三七年級階段練習）如圖，與關于直線l對稱，若，，則______，______．【答案】

2cm##2厘米

95°##95度【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，有對應邊相等、對應角相等求解．【詳解】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)有：AB=AE，∠D=∠C，∵AB=2cm，∠C=95°，∴AE=AB=2cm，∠D=∠C=95°，故答案為：2cm，95°．【點睛】本題考查軸對稱的知識，理解軸對稱的性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2022·浙江·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，點P為AB和BC垂直平分線的交點，點Q與點P關于AC對稱，連接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一個角是50°，則∠B=__度．【答案】50或65【分析】連接AP、BP，由點P為AB和BC垂直平分線的交點，得PA＝PB＝PC，知∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，又點Q與點P關于AC對稱，可得PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∠CPQ＝∠CQP，分兩種情況：①當∠CPQ＝∠CQP＝50°時，∠PCQ＝80°，可得∠PCA＝40°，∠PAC＝40°，即得2∠ABP+2∠PBC＝100°，∠ABC＝50°，②當∠PCQ＝50°時，同理可得∠ABC＝65°．【詳解】解：連接AP、BP，如圖：∵點P為AB和BC垂直平分線的交點，∴PA＝PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，∵點Q與點P關于AC對稱，∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∴∠CPQ＝∠CQP，①當∠CPQ＝∠CQP＝50°時，∠PCQ＝80°，∴∠PCA＝40°，∴∠PAC＝40°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°，∴2∠ABP+2∠PBC＝100°，∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°，②當∠PCQ＝50°時，∠PCA＝25°，∴∠PAC＝25°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°，∴2∠ABP+2∠PBC＝130°，∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°，綜上所述，∠ABC為50°或65°，故答案為：50或65．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理的應用及軸對稱的性質(zhì)．考點三畫軸對稱及設計軸對稱圖形例題：（2022·安徽·定遠縣第六九年級階段練習）如圖，是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有4個小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余白色小方格中選出一個也涂成黑色，使整個黑色部分圖形構成軸對稱圖形，這樣的白色小方格有____種選擇．【答案】3【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：如圖所示，這樣的白色小方格共有3種選擇，故答案為：3．【點睛】本題考查了利用軸對稱設計圖案，解題的根據(jù)設置為軸對稱圖形的性質(zhì)．【變式訓練】1．（2022·河南省實驗八年級開學考試）如圖是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個小方格涂成了陰影．現(xiàn)在要從其余13個白色小方格中選出一個也涂成陰影，使整個涂成陰影的圖形成為軸對稱圖形，請在圖中補全圖形，并畫出它們各自的對稱軸．（要求畫出3種不同方法）【答案】見解析【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念作圖即可．【詳解】解：如圖所示：．【點睛】此題主要考查了利用軸對稱設計圖案，關鍵是掌握軸對稱圖形沿某條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合．2．（2022·全國·八年級專題練習）下列正方形網(wǎng)格圖中，部分方格涂上了陰影，請按照不同要求作圖．(1)如圖①，整個圖形是軸對稱圖形，畫出它的對稱軸．(2)如圖②，將某一個方格涂上陰影，使整個圖形有兩條對稱軸．(3)如圖③，將某一個方格涂上陰影，使整個圖形有四條對稱軸．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(3)詳見解析【分析】（1）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)作出對稱軸即可；（2）根據(jù)要求畫出圖形即可；（3）根據(jù)要求畫出圖形即可．（1）如圖①中，直線m即為所求；（2）如圖②中，圖形即為所求；（3）如圖③中，圖形即為所求．【點睛】本題考查利用軸對稱設計圖案，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．3．（2022·四川達州·七年級期末）如圖，正方形網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1，且點A，B，C均為格點．(1)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：①作出關于直線l的對稱圖形；②在直線l上找一點D，使最小；(2)求出的面積．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)【分析】（1）①依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可得到△ABC關于直線l的對稱圖形；②連接，交直線l于D，連接BD，則AD+BD最小值等于的長；（2）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論．（1）解：如圖，①△A'B'C'就是所求作的三角形；②點D就是所求作的點；（2）解：的面積=3×5-×1×5-×2×4-×1×3=7．【點睛】本題主要考查了利用軸對稱變換作圖，解決問題的關鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點．考點四坐標與圖形變換——軸對稱例題：（2022·廣東·梅州市學藝九年級開學考試）在平面直角坐標系中，點P（2，-3）關于x軸對稱的點的坐標是（

）A．（2，3） B．（2，-3） C．（-2，3） D．（-2，-3）【答案】A【分析】直接利用關于x軸對稱點的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】解：點P（2，-3）關于x軸對稱的點的坐標是：（2，3）．故選：A．【點睛】此題主要考查了關于x軸對稱點的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標的關系是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022·廣東·陽春市東風八年級期中）如圖，在△ABC中，點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（0，4），點C的坐標為（4，3），如果要使△ABD與△ABC全等，那么點D的坐標是（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2）C．（4，2）或（﹣4，3）D．（4，2）或（﹣4，2）或（﹣4，3）【答案】D【分析】根據(jù)對稱性分情況討論即可．【詳解】解：如下如所示，當D點與C點關于y軸對稱時，△ABD與△ABC全等，此時點坐標為（﹣4，3）；當點D與點C關于AB的垂直平分線對稱時，△ABD與△ABC全等，此時點坐標為（4，2）；點D點與（4，2）關于y軸對稱時，△ABD與△ABC全等，此時點坐標為（﹣4，2）；綜上所述，D點坐標為（﹣4，3）或（4，2）或（﹣4，2）．故選：D．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，直角坐標系中的軸對稱問題，掌握數(shù)形結合的思路是解題的關鍵．2．（2021·四川·西昌市川興八年級階段練習）已知A(a，-2)與B(，b)關于x軸對稱，則a=___，b=____．【答案】

【分析】根據(jù)關于軸對稱的點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)，即可求得的值，即可求解．【詳解】解：∵A(a，-2)與B(，b)關于x軸對稱，∴，故答案為：，．【點睛】本題考查了關于軸對稱的點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)，掌握關于軸對稱的點的坐標特征是解題的關鍵．3．（2022·甘肅·金昌市龍門七年級期中）若，則點關于x軸的對稱點的坐標為___．【答案】##【分析】根據(jù)算術平方根的非負性，可得，從而得到點M的坐標為，即可求解．【詳解】解：∵，∴，解得：，∴點M的坐標為，∴點關于x軸的對稱點的坐標為．故答案為：【點睛】此題主要考查了關于x軸對稱點的性質(zhì)，算術平方根的非負性，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；（3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．4．（2023·廣東·新豐縣大席八年級期中）如圖，在下列帶有坐標系的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．(1)請畫出△ABC關于y軸對稱的圖形（其中分別是A、B、C的對應點，不寫畫法）；(2)直接寫出三點的坐標；(3)平面內(nèi)任一點P（x，y）關于直線x軸對稱點的坐標為．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意畫出軸對稱圖形即可；（2）根據(jù)坐標系寫出點的坐標；（3）根據(jù)關于軸的點的坐標特征即可求解．（1）如圖，即為所求；（2）三點的坐標：；（3）平面內(nèi)任一點P（x，y）關于直線x軸對稱點的坐標為（x，﹣y）．故答案為：（x，﹣y）．【點睛】本題考查了畫軸對稱圖形，寫出點的坐標，關于坐標軸對稱的點的坐標特征，掌握以上知識是解題的關鍵．5．（2021·四川·西昌市川興八年級階段練習）已知：如圖，已知△ABC，(1)分別畫出與△ABC關于軸、軸對稱的圖形△和△；(2)寫出△和△各頂點坐標；(3)求△ABC的面積．【答案】(1)作圖見詳解；(2)（0，2），（2，4），（4，1），（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；(3)5．【分析】（1）根據(jù)關于x、y軸對稱的點的坐標特點畫出圖形即可；（2）根據(jù)各點在坐標系內(nèi)的位置寫出各點坐標；（3）根據(jù)即可得出結論．（1）解：如圖所示：（2）由圖可知，（0，2），（2，4），（4，1），（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）．（3）＝3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝12﹣2﹣3﹣2＝5．【點睛】本題考查的是軸對稱變換，熟知關于坐標軸對稱的點的坐標特點是解答此題的關鍵．6．（2022·新疆·烏魯木齊市第十三八年級期末）如圖，△ABC三個頂點的坐標分別是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．(1)請畫出△ABC關于x軸對稱的圖形△；(2)求△ABC的面積；(3)在x軸上求一點P，使△PAB周長最小，請畫出△PAB，并通過畫圖求出P點的坐標．【答案】(1)圖見詳解(2)(3)圖見詳解，點的坐標為【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可．（2）利用割補法求三角形的面積即可．（3）連接，交軸于點，連接，，此時點滿足周長最小，即可得點的坐標．（1）解：如圖，△即為所求．（2）解：由圖可得：．的面積為．（3）解：如圖，即為所求．由圖可知點的坐標為．【點睛】本題考查作圖軸對稱變換、軸對稱最短路線問題、三角形的面積，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關鍵．7．（2020·遼寧·沈陽市第六十九八年級階段練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，點A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）(1)在平面直角坐標系中劃出△ABC，則△ABC的面積是；(2)若點D與點C關于y軸對稱，則點D的坐標為；(3)已知P為x軸上一點，若△ABP的面積為4，求點P的坐標．【答案】(1)見解析，4；(2)（?4，3）；(3)（10，0）或（－6，0）．【分析】（1）根據(jù)點的坐標，描點、連線即可得到△ABC，直接利用△ABC所在矩形面積減去周圍三角形面積進而得出答案；（2）根據(jù)關于y軸對稱的點的性質(zhì)得出答案；（3）根據(jù)三角形的面積求出BP＝8，進而可得點P的坐標．（1）解：△ABC如圖所示，△ABC的面積是：3×4?×1×2?×2×4?×2×3＝4，故答案為：4；（2）解：∵點D與點C（4，3）關于y軸對稱，∴點D的坐標為：（?4，3）；故答案為：（?4，3）；（3）解：∵P為x軸上一點，△ABP的面積為4，∴，∴BP＝8，∴點P的橫坐標為：2＋8＝10或2?8＝－6，故點P坐標為：（10，0）或（－6，0）．【點睛】此題主要考查了坐標與圖形，網(wǎng)格中三角形面積求法以及關于y軸對稱的點的性質(zhì)，熟練掌握坐標與圖形性質(zhì)是解題關鍵．考點五線段的垂直平分線性質(zhì)與判定例題：（2022·湖南湘潭·八年級期末）如圖，是的角平分線，若，則點的距離是（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】過D作于E，則DE是點D到AC的距離，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出BD＝DE，代入求出即可．【詳解】解：過D作DE⊥AC于E，則DE是點D到AC的距離，∵AD是∠BAC的角平分線，，，∴BD＝DE，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．【變式訓練】1．（2021·山東煙臺·七年級期中）如圖，已知在四邊形中，，平分，，，，則四邊形的面積是（

）A．40 B．42 C．46 D．48【答案】A【分析】過D作DE⊥AB交BA的延長線于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=CD=5，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：如圖，過D作DE⊥AB交BA的延長線于E，∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，∴DE=CD=5，∴四邊形ABCD的面積．故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵．2．（2022·全國·八年級專題練習）如圖所示，AD是△ABC的中線，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分別為F，E，BE＝CF.求證：AD平分∠BAC.【答案】證明見解析【分析】先證，所以根據(jù)全等三角形的對應邊相等推知DE＝DF．再結合已知條件“DF⊥AC，DE⊥AB”可以證得結論．【詳解】證明：如圖，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，又∵DF⊥AC，DE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴在Rt△BDE與Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF.∵DF⊥AC，DE⊥AB，∴AD平分∠BAC．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．3．（2022·湖南·郴州市第四八年級期末）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．(1)求證：△BDE≌△CDF(2)求證：AD平分∠BAC；(3)直接寫出AB＋AC與AE之間的等量關系．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)AB+AC=2AE，理由見解析【分析】（1）直接利用HL證明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=DF，又DE⊥AB，DF⊥AC，即可證明結論；（3）只需要證明Rt△DEA≌Rt△DFA得到AE=AF，即可證明AB+AC=2AE．（1）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，∵BD=CD，BE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）；（2）解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（3）解：AB+AC=2AE，理由如下：∵DE=DF，AD=AD，∠DEA=∠DFA，∴Rt△DEA≌Rt△DFA（HL），∴AE=AF，∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關鍵．考點六等腰三角形的定義與性質(zhì)例題：（2021·河北·唐山市第九八年級階段練習）若等腰三角形的一條邊長為5，另一條邊長為10，則此三角形第三條邊長為________．【答案】10【分析】分兩種情況考慮：當5為等腰三角形的腰長時和底邊時，分別求出周長即可．【詳解】當5為等腰三角形的腰長時，10為底邊，此時等腰三角形三邊長分別為5，5，10，不能構成三角形；當5為等腰三角形的底邊時，腰長為10，此時等腰三角形三邊長分別為5，10，10，能構成三角形；綜上所述，這個等腰三角形的第三條邊的邊長為10．故答案為：10．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的三邊關系，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式訓練】1．（山西省臨汾市2021-2022學年八年級上學期段考數(shù)學試卷（二））如圖，∠ABC的平分線BF，與△ABC的外角∠ACG的平分線相交于點F，過點F作DFBC交AB于點D，交AC于點E，若BD＝8cm，DE＝2.5cm，則CE的長為______．【答案】5.5cm【分析】根據(jù)已知條件，BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根據(jù)等角對等邊得出DF=BD，CE=EF，根據(jù)BD-CE=DE即可求得．【詳解】解：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，∵DEBC，∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，∴BD=FD，EF=CE，∴EF=DF-DE=BD-DE=8-2.5=5.5，∴EC=5.5cm故答案為5.5cm【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，利用邊角關系并結合等量代換來推導證明是本題的特點．2．（2022·遼寧大連·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點E在BC上，BD⊥AE于點D，F(xiàn)為BC中點．(1)在圖中找出與∠ABD相等的角，并證明；(2)求證：DF平分∠BDE．【答案】(1)∠CAE=∠ABD，理由見詳解(2)見詳解【分析】（1）由∠BAD+∠CAE=90°和∠ABD+∠BAD=90°即可證明；（2）過C點作CG⊥AE，交AE的延長線于點G，延長CG、DF交于點H，先證明△ABD≌△CAG，可得到AG=BD，AD=CG；根據(jù)BD⊥AE，CG⊥AE，可得，即有∠BDF=∠FHC；再證明△DBF≌△HCF，即有BD=CH；根據(jù)DG=AG-AD，HG=CH-CG，可得DG=HG，即有∠FDG=∠FHC，則結論即可得證．（1）∠CAE=∠ABD，理由如下：∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵BD⊥AE，∴∠BDA=90°，∴在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°，∵∠BAD+∠CAE=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°=∠ABD+∠BAD，∴∠CAE=∠ABD，（2）證明：過C點作CG⊥AE，交AE的延長線于點G，延長CG、DF交于點H，如圖，∵CG⊥AE，∴∠AGC=90°，即∠ADB=∠AGC=90°，根據(jù)（1）的結論有∠CAE=∠ABD，∵AB=AC，∴△ABD≌△CAG，∴AG=BD，AD=CG，∵BD⊥AE，CG⊥AE，∴，∴∠BDF=∠FHC，∠DBF=∠HCF，∵F為BC中點，∴BF=FC，∴△DBF≌△HCF，∴BD=CH，∵DG=AG-AD，HG=CH-CG，∴DG=BD-AD，HG=BD-CG=BD-AD，∴DG=HG，∴∠FDG=∠FHC，∵∠BDF=∠FHC，∴∠BDF=∠GDF，∴DF平分∠BDE，【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，構造輔助線CH、FH證明△DBF≌△HCF，是解答本題的關鍵．3．（2021·四川·東坡區(qū)實驗八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC=∠ACB，D是AC邊上的一點，連接BD并延長到點E，連接AE、CE，AF平分∠BAC交BD于點F．(1)若∠BAC＝70°，∠FBC＝25°，求∠AFD；(2)已知CE⊥BC，AD＝CD，求證：BF＝AE．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判定與性質(zhì)先證明△ADF≌△CDE，然后證明△ABF≌△CAE即可得出答案．（1）解：∵平分∠BAC,∴，∵AB＝AC，∴,∵∠FBC＝25°，∴,∴；（2）設∠BAF＝∠CAF＝x°，∴∠BAC＝2x°，∴∠ABC＝∠ACB＝90°?x°，∵∠ECB＝90°，∴∠ECA＝x°，∴∠BAF＝∠ACE＝∠DAF＝x°，∵AD＝CD，∴△ADF≌△CDE（ASA），∴AF＝EC，在△ABF與△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴BF＝AE．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關性質(zhì)定理是解本題的關鍵．考點七利用等腰三角形定義與性質(zhì)的多解題例題：（2022·河南·駐馬店市第十八年級階段練習）已知等腰三角形的兩邊長分別為6和5，則這個等腰三角形的周長為_____．【答案】16或17【分析】分邊長6是等腰三角形的腰和底兩種情況討論，即可求解．【詳解】解：①6是腰長時，三角形的三邊分別為6、6、5，能組成三角形，周長＝6+6+5＝17，②6是底邊時，三角形的三邊分別為6、5、5，能組成三角形，周長＝6+5+5＝16，綜上所述，三角形的周長為16或17．故答案為：16或17．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解答本題時注意分情況討論，避免出現(xiàn)錯漏．【變式訓練】1．已知等腰三角形的一個內(nèi)角是72°，那么這個等腰三角形的頂角是______度．【答案】72或36【解析】【分析】本題應分底角為72°、頂角為72°這兩種情況，分別計算每種情況下等腰三角形是否存在．【詳解】解∶①當72°角是頂角時，頂角為72°，②當72°角是底角時，頂角＝180°－72°×2＝36°，綜上頂角為72°或36°．故答案為：72或36．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，，樹立分類討論思想，培養(yǎng)學生全面思考問題的數(shù)學素養(yǎng)，在計算等腰三角形有關邊、角的問題時，要注意利用分類討論的思想進行全面討論是解題的關鍵．2．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為56°，則這個等腰三角形底角度數(shù)是_______．【答案】或【解析】【分析】在等腰中，，為腰上的高，，討論：當在內(nèi)部時，如圖1，先計算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計算出；當在外部時，如圖2，先計算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計算出．【詳解】解：在等腰中，，為腰上的高，，當在內(nèi)部時，如圖1，為高，，，，；當在外部時，如圖2，為高，，，，，而，，綜上所述，這個等腰三角形底角的度數(shù)為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟悉相關性質(zhì)是解題的關鍵．3．有一張三角形紙片ABC，∠A＝80°，點D是AC邊上一點，沿BD方向剪開三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩張紙片均為等腰三角形，則∠C的度數(shù)可以是__________．【答案】25°或40°或10°【解析】【詳解】【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解．【詳解】由題意知△ABD與△DBC均為等腰三角形，對于△ABD可能有①AB=BD，此時∠ADB=∠A=80°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，∠C=（180°-100°）=40°，②AB=AD，此時∠ADB=（180°-∠A）=（180°-80°）=50°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，∠C=（180°-130°）=25°，③AD=BD，此時，∠ADB=180°-2×80°=20°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，∠C=（180°-160°）=10°，綜上所述，∠C度數(shù)可以為25°或40°或10°故答案為25°或40°或10°【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點在于分情況討論．4．（1）等腰三角形一腰上的中線把周長分為和兩部分，求該三角形各邊的長．（2）已知一個等腰三角形的三邊長分別為，求這個等腰三角形的周長．【答案】（1）或者；（2）周長為或者10【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，列出方程求解，注意分類討論．（2）分三種情況，進行討論，結合三角形三邊關系得出答案．【詳解】設腰長為2x,底為y，根據(jù)題意得：①解得：三邊為10,10,7②解得：三邊為8,8,11故本題答案為：或者①當時，解，此時，能構成三角形．此時周長為10②當時，解，此時不能構成三角形．③當，解得，此時，能構成三角形，周長為＝7綜上，三角形的周長為7或者10．【點睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，以及三角形三邊關系，屬于基礎提高題．5．（2022·福建·莆田市城廂區(qū)南門八年級階段練習）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒4cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運動，設運動時間為t秒（t＞0）．(1)若點P在AC上，且滿足PA＝PB時，求出此時t的值；(2)在運動過程中，求當t為何值時，△BCP為等腰三角形．【答案】(1)(2)s或5.3s或5s或s【分析】（1）連接BP，根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)勾股定理列方程計算，得到答案；（2）分類討論：若點P在AC上，當CP＝CB時，△BCP為等腰三角形，根據(jù)AP的長即可得到t的值，若點P在AB上，CP＝BC，根據(jù)P移動的路程易得t的值；當PC＝PB時，△BCP為等腰三角形，作PD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD＝CD，則可判斷PD為△ABC的中位線，則AP＝AB＝5，易得t的值；當BP＝BC＝6時，△BCP為等腰三角形，易得t的值；（1）如圖1，連接BP，在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8（cm），則PC＝8﹣PA，由勾股定理得，PB2＝PC2+BC2，當PA＝PB時，PA2＝（8﹣PA）2+62，解得，PA＝，則t＝÷4＝；（2）分四種情況：①如圖1，點P在CA上，當CP＝CB時，△BCP為等腰三角形，∵BC=6,AC=8,∴AP=AC-CP=AC-CB=2則4t＝2，解得t＝（s）；②如圖2，當BP＝BC＝6時，△BCP為等腰三角形，∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，∴t＝20÷4＝5（s）；③如圖3，若點P在AB上，CP＝CB＝6，作CD⊥AB于D，則S△ABC＝，CD＝4.8，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝＝3.6，∴PB＝2BD＝7.2，∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，此時t＝21.2÷4＝5.3（s）；④如圖4，當PC＝PB時，△BCP為等腰三角形，作PD⊥BC于D，則D為BC的中點，∴PD為△ABC的中位線，∴AP＝BP＝AB＝5，∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，∴t＝19÷4＝（s）；綜上所述，t為s或5.3s或5s或s時，△BCP為等腰三角形．【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計算以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，進行分類討論是解決問題的關鍵．考點八等腰三角形中全等綜合問題例題：（2021·重慶市璧山中八年級期中）（1）如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并證明：線段AE、BD的數(shù)量關系和位置關系．（2）在（1）的條件下，若點A，E，D在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，請判斷∠ADB的度數(shù)及線段CM，AD，BD之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD，證明見解析．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD．證明見解析【分析】（1）延長AE交BD于點H，AH交BC于點O．只要證明△ACE≌△BCD（SAS），即可解決問題；（2）由△ACE≌△BCD，即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，延長AE交BD于點H，AH交BC于點O，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°．∴∠AHB=90°，∴AE⊥BD．故答案為AE=BD，AE⊥BD；（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD，理由如下：如圖2中，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°-∠CED=135°，由（2）可知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°，∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．【變式訓練】1．（2021·遼寧·盤錦市第一完全八年級期中）在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC．(1)如圖1，當點E為AB的中點時，確定線段AE與DB的大小關系，并說明理由．(2)如圖2，當點E為AB上任意一點時，確定線段AE與DB的大小關系，并說明理由．(3)在等邊三角形ABC中，若點E在直線AB上，點D在線段CB的延長線上，且ED=EC，若△ABC的邊長為1，AE=2，請直接寫出CD的長．【答案】(1)AE=DB，理由見解析(2)AE=DB，理由見解析(3)CD=3【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得∠D＝∠ECD，再由等邊三角形的性質(zhì)得∠ECD∠ACB＝30°，然后證∠DEB＝∠D，得DB＝BE，即可得出結論；（2）過點E作EFBC，交AC于點F，證△AEF為等邊三角形，得AE＝EF，再證△DBE≌△EFC（AAS），得DB＝EF，即可得出結論；（3）過點E作EFBC，交AC的延長線于點F，可證得△AEF是等邊三角形，△DEB≌△ECF(AAS)，由DB＝EF＝2，BC＝1，即可得出答案．（1）解：如圖1，∵△ABC是等邊三角形，點E是AB的中點，∴CE平分∠ACB，CE⊥AB，∴∠ACB=60°，∠BEC=90°，AE=BE，又∵ED=EC，∴∠D=∠ECB=30°，∴∠DEC=120°，∴∠DEB=120°?90°=30°，∴∠D=∠DEB=30°，∴BD=BE=AE，即AE=DB．（2）解：當點E為AB上任意一點時，如圖2，AE與DB的大小關系不會改變．理由如下：如圖2，過E作EFBC交AC于F，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，，∴△DEB≌△ECF(AAS)，∴BD=EF=AE，即AE=BD，（3）解：過點E作EFBC，交AC的延長線于點F，如圖3所示：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF＝2，∵∠ABC=∠ACB=∠EFC=60°，∴∠DBE=∠ABC=∠EFC=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∵EFBC，∴∠ECD=∠CEF，∴∠D＝∠CEF，在△DEB和△ECF中，，∴△DEB≌△ECF(AAS)，∴DB＝EF＝2，∵BC＝1，∴CD＝BC+DB＝3．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．2．（2022·遼寧沈陽·七年級期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，點D是直線BC上一點，過點A作∠DAE=90°（使點D，A，E按順時針的順序排列），且AE=AD，連接CE，過點A作AF⊥CE交直線CE于點F．(1)如圖，當點D在線段BC上時；求證：CE=BD；(2)當點D在直線BC上時，直接寫出線段BD、CD、EF之間的數(shù)量關系．【答案】(1)見解析(2)BD＋CD=2EF或BD-CD=2EF或CD-BD=2EF【分析】(1)先證明∠DAB=∠EAC，得到△DAB≌△EAC，根據(jù)全等三角形的