河南省新鄉(xiāng)市鐵路高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

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一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.已知，，且，則x的值為（）

A.B.C.6D.

2.已知是平面的法向量，是直線的方向向量，則直線與平面的位置關(guān)系是（）

A.垂直B.平行或直線在平面內(nèi)

C.相交但不垂直D.不能確定

3.已知，，，若向量，，共面，則實(shí)數(shù)等于（）

A.1B.2C.3D.4

4.如圖，在直三棱柱中，E為棱的中點(diǎn).設(shè)，，，則（）

A.B.

C.D.

5.如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點(diǎn)B是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）

A.B.C.D.

6.定義兩個(gè)向量與的向量積是一個(gè)向量，它的模，它的方向與和同時(shí)垂直，且以，，的順序符合右手法則（如圖），在棱長為2的正四面體中，則（）

A.B.4C.D.

7.如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，其中，，，，則點(diǎn)C到平面的距離為（）

A.B.C.D.

8.已知在棱長為2的正四面體中，點(diǎn)M滿足，點(diǎn)N滿足，當(dāng)，均最短時(shí)，（）

A.B.C.D.

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.關(guān)于空間向量，以下說法不正確的是（）

A.向量，，若，則

B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面

C.設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底

D.若空間四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C，，則A，B，C三點(diǎn)共線

10.《九章算術(shù)》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做塹堵，在如圖所示的塹堵中，，則（）

A.

B.

C.向量在向量上的投影向量為

D.向量在向量上的投影向量為

11.如圖，正方體的棱長為2，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段，上，則（）

A.異面直線和所成的角為

B.點(diǎn)A到平面的距離為

C.若P，Q分別為線段，的中點(diǎn)，則平面

D.線段長度的最小值為

12.在棱長為1的正方體中，點(diǎn)P滿足，，，則以下說法正確的是（）

A.當(dāng)時(shí)，平面

B.當(dāng)時(shí)，存在唯一點(diǎn)P使得所在直線與直線的夾角為

C.當(dāng)時(shí)，的最小值為

D.當(dāng)點(diǎn)P落在以為球心，為半徑的球面上時(shí)，的最小值為

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）

13.已知，，P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.

14.如圖，已知四棱柱的底面是邊長為1的正方形，且，，則______.

15.已知在正四棱臺(tái)中，上底面是邊長為1的正方形，下底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱與下底面所成的角均為60°，則異面直線與所成角的余弦值為______.

16.在直四棱柱中，底面是邊長為2的正方形，.點(diǎn)M是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不含邊界），，則與平面所成角的正切值的取值范圍為______.

四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，.

（1）若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值；

（2）若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值.

18.如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，，，，.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

19.如圖，在棱長為3的正方體中，點(diǎn)E是棱上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)F是棱上的一點(diǎn)，且.

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求直線到平面的距離.

20.在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，，平面底面，.

（1）證明：；

（2）求平面與平面夾角的正弦值.

21.如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.

（1）求平面與平面夾角的余弦值；

（2）在線段（含端點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22.如圖，在四棱錐中，，，，，，.E是棱上一點(diǎn)，平面.

（1）求證：E為的中點(diǎn)；

（2）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求四棱錐的體積.

條件①：點(diǎn)D到平面的距離為；

條件②：直線與平面所成的角為.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

高二數(shù)學(xué)答案

一、單選題

1.D2.B3.A4.A5.C6.D7.C8.A

二、多選題

9.AC10.BD11.BCD12.ACD

三、填空題

1314.15.16.

四、解答題

17.【答案】（1）或.（2）.

【詳解】（1）由已知可得，，

∴，.若與互相垂直，則，

即，

解得或.（2）由（1）知，，

則，，

由題意可設(shè)，所以解得或因此實(shí)數(shù)的值為.

18.【答案】（1）60°；（2）證明見解析．

【詳解】據(jù)題意，建立如圖坐標(biāo)系．于是：

，，，，，

∴，，，．

（1），

∴

∴異面直線EF和所成的角為60°．

（2）

∴，即

，

∴即．

又∵，平面且

∴平面．

19.【答案】（1）（2）

【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，

，，

所以，

所以異面直線與所成角的余弦值為；

（2）連接，顯然，因?yàn)椋?/p>

所以，于是，

因?yàn)槠矫?，平面?/p>

所以平面，

因此直線到平面的距離就是點(diǎn)到平面的距離，

設(shè)平面的法向量為，

，，

則有，

，

點(diǎn)到平面的距離為：

.

20.【答案】（1）證明見解析（2）

【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，如圖所示：

∵，，是等腰直角三角形，

∴，，且，

∵平面底面，平面底面，平面，

∴平面，

∵平面，

∴，

∵，

∴，

∴，（符合勾股定理），

∴，

∵，，平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）由（1）知，可以建立分別以，，為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

又因?yàn)樾比庵?，?/p>

所以，

所以，，，

設(shè)平面的法向量，

則，令，則，

∴平面的法向量，

設(shè)平面的法向量，

則，令，則，，

∴平面的法向量，

設(shè)二面角的平面角為，

則.

所以，

故二面角的正弦值為.

21.【答案】（1）（2）存在，

【詳解】（1）過作于，由于，則，由于，且四邊形是等腰梯形，所以，在三角形中，由余弦定理可得，所以，故，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為軸，軸，過點(diǎn)作的平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，

∴，，，，，，

，，

設(shè)面的法向量，

則，即，取，得．

設(shè)面的法向量，，，

則，即，則取，得．

∵，

由幾何體的特征可知二面角的平面角為銳角，

∴二面角的余弦值為．

（2），，，，面，

面．

設(shè)，

若平面，則，所以，

所以

22.【答案】（1）證明見解析（2）條件選擇見解析，

【詳解】（1）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，如圖所示：

因?yàn)?，所以?/p>

所以B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面．

又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?/p>

所以

所以四邊形是平行四邊形

所以，，

由，，

所以，，所以，，

所以為的中位線，

所以為的中點(diǎn)．

（2）過作于，連接．

因?yàn)?，又因?yàn)椋?/p>

且，

所以平面．

又平面，

所以平面平面．