人教版高中數(shù)學(xué)必修2第三章《直線的方程》導(dǎo)學(xué)案（無(wú)答案）

/必修2人教版數(shù)學(xué)高一第三章直線的方程課程目標(biāo)：一、考點(diǎn)突破1.理解直線的傾斜角和斜率的概念,經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫(huà)直線斜率的過(guò)程,掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式。2.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直。3.通過(guò)學(xué)習(xí)直線的傾斜角、斜率等概念,探索并掌握直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式,斜截式,兩點(diǎn)式,截距式等；通過(guò)理解、欣賞、運(yùn)用直線方程各具特征的豐富多彩的不同形式,感覺(jué)數(shù)學(xué)世界的奇異美、簡(jiǎn)潔美、和諧美,增強(qiáng)美學(xué)意識(shí)。通過(guò)對(duì)直線方程四種特殊形式和一般形式的分析和運(yùn)用,體會(huì)形式和內(nèi)容、對(duì)立和統(tǒng)一的辯證唯物主義思想。4.通過(guò)直線的方程,研究直線間的位置關(guān)系：平行和垂直,以及兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo),點(diǎn)到直線的距離公式等。理解事物之間相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義思想。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：直線的傾斜角和斜率概念,直線方程,兩直線的位置關(guān)系及其應(yīng)用。難點(diǎn)：直線方程的應(yīng)用。

精講精練：微課程1：根本公式及直線的傾角和斜率【考點(diǎn)精講】1.數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式：,為數(shù)軸上兩點(diǎn),那么2.平面上兩點(diǎn)間距離：,為平面上兩點(diǎn),那么3.線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式：假設(shè)點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)分別為〔x1,y1〕、〔x2,y2〕,且線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔x,y〕,那么x=eq\f(x1＋x2,2),y=eq\f(y1＋y2,2),此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式。4.直線的傾斜角與斜率〔1〕直線的傾斜角①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),我們?nèi)軸作為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角。當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為0°。②傾斜角的范圍為[0°,180°〕。〔2〕直線的斜率①定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,即k＝tanα,傾斜角是90°的直線斜率不存在。②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1〔x1,y1〕,P2〔x2,y2〕〔x1≠x2〕的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)。5.點(diǎn)P〔x0,y0〕到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離：d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))。6.兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0〔C1≠C2〕間的距離為d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))。【典例精析】例題1假設(shè)點(diǎn)A〔4,3〕,B〔5,a〕,C〔6,5〕三點(diǎn)共線,那么a的值為_(kāi)_____。思路導(dǎo)航：利用直線斜率公式求解。答案：∵A、B、C三點(diǎn)共線,∴經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線斜率等于經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線斜率,即kAB=kBC,∴,∴a=4。例題2經(jīng)過(guò)P〔0,－1〕作直線l,假設(shè)直線l與連接A〔1,－2〕,B〔2,1〕的線段總有公共點(diǎn),求直線l的傾斜角α與斜率k的范圍。思路導(dǎo)航：先求直線的兩個(gè)極限位置,再用運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)求斜率的范圍。答案：如下圖,kPA==－1,kPB==1,由圖可觀察出：直線l的傾斜角α的范圍是[135°,180°〕∪[0°,45°]；直線l的斜率k的范圍是[－1,1]。例題3實(shí)數(shù)滿足,試求的最大值和最小值。思路導(dǎo)航：利用的幾何意義：連接定點(diǎn)〔－2,－3〕與動(dòng)點(diǎn)〔〕的直線的斜率,借助數(shù)形結(jié)合,將求極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求斜率取值范圍問(wèn)題,簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程。答案：由的幾何意義可知,它表示經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P〔－2,－3〕與曲線段AB上任一點(diǎn)〔〕的直線斜率k,,由可得A〔1,1〕、B〔－1,5〕,故的最大值為8,最小值為。隨堂練習(xí)：斜率不存在的直線一定是〔〕A.過(guò)原點(diǎn)的直線B.垂直于x軸的直線C.垂直于y軸的直線D.平行于x軸的直線答案：過(guò)原點(diǎn)的直線不一定斜率不存在,垂直于y軸的直線斜率為0,平行于x軸的直線斜率也為0,垂直于x軸的直線傾斜角為90度,所以斜率不存在,應(yīng)選B。【總結(jié)提升】1.斜率是反映直線相對(duì)于x軸正方向的傾斜程度的,直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向不變,即在同一直線上任意不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等,這就是利用斜率可證三點(diǎn)共線的原因。2.要正確理解傾斜角的定義,明確傾斜角的取值范圍,熟記斜率公式：k＝eq\f(y2－y1,x2－x1),該公式與兩點(diǎn)順序無(wú)關(guān),兩點(diǎn)坐標(biāo)〔x1≠x2〕時(shí),根據(jù)該公式可求出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率。當(dāng)x1＝x2,y1≠y2時(shí),直線的斜率不存在,此時(shí)直線的傾斜角為90°。3.求斜率可用k＝tanα〔α≠90°〕,其中α為傾斜角,由此可見(jiàn)傾斜角與斜率相互聯(lián)系不可分割,牢記：“斜率變化分兩段,90°是分界線,遇到斜率要謹(jǐn)記,存在與否需討論〞。4.直線的斜率可以從負(fù)值到正值,但是傾斜角不能為負(fù),傾斜角的范圍是[0,180°〕。例如：一條直線的斜率范圍是[],我們知道對(duì)應(yīng)的直線傾斜角為120°,k=1對(duì)應(yīng)的直線傾斜角為45°,但是這條直線的傾斜角的范圍是∪[0,45°],而不是[45°,120°]。微課程2：直線方程的表達(dá)式【考點(diǎn)精講】1.直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k〔x－x0〕不含垂直于x軸的直線斜截式不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式不含直線x＝x1〔x1≠x2〕和直線y＝y(tǒng)1〔y1≠y2〕截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用2.過(guò)P1〔x1,y1〕,P2〔x2,y2〕的直線方程〔1〕假設(shè)x1＝x2,且y1≠y2時(shí),直線垂直于x軸,方程為x＝x1；〔2〕假設(shè)x1≠x2,且y1＝y(tǒng)2時(shí),直線垂直于y軸,方程為y＝y(tǒng)1；〔3〕假設(shè)x1＝x2＝0,且y1≠y2時(shí),直線即為y軸,方程為x＝0；〔4〕假設(shè)x1≠x2,且y1＝y(tǒng)2＝0時(shí),直線即為x軸,方程為y＝0?！镜淅觥坷}1求適合以下條件的直線方程：〔1〕經(jīng)過(guò)點(diǎn)P〔3,2〕,且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；〔2〕過(guò)點(diǎn)A〔－1,－3〕,斜率是直線y＝3x的斜率的－eq\f(1,4)。思路導(dǎo)航：首先要選擇直線方程的形式,注意直線方程的適用范圍。答案：〔1〕方法一：設(shè)直線l在x,y軸上的截距均為a,假設(shè)a＝0,即l過(guò)點(diǎn)〔0,0〕和〔3,2〕,∴l(xiāng)的方程為y＝eq\f(2,3)x,即2x－3y＝0。假設(shè)a≠0,那么設(shè)l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1,∵l過(guò)點(diǎn)〔3,2〕,∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,a)＝1,∴a＝5,∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0,綜上可知,直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0?！?〕設(shè)所求直線的斜率為k,依題意有k＝－eq\f(1,4)×3＝－eq\f(3,4)。又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔－1,－3〕,因此所求直線方程為y＋3＝－eq\f(3,4)〔x＋1〕,即3x＋4y＋15＝0。例題2直線l1：2x+y－6=0和點(diǎn)A〔1,－1〕,過(guò)A點(diǎn)作直線l與直線l1相交于B點(diǎn),且|AB|=5,求直線l的方程。思路導(dǎo)航：注意直線斜率不存在的情況。答案：過(guò)點(diǎn)A〔1,－1〕與y軸平行的直線為x＝1。解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,2x＋y－6＝0)),求得B點(diǎn)坐標(biāo)為〔1,4〕,此時(shí)|AB|＝5,即x＝1為所求。設(shè)過(guò)A〔1,－1〕且與y軸不平行的直線為y＋1＝k〔x－1〕,解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6＝0,y＋1＝k(x－1))),得兩直線交點(diǎn)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k＋7,k＋2),y＝\f(4k－2,k＋2)))?！瞜≠－2,否那么與直線平行〕。那么B點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋7,k＋2),\f(4k－2,k＋2)))。由,解得k＝－eq\f(3,4),∴y＋1＝－eq\f(3,4)〔x－1〕,即3x＋4y＋1＝0。綜上可知,所求直線的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0。例題3直線l過(guò)點(diǎn)P〔3,2〕,且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn),如下圖,求△ABO的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程。思路導(dǎo)航：利用直線方程解決問(wèn)題,為簡(jiǎn)化運(yùn)算可靈活選用直線方程的形式：一般地,一點(diǎn)通常選擇點(diǎn)斜式；斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；截距選擇截距式。答案：設(shè)A〔a,0〕,B〔0,b〕〔a>3,b>2〕,那么直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1,∵l過(guò)點(diǎn)P〔3,2〕,∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)＝1,b＝eq\f(2a,a－3),從而S△ABO＝eq\f(1,2)a·b＝eq\f(1,2)a·eq\f(2a,a－3)＝eq\f(a2,a－3),故有S△ABO＝eq\f((a－3)2＋6(a－3)＋9,a－3)＝〔a－3〕＋eq\f(9,a－3)＋6≥2eq\r((a－3)·\f(9,a－3))＋6＝12,當(dāng)且僅當(dāng)a－3＝eq\f(9,a－3),即a＝6時(shí),〔S△ABO〕min＝12,此時(shí)b＝eq\f(2×6,6－3)＝4?！嘀本€l的方程為eq\f(x,6)＋eq\f(y,4)＝1,即2x＋3y－12＝0?！究偨Y(jié)提升】在求直線方程時(shí),應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式,并注意各種形式的適用條件,用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí),直線的斜率必須存在,而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線,截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線,故在解題時(shí),假設(shè)采用截距式,應(yīng)注意分類討論,判斷截距是否為零；假設(shè)采用點(diǎn)斜式,應(yīng)先考慮斜率不存在的情況。微課程3：兩直線的位置關(guān)系【考點(diǎn)精講】一、兩條直線平行與垂直的判定1.對(duì)于兩條直線：〔1〕〔2〕〔k1,k2均存在〕2.對(duì)于兩條直線：〔1〕〔2〕3.與直線平行的直線可設(shè)為4.與直線垂直的直線可設(shè)為二、兩直線相交交點(diǎn)：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對(duì)應(yīng)。相交方程組有唯一解,交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；平行方程組無(wú)解；重合方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解?！镜淅觥坷}1〔1〕兩直線l1：x＋y＋6＝0,l2：〔m－2〕x＋3my＋2m＝0,假設(shè)l1∥l2,求實(shí)數(shù)m的值；〔2〕兩直線l1：x＋2y＋6＝0和l2：x＋〔－1〕y＋〔－1〕＝0。假設(shè)l1⊥l2,求實(shí)數(shù)的值。思路導(dǎo)航：〔1〕充分掌握兩直線平行與垂直的條件是解決此題的關(guān)鍵,對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線l1和l2,l1∥l2?k1＝k2,l1⊥l2?k1·k2＝－1。假設(shè)有一條直線的斜率不存在,那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意?！?〕①假設(shè)直線l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1,l2：y＝k2x＋b2,那么l1⊥l2?k1·k2＝－1。②設(shè)l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0。那么：l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0。注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。答案：〔1〕方法一：①當(dāng)m＝0時(shí),l1：x＋6＝0,l2：x＝0,l1∥l2；②當(dāng)m≠0時(shí),l1：y＝－eq\f(1,m2)x－eq\f(6,m2),l2：y＝eq\f(2－m,3m)x－eq\f(2,3),由－eq\f(1,m2)＝eq\f(2－m,3m)且－eq\f(6,m2)≠－eq\f(2,3),∴m＝－1。故所求實(shí)數(shù)m的值為0或－1。方法二：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的等價(jià)條件是：A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0。由所給直線方程可得：1·3m－m2·〔m－2〕＝0且1·2m－6·〔m－2〕≠0∵m〔m2－2m－3〕＝0且m≠3∴m＝0或－1。故所求實(shí)數(shù)m的值為0或－1?！?〕方法一：由直線l1的方程知其斜率為－eq\f(a,2),當(dāng)a＝1時(shí),直線l2的斜率不存在,l1與l2不垂直；當(dāng)a≠1時(shí),直線l2的斜率為－eq\f(1,a－1)。由－eq\f(a,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a－1)))＝－1∴a＝eq\f(2,3)。故所求實(shí)數(shù)a的值為eq\f(2,3)。方法二：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的等價(jià)條件是A1A2＋B1B2＝0。由所給直線方程可得：a·1＋2·〔a－1〕＝0∴a＝eq\f(2,3)。故所求實(shí)數(shù)a的值為eq\f(2,3)。例題2求經(jīng)過(guò)直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點(diǎn),且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程。思路導(dǎo)航：首先解決兩直線焦點(diǎn)問(wèn)題,再用直線位置關(guān)系解題。答案：方法一：先解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0,5x＋2y＋1＝0)),得l1、l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為〔－1,2〕,再由l3的斜率eq\f(3,5)求出l的斜率為－eq\f(5,3),于是由直線的點(diǎn)斜式方程求出l：y－2＝－eq\f(5,3)〔x＋1〕,即5x＋3y－1＝0。方法二：由于l⊥l3,故l是直線系5x＋3y＋C＝0中的一條,而l過(guò)l1、l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為〔－1,2〕,故5×〔－1〕＋3×2＋C＝0,由此求出C＝－1,故l的方程為5x＋3y－1＝0。方法三：由于l過(guò)l1、l2的交點(diǎn),故l是直線系3x＋2y－1＋λ〔5x＋2y＋1〕＝0中的一條,將其整理,得〔3＋5λ〕x＋〔2＋2λ〕y＋〔－1＋λ〕＝0。其斜率－eq\f(3＋5λ,2＋2λ)＝－eq\f(5,3),解得λ＝eq\f(1,5),代入直線系方程即得l的方程為5x＋3y－1＝0。例題3光線沿直線l1：x－2y＋5＝0射入,遇直線l：3x－2y＋7＝0后反射,求反射光線所在的直線方程。思路導(dǎo)航：〔1〕入射光線所在直線與反射光線所在直線關(guān)于l對(duì)稱?！?〕對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分。答案：方法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋5＝0,,3x－2y＋7＝0,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,,y＝2.))∴反射點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔－1,2〕。又取直線x－2y＋5＝0上一點(diǎn)P〔－5,0〕,設(shè)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′〔x0,y0〕,由PP′⊥l可知,kPP′＝－eq\f(2,3)＝eq\f(y0,x0＋5)。而PP′的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－5,2),\f(y0,2))),Q點(diǎn)在l上,∴3·eq\f(x0－5,2)－2·eq\f(y0,2)＋7＝0。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋5)＝－\f(2,3),,\f(3,2)(x0－5)－y0＋7＝0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(17,13),,y0＝－\f(32,13).)) 根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程可得所求反射光線所在直線的方程為29x－2y＋33＝0。方法二：設(shè)直線x－2y＋5＝0上任意一點(diǎn)P〔x0,y0〕關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′〔x,y〕,那么eq\f(y0－y,x0－x)＝－eq\f(2,3),又PP′的中點(diǎn)Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2),\f(y＋y0,2)))在l上,∴3×eq\f(x＋x0,2)－2×eq\f(y＋y0,2)＋7＝0, 由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－y,x0－x)＝－\f(2,3),,3×\f(x＋x0,2)－(y＋y0)＋7＝0.))可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為x0＝eq\f(－5x＋12y－42,13),y0＝eq\f(12x＋5y＋28,13), 代入方程x－2y＋5＝0中,化簡(jiǎn)得29x－2y＋33＝0,∴所求反射光線所在的直線方程為29x－2y＋33＝0。 例題4在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD,AB＝2,BC＝1,AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上,A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合。將矩形折疊,使A點(diǎn)落在線段DC上。假設(shè)折痕所在直線的斜率為k,試寫出折痕所在直線的方程。思路導(dǎo)航：〔1〕題目已告訴直線斜率為k,即斜率存在?！?〕從題