江西省浮梁一中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

江西省浮梁一中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，在直線l上，則直線l一個(gè)方向向量為（）A. B.C. D.2．若直線與直線垂直，則（）A.6 B.4C. D.3．一個(gè)幾何體的三視圖都是半徑為1的圓，在該幾何體內(nèi)放置一個(gè)高度為1的長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體積最大值為（）A. B.C. D.14．在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°5．設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，．若雙曲線右支上存在點(diǎn)，使得與雙曲線的一條漸近線垂直并相交于點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)圖象都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)，則（）A. B.C. D.8．如圖，我市某地一拱橋垂直軸截面是拋物線，已知水利人員在某個(gè)時(shí)刻測(cè)得水面寬，則此時(shí)刻拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為（）A. B.C. D.9．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（）A. B.C. D.10．過(guò)原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A B.C. D.11．已知等差數(shù)列為其前項(xiàng)和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.1312．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合也可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫(huà)面，-些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱美、和諧美的產(chǎn)物.曲線C：為四葉玫瑰線.①方程(xy<0)表示的曲線在第二和第四象限；②曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離都不超過(guò)2；③曲線C構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于4π；④曲線C上有5個(gè)整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)).則上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．長(zhǎng)方體中，，，已知點(diǎn)H，A，三點(diǎn)共線，且，則點(diǎn)H到平面ABCD的距離為_(kāi)_____14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線與兩點(diǎn)，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______.15．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_(kāi)____________16．若拋物線：上的一點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離為3，則__.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為、，動(dòng)點(diǎn)P滿足（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；（2）設(shè)過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線l交軌跡E于A、B兩點(diǎn)，問(wèn)：線段上是否存在一點(diǎn)D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)給出證明：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18．（12分）已知數(shù)列滿足且.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.19．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于零，求a的取值范圍20．（12分）為深入學(xué)習(xí)貫徹總書(shū)記在黨史學(xué)習(xí)教育動(dòng)員大會(huì)上的重要講話精神和中共中央有關(guān)決策部署，推動(dòng)教育系統(tǒng)圍繞建黨百年重大主題，深化中學(xué)在校師生理想信念教育，引導(dǎo)師生學(xué)史明理、學(xué)史增信、學(xué)史崇德、學(xué)史力行，以昂揚(yáng)的狀態(tài)迎接中國(guó)共產(chǎn)黨建黨周年，哈工大附中高二年級(jí)組織本年級(jí)同學(xué)開(kāi)展了一場(chǎng)黨史知識(shí)競(jìng)賽．為了解本次知識(shí)競(jìng)賽的整體情況，隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中a的值，并求該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)（精確到0.1）；（2）已知該樣本分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中，男生占，女生占現(xiàn)從該樣本分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中隨機(jī)抽出人，求至少有人是女生的概率.21．（12分）在①(b－c)cosA=acosC，②sin(B+C)=－1+2sin2，③acosC=b－c，這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，然后解答問(wèn)題在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知______________（1）求角A的大?。唬?）若a=2，且△ABC的面積為2，求b+c22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，其中.（1）記，求證：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用直線的方向向量的定義直接求解.【詳解】因?yàn)?，在直線l上，所以直線l的一個(gè)方向向量為.故選：C.2、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.3、B【解析】根據(jù)題意得到幾何體為半徑為1的球，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為球的直徑時(shí)，長(zhǎng)方體體積最大，設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬，得到等量關(guān)系，利用基本不等式求解體積最大值.【詳解】由題意得：此幾何體為半徑為1的球，長(zhǎng)方體為球的內(nèi)接長(zhǎng)方體時(shí)，體積最大，此時(shí)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為球的直徑，設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)為，寬為，則由題意得：，解得：，而長(zhǎng)方體體積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：B4、B【解析】以為空間的一個(gè)基底，求出空間向量求的夾角即可判斷作答.【詳解】在四面體OABC中，不共面，則，令，依題意，，設(shè)與AC所成角的大小為，則，而，解得，所以與AC所成角的大小為.故選：B5、C【解析】求出圓心到直線距離，再借助圓的性質(zhì)求出d的最大值與最小值即可.【詳解】圓的方程化為，圓心為，半徑為1，則圓心到直線的距離，即直線和圓相離，因此，圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離，有，，即，即的取值范圍是：.故選：C6、B【解析】利用漸近線方程和直線解出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再由得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程得到a、b、c的齊次式可解.【詳解】如圖，因?yàn)榕c漸近線垂直所以的斜率為，方程為解的Q的坐標(biāo)為設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為則，因?yàn)?，所以，得點(diǎn)P坐標(biāo)為，代入得：所以，即所以漸近線方程為故選：B.7、B【解析】根據(jù)“拐點(diǎn)”的概念可判斷函數(shù)的對(duì)稱中心，進(jìn)而求解.【詳解】，，，令，解得：，而，故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，，故選：B.8、D【解析】代入計(jì)算即可.【詳解】設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線方程得，則此時(shí)刻拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為2米.故選：D9、B【解析】直接利用正態(tài)分布的應(yīng)用和密度曲線的對(duì)稱性的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以密度曲線關(guān)于直線對(duì)稱，由于，所以，所以，則，所以故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正態(tài)分布的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題10、A【解析】直線AC、BD與坐標(biāo)軸重合時(shí)求出四邊形面積，與坐標(biāo)軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為橢圓頂點(diǎn)時(shí)，而，四邊形ABCD的面積，當(dāng)直線AC斜率存在且不0時(shí)，設(shè)其方程為，由消去y得：，設(shè)，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A11、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，，進(jìn)而根據(jù)條件求出，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數(shù)列，所以，又，又，聯(lián)立方程組解得：.于是，.故選：B.12、B【解析】對(duì)于①，由判斷，對(duì)于②，利用基本不等式可判斷，對(duì)于③，以為圓心，2為半徑的圓的面積與曲線圍成的面積進(jìn)行比較即可，對(duì)于④，將和聯(lián)立，求解出兩曲線的切點(diǎn)，從而可判斷【詳解】對(duì)于①，由，得異號(hào)，方程(xy<0)關(guān)于原點(diǎn)及y=x對(duì)稱，所以方程(xy<0)表示的曲線在第二和第四象限，所以①正確，對(duì)于②，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以由曲線的對(duì)稱性可知曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離都不超過(guò)2，所以②正確，對(duì)于③，由②可知曲線C上到原點(diǎn)的距離不超過(guò)2，而以為圓心，2為半徑的圓的面積為，所以曲線C構(gòu)成的四葉玫瑰線面積小于4π，所以③錯(cuò)誤，對(duì)于④，將和聯(lián)立，解得，所以可得圓與曲線C相切于點(diǎn)，，，，而點(diǎn)（1，1）不滿足曲線方程，所以曲線在第一象限不經(jīng)過(guò)任何整數(shù)點(diǎn)，由曲線的對(duì)稱性可知曲線在其它象限也不經(jīng)過(guò)任何整數(shù)點(diǎn)，所以曲線C上只有1個(gè)整點(diǎn)（0，0），所以④錯(cuò)誤，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】在長(zhǎng)方體中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用已知條件求出點(diǎn)H的坐標(biāo)作答.【詳解】在長(zhǎng)方體中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，因點(diǎn)H，A，三點(diǎn)共線，令，點(diǎn)，則，又，則，解得，所以點(diǎn)到平面ABCD的距離為.故答案為：14、【解析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)直線與軸的夾角為，不妨設(shè)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線與軸的垂線，垂足分別為，過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線和軸的垂線，垂足分別為，進(jìn)一步可以得到，進(jìn)而求出，同理求出，最后解得答案.【詳解】設(shè)直線與軸的夾角為，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，如圖所示.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線與軸的垂線，垂足分別為，過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線和軸的垂線，垂足分別為.由拋物線的定義可知，，同理：,于是，，則拋物線的準(zhǔn)線方程為：.故答案為：.15、3【解析】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故答案為3.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力.16、【解析】通過(guò)拋物線的定義列式求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義知，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)題意用定義法求解軌跡方程；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達(dá)定理表達(dá)出兩根之和，兩根之積，求出直線l的垂直平分線，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)，證明出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題意得：，所以，，而，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓方程，由得：，，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為；【小問(wèn)2詳解】存，理由如下：顯然，直線l的斜率存在，設(shè)為，聯(lián)立橢圓方程得：，設(shè)，，則，，要想以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，則點(diǎn)D為AB垂直平分線上一點(diǎn)，其中，，則，故AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則AB的垂直平分線為：，令得：，且無(wú)論為何值，，點(diǎn)D在線段上，滿足題意.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得證；（2）由（1）可得，可得，利用累加法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以是首?xiàng)為1公比為3的等比數(shù)列（2）由（1）可知，所以因?yàn)?，所以……，，各式相加得：，又，所以，又?dāng)n=1時(shí)，滿足上式，所以19、（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)并求定義域，討論、分別判斷的符號(hào)，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間.（2）由題設(shè)，結(jié)合（1）所得的單調(diào)性，討論、、分別確定在給定區(qū)間上的最小值，根據(jù)最小值小于零求參數(shù)a的范圍.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，且定義域?yàn)椋?dāng)，即時(shí)，在上，即在上遞增；當(dāng)，即時(shí)，在上，在上，所以在上遞減，在上遞增；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：若，即時(shí)，則在上遞增，故，可得；若，即時(shí)，則在上遞減，在上遞增，故，不合題設(shè)；若，即時(shí)，則在上遞減，故，得；綜上，a的取值范圍.20、（1）（2）【解析】（1）利用頻率和為1求出a；利用百分位數(shù)的定義求出知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)；（2）先利用分層抽樣求出男、女生的人數(shù)，利用古典概型求概率.【小問(wèn)1詳解】，由，解得設(shè)該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)為x，則，解得：.即該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)為【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖可知：分?jǐn)?shù)在）的人數(shù)有人，所以這人中，女生有人，記為、，男生有人，記為、、、從這人中隨機(jī)選取人，基本事件為：、、、、、、、、、、、、、、，共種不同取法；則至少有人是女生的基本事件為、、、、、、、、，共種不同取法，則所求的概率為21、（1）（2）【解析】（1）選①：化邊為角化簡(jiǎn)求出cos；選②：利用倍角公式將sin()=?1+2sin2化簡(jiǎn)為sin=?cos,再利用輔助角公式求解即可；選③：化邊為角化簡(jiǎn)運(yùn)算求解（2）利用面積公式求得，再利用余弦定理可得，計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】選①∵∴sincos=sinCcos+sincosC=sin(+C)=sin∴cos∵∈,∴=選②∵sin()=