河北省唐山市路南區(qū)唐山一中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

河北省唐山市路南區(qū)唐山一中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)P在雙曲線右支上,,,則C的離心率為()A. B.2C. D.2.橢圓=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F,過原點(diǎn)O作直線(不經(jīng)過焦點(diǎn)F)與橢圓交于A,B兩點(diǎn),若△ABF的面積是20,則直線AB的斜率為()A. B.C. D.3.命題“對任何實(shí)數(shù),都有”的否定形式是()A.,使得B.,使得C.,使得D.,使得4.設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為,且函數(shù)的圖像如題(8)圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是A.函數(shù)有極大值和極小值B.函數(shù)有極大值和極小值C.函數(shù)有極大值和極小值D.函數(shù)有極大值和極小值5.等差數(shù)列中,,則前項(xiàng)的和()A. B.C. D.6.設(shè)等差數(shù)列,的前n項(xiàng)和分別是,,若,則()A. B.C. D.7.過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為()A B.C. D.8.如圖,正四棱柱是由四個(gè)棱長為1的小正方體組成的,是它的一條側(cè)棱,是它的上底面上其余的八個(gè)點(diǎn),則集合的元素個(gè)數(shù)()A.1 B.2C.4 D.89.我國古代數(shù)學(xué)論著中有如下敘述:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈二百五十四.”思如下:一座7層塔共掛了254盞燈,且相鄰兩層下一層所掛燈數(shù)是上一層所掛燈數(shù)的2倍.下列結(jié)論不正確的是()A.底層塔共掛了128盞燈B.頂層塔共掛了2盞燈C.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)比最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)多200D.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)是最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)的16倍10.已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為,,P為橢圓上一點(diǎn),且,則的面積等于()A.6 B.C. D.11.已知等比數(shù)列中,,則由此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列的前項(xiàng)和為()A. B.C. D.12.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中討論過高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項(xiàng)之差并不相等,而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.例如“百層球堆垛”:第一層有1個(gè)球,第二層有3個(gè)球,第三層有6個(gè)球,第四層有10個(gè)球,第五層有15個(gè)球,…,各層球數(shù)之差:,,,,…即2,3,4,5,…是等差數(shù)列.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列,其前6項(xiàng)分別為1,3,6,12,23,41,則該數(shù)列的第8項(xiàng)為()A.51 B.68C.106 D.157二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)、為正數(shù),若,則的最小值是______,此時(shí)______.14.某部門計(jì)劃對某路段進(jìn)行限速,為調(diào)查限速60km/h是否合理,對通過該路段的300輛汽車的車速進(jìn)行檢測,將所得數(shù)據(jù)按,,,分組,繪制成如圖所示頻率分布直方圖.則________;這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有______輛.15.等差數(shù)列的公差,是其前n項(xiàng)和,給出下列命題:若,且,則和都是中的最大項(xiàng);給定n,對于一些,都有;存在使和同號;.其中正確命題的序號為___________.16.以下數(shù)據(jù)為某校參加數(shù)學(xué)競賽的名同學(xué)的成績:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.則這人成績的第百分位數(shù)可以是______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=1,BC=2,∠ABC=60°,四邊形ACEF為正方形,且平面ABCD⊥平面ACEF(1)證明:AB⊥CF;(2)求點(diǎn)C到平面BEF距離;(3)求平面BEF與平面ADF夾角的正弦值18.(12分)如圖,四棱錐中,,且,(1)求證:平面平面;(2)若是等邊三角形,底面是邊長為3的正方形,是中點(diǎn),求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知空間三點(diǎn).(1)求以為鄰邊平行四邊形的周長和面積;(2)若,且分別與垂直,求向量的坐標(biāo).20.(12分)設(shè),分別是橢圓:的左、右焦點(diǎn),的離心率為,點(diǎn)是上一點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn),且,求直線的方程.21.(12分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),證明:存在最大值,且恒成立.22.(10分)已知圓的圓心在直線上,與軸正半軸相切,且被直線:截得的弦長為.(1)求圓的方程;(2)設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動,點(diǎn),且點(diǎn)滿足,記點(diǎn)的軌跡為.①求的方程,并說明是什么圖形;②試探究:在直線上是否存在定點(diǎn)(異于原點(diǎn)),使得對于上任意一點(diǎn),都有為一常數(shù),若存在,求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由,所以為直角三角形,根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合勾股定理可得答案.【詳解】由,所以為直角三角形.,根據(jù)雙曲線的定義可得所以,即,即,所以故選:C2、A【解析】分情況討論當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),可求面積,檢驗(yàn)是否滿足條件,當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),可設(shè)直線AB的方程y=kx,聯(lián)立橢圓方程,可求△ABF2的面積為S=2代入可求k【詳解】由橢圓=1,則焦點(diǎn)分別為F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),不妨取F(5,0)①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),直線AB的方程為x=0,此時(shí)AB=4,=AB?5=×5=10,不符合題意;②可設(shè)直線AB的方程y=kx,由,可得(4+9k2)x2=180,∴xA=6,yA=,∴△ABF2的面積為S=2=2××5×=20,∴k=±故選:A3、B【解析】可將原命題變成全稱命題形式,而全稱命題的否定為特稱命題,即可選出答案.【詳解】命題“對任何實(shí)數(shù),都有”,可寫成:,使得,此命題為全稱命題,故其否定形式為:,使得.故選:B.4、D【解析】則函數(shù)增;則函數(shù)減;則函數(shù)減;則函數(shù)增;選D.【考點(diǎn)定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減5、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可求得,根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列,,解得:;.故選:D.6、B【解析】利用求解.【詳解】解:因?yàn)榈炔顢?shù)列,的前n項(xiàng)和分別是,所以.故選:B7、D【解析】設(shè)雙曲線的方程為,再代點(diǎn)解方程即得解.【詳解】解:由得,所以橢圓的焦點(diǎn)為.設(shè)雙曲線的方程為,因?yàn)殡p曲線過點(diǎn),所以.所以雙曲線的方程為.故選:D8、A【解析】用空間直角坐標(biāo)系看正四棱柱,根據(jù)向量數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系,為原點(diǎn),正四棱柱的三個(gè)邊的方向分別為軸、軸和看軸,如右圖示,,設(shè),則AB所以集合,元素個(gè)數(shù)為1.故選:A.9、C【解析】由題設(shè)易知是公比為2的等比數(shù)列,應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求,結(jié)合各選項(xiàng)的描述及等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式判斷正誤即可.【詳解】從上往下記每層塔所掛燈的盞數(shù)為,則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,且,解得,所以頂層塔共掛了2盞燈,B正確;底層塔共掛了盞燈,A正確最上面3層塔所掛燈總盞數(shù)為14,最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)為224,C不正確,D正確故選:C.10、B【解析】根據(jù)橢圓定義和余弦定理解得,結(jié)合三解形面積公式即可求解【詳解】由與是橢圓上一點(diǎn),∴,兩邊平方可得,即,由于,,∴根據(jù)余弦定理可得,綜上可解得,∴的面積等于,故選:B11、B【解析】確實(shí)新數(shù)列是等比數(shù)列及公比、首項(xiàng)后,由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算,【詳解】由題意,新數(shù)列為,所以,,前項(xiàng)和為故選:B.12、C【解析】對高階等差數(shù)列按其定義逐一進(jìn)行構(gòu)造數(shù)列,直到出現(xiàn)一般等差數(shù)列為止,再根據(jù)其遞推關(guān)系進(jìn)行求解.【詳解】現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列,其前6項(xiàng)分別為1,3,6,12,23,41,各項(xiàng)與前一項(xiàng)之差:,,,,,…即2,3,6,11,18,…,,,,,…即1,3,5,7,…是等差數(shù)列,所以,故選:C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①.4②.【解析】巧用“1”改變目標(biāo)式子的結(jié)果,借助均值不等式求最值即可.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)即,時(shí)等號成立.故答案為,【點(diǎn)睛】本題考查最值的求法,注意運(yùn)用“1”的代換法和基本不等式,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題14、①.②.【解析】根據(jù)個(gè)小矩形面積之和為1即可求出的值;根據(jù)頻率分布直方圖可以求出車速低于限速60km/h的頻率,從而可求出汽車有多少輛【詳解】由解得:這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有故答案為:;15、【解析】對,根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性和可判斷;對和,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可直接推導(dǎo);對,利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和可直接推導(dǎo).【詳解】不妨設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為對,,可得:,解得:,即又,則是遞減的,則中的前5項(xiàng)均為正數(shù),所以和都是中的最大項(xiàng),故正確;對,,故有:,故正確;對,,又,則,說明不存在使和同號,故錯誤;對,有:故并不是恒成立的,故錯誤故答案為:16、【解析】利用百分位數(shù)的求法直接求解即可.【詳解】解:將所給數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.數(shù)據(jù)量,∵是整數(shù),∴故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2);(3).【解析】(1)利用余弦定理計(jì)算AC,再證明即可推理作答.(2)以點(diǎn)A為原點(diǎn),射線AB,AC,AF分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系,借助空間向量計(jì)算點(diǎn)C到平面BEF的距離.(3)利用(2)中坐標(biāo)系,用向量數(shù)量積計(jì)算兩平面夾角余弦值,進(jìn)而求解作答.小問1詳解】在中,AB=1,BC=2,∠ABC=60°,由余弦定理得,,即,有,則,即,因平面ABCD⊥平面ACEF,平面平面,平面,于是得平面,又平面,所以.【小問2詳解】因四邊形ACEF為正方形,即,由(1)知兩兩垂直,以點(diǎn)A為原點(diǎn),射線AB,AC,AF分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量,則,令,得,而,于是得點(diǎn)C到平面BEF的距離,所以點(diǎn)C到平面BEF的距離為.【小問3詳解】由(2)知,,設(shè)平面的一個(gè)法向量,則,令,得,,設(shè)平面BEF與平面ADF夾角為,,則有,,所以平面BEF與平面ADF夾角的正弦值為.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛:空間向量求二面角時(shí),一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角,二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算,要認(rèn)真細(xì)心,準(zhǔn)確計(jì)算18、(1)證明見解析(2)【解析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理,結(jié)合面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量夾角公式,結(jié)合線面角定義進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】∵,∴,,又,∴,∵,面,∴面,平面ABCD,平面平面【小問2詳解】∵平面平面,交AD于點(diǎn)F,平面,平面平面,∴平面,以為原點(diǎn),,的方向分別為軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,求得法向量為,由,所以直線與平面所成角的正弦值為.19、(1)周長為,面積為7.(2)或.【解析】(1)根據(jù)點(diǎn),求出向量,利用向量的摸公式即可求出的距離,可以求出周長,再利用向量的夾角公式求出夾角的余弦值,根據(jù)平方關(guān)系得到正弦值,再利用即可求解;(2)首先設(shè)出,根據(jù)題意可得出的方程組,解出滿足條件所有的值即可求解.【小問1詳解】由題中條件可知,,,,.所以以為鄰邊的平行四邊形的周長為.因?yàn)椋驗(yàn)?,所?所以.故以以為鄰邊的平行四邊形的面積為:.【小問2詳解】設(shè),則,,因?yàn)?,且分別與垂直,得,解得或所以向量的坐標(biāo)為或.20、(1)(2)或【解析】(1)按照所給的條件帶入橢圓方程以及e的定義即可;(2)聯(lián)立直線與橢圓方程,表達(dá)出,解方程即可.【小問1詳解】由題意知,,且,解得,,所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由題意知,直線的斜率存在且不為0,故可設(shè)直線的方程為,設(shè),.由得,則……①,……②,因?yàn)椋?,,由可得……③由①②③可得,解得,,所以直線的方程為或,故答案為:,或.21、(1)的單增區(qū)間為,;單減區(qū)間為,,;(2)證明見解析.【解析】(1)先求出函數(shù)的定義域,求出,由,結(jié)合函數(shù)的定義域可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)時(shí),定義域R,求出,從而得出單調(diào)區(qū)間,由當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,以及極值點(diǎn)與2的大小關(guān)系可得出當(dāng)時(shí),函數(shù)有最大值,然后再證明即可.【詳解】解:(1)定義域,可得且且,,可得且3無0無0減無減增無增減所以,的單增區(qū)間為,;單減區(qū)間為,,.(2)當(dāng)時(shí),定義域R因?yàn)椋?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以的最大值在時(shí)取得;由,即,得由,得,或由,得所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),,且,由所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有最大值.所以,因?yàn)?,所?設(shè),則所以化為由,則,則,所以所以22、(1);(2)①,圓;②存在,.【解析】(1)設(shè)圓心,根據(jù)題意,得到半徑,根據(jù)弦長的幾何表示,由題中條件,列出方程求解,得出,從而可得圓心和半徑,進(jìn)而可得出結(jié)果;(2)①設(shè),根據(jù)向量的坐標(biāo)表示,由題中條件,得到,代入

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