三角函數(shù)式在解三角形中的應(yīng)用

三角函數(shù)式在解三角形中的應(yīng)用高考要求三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧重難點(diǎn)歸納(1)運(yùn)用方程觀點(diǎn)結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；(2)熟練地進(jìn)行邊角和已知關(guān)系式的等價(jià)轉(zhuǎn)化；(3)能熟練運(yùn)用三角形基礎(chǔ)知識，正、余弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條件的挖掘典型題例示范講解例1在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P，上午11時(shí)，測得一輪船在島北30°東，俯角為30°的B處，到11時(shí)10分又測得該船在島北60°西、俯角為60°的C處。(1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米；(2)又經(jīng)過一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)？命題意圖本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識，以及學(xué)生的識圖能力和綜合運(yùn)用三角知識解決實(shí)際問題的能力知識依托主要利用三角形的三角關(guān)系，關(guān)鍵找準(zhǔn)方位角，合理利用邊角關(guān)系錯(cuò)解分析考生對方位角識別不準(zhǔn)，計(jì)算易出錯(cuò)技巧與方法主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運(yùn)用正弦定理來解決問題解(1)在Rt△PAB中，∠APB=60°PA=1，∴AB=(千米)在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=(千米)在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°(2)∠DAC=90°－60°=30°sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB·cos30°－cosACB·sin30°在△ACD中，據(jù)正弦定理得，∴答此時(shí)船距島A為千米例2已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，設(shè)x=cos，f(x)=cosB()(1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域；(2)判斷其單調(diào)性，并加以證明；(3)求這個(gè)函數(shù)的值域命題意圖本題主要考查考生運(yùn)用三角知識解決綜合問題的能力，并且考查考生對基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用的程度和考生的運(yùn)算能力知識依托主要依據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)公式和性質(zhì)以及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去解決問題錯(cuò)解分析考生對三角函數(shù)中有關(guān)公式的靈活運(yùn)用是難點(diǎn)，并且不易想到運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的值域問題技巧與方法本題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化積和積化和差公式在求定義域時(shí)要注意||的范圍解(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1又4x2－3≠0，∴x≠，∴定義域?yàn)?，)∪(，1］(2)設(shè)x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)==，若x1，x2∈()，則4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈(，1］，則4x12－3＞04x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(,)和(，1上都是減函數(shù)(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2故f(x)的值域?yàn)?－∞，－)∪［2，+∞例3已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，求cos的值解法一由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120°設(shè)α=，則A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α，依題設(shè)條件有整理得4cos2α+2cosα－3=0(M)(2cosα－)(2cosα+3)=0，∵2cosα+3≠0，∴2cosα－=0從而得cos解法二由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120° ①，把①式化為cosA+cosC=－2cosAcosC ②，利用和差化積及積化和差公式，②式可化為 ③，將cos=cos60°=，cos(A+C)=－代入③式得 ④將cos(A－C)=2cos2()－1代入④4cos2()+2cos－3=0，(*)，學(xué)生鞏固練習(xí)1給出四個(gè)命題(1)若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；(2)若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，則△ABC為鈍角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，則△ABC為正三角形以上正確命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D42在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為__________3在△ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2A+C)=－，sinB=，則cos2(B+C)=__________4已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積5如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比，角和這一點(diǎn)到光源的距離r的平方成反比，即I=k·，其中k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？6在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，(1)求角A的度數(shù)；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值7在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且a、b、3c成等比數(shù)列，又∠A－∠C=，試求∠A、∠B、∠C的值8在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊三角形時(shí)，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求AD∶AB的值參考答案1解析其中(3）(4）正確答案B2解析∵A+B+C=π，A+C=2B，答案3解析∵A為最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°∵cos(2A+C)=－，∴sin(2A+C)=∵C為最大角，∴B為銳角，又sinB=故cosB=即sin(A+C)=，cos(A+C)=－∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－，∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)－1=答案4解如圖連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積S=S△ABD+S△CDB=·AB·ADsinA+·BC·CD·sinC∵A+C=180°，∴sinA=sinC故S=(AB·AD+BC·CD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2AB·AD·cosA=20－16cosA在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA，∴64cosA=－32，cosA=－，又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=85解R=rcosθ，由此得，7解由a、b、3c成等比數(shù)列，得b2=3ac∴sin2B=3sinC·sinA=3(－)［cos(A+C)－cos(A－C)］∵B=π－(A+C)∴sin2(A+C)=－［cos(A+C)－cos］即1－cos2(A+C)=－cos(A+C)，解得cos(A+C)=－∵0＜A+C＜π，∴A+C=π又A－C=∴A=π，B=，C=8解按題意，設(shè)折疊后A點(diǎn)落在邊BC上改稱P點(diǎn)，顯然A、P兩點(diǎn)關(guān)于折線DE對稱，又設(shè)∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再設(shè)AB=a，AD=x，∴DP=x在△ABC中，∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，由正弦定理知∴BP=在△PBD中，,∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴當(dāng)60°+2θ=90°，即θ=15°時(shí)，sin(60°+2θ)=1，此時(shí)x取得最小值a，即AD最小，∴AD∶DB=2－3易錯(cuò)題1、(四川省巴蜀聯(lián)盟2008屆高三年級第二次聯(lián)考)在△ABC中，是角A、B、C成等差數(shù)列的A．充分非必要條件B．充要條件取C．必要非充分條件 D．既不充分也不必要條件答案：B2、(四川省樂山市2008屆第一次調(diào)研考試)設(shè)分別是的三個(gè)內(nèi)角所對的邊，若的（）A.充分不必要條件；B.必要不充分條件；C.充要條件；D.既不充分也不必要條件；答案：B3、(四川省成都市新都一中高2008級12月月考)在三角形ABC中“cosA＋sinA＝cosB＋sinB”是“C＝90°”的()A、充分非必要條件 B、必要非充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件本題主要考查三角形中三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，充要條件解析：C＝90°時(shí)，A與B互余，sinA＝cosB，cosA＝sinB，有cosA＋sinA＝cosB＋sinB成立但當(dāng)A＝B時(shí)，也有cosA＋sinA＝cosB＋sinB成立故“cosA＋sinA＝cosB＋sinB”是“C＝90°”的必要非充分條件答案：B4、(北京市崇文區(qū)2008年高三統(tǒng)一練習(xí)一)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知則c=（） A．4 B．3 C．EQ\r(3)＋1 D．EQ\r(3)答案：A5、(山東省博興二中高三第三次月考)在鈍角△ABC中，已知AB=，AC=1，∠B=30°，則△ABC的面積是（） A． B． C． D．答案：A6、(山東省博興二中高三第三次月考)CD是△ABC的邊AB上的高，且，則()A． B．或C．或 D．或答案：D7、(廣東省2008屆六校第二次聯(lián)考)在ΔABC中,角A、B、C的對邊分別為、、,已知A=,,，則()A.1B.2C.－1D.答案：B8、(廣東省韶關(guān)市2008屆高三第一次調(diào)研考試)中，，，，則A． B． C． D．或答案：B9、(廣東省深圳外國語學(xué)校2008屆第三次質(zhì)檢)在中，“A>B”是“”成立的（）A．充要條件B．2充分部必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件答案：A10、(貴州省貴陽六中、遵義四中2008年高三聯(lián)考)已知等腰的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．答案：D11、(河北省正定中學(xué)高2008屆一模)在中，已知sinC=2sin(B+C)cosB,那么一定是Ａ．等腰直角三角形 Ｂ．等腰三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．等邊三角形答案：B12、(河南省上蔡一中2008屆高三月考)設(shè)分別是中所對邊的邊長,則直線與的位置關(guān)系是A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直答案：B13、(黑龍江省哈爾濱三中2008年高三上期末)設(shè)A和B是△ABC的內(nèi)角，的值是 （） A． B．－ C．－ D．－或－答案：B14、(湖北省黃岡市麻城博達(dá)學(xué)校2008屆三月綜合測試)在中，已知sinC=2sin(B+C)cosB,那么一定是Ａ．等腰直角三角形 Ｂ．等腰三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．等邊三角形答案：D15、(湖北省黃岡中學(xué)2008屆高三第一次模擬考試)已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值為，則實(shí)數(shù)的一個(gè)值可以是（）A． B． C． D．答案：B16、(湖北省