蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)串講+題型專(zhuān)訓(xùn)專(zhuān)題10 證明（原卷版）

專(zhuān)題10證明一、定義與命題命題屬于判斷句或陳述句，是對(duì)一件事情作出判斷，與判斷的正確與否沒(méi)有關(guān)系．其中命題的題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．當(dāng)證明一個(gè)命題是假命題時(shí)只要舉出一個(gè)反例就可以，即只需列出一個(gè)具備條件而不具備結(jié)論的例子即可.要說(shuō)明一個(gè)真命題，則要從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已學(xué)過(guò)的基本事實(shí)、定義、性質(zhì)和定理等，進(jìn)行有理有據(jù)的推理,證明它的正確性.二、證明證明過(guò)程必須做到言必有據(jù).證明過(guò)程通常包含幾個(gè)推理，每個(gè)推理都應(yīng)包括因、果和有因得果的依據(jù).其中，“因”是已知事項(xiàng)，“果”是推出的結(jié)論；“有因得果的依據(jù)”是基本事實(shí)、定義、已學(xué)過(guò)的定理以及等式性質(zhì)、不等式性質(zhì).證明的步驟：1.根據(jù)題意，畫(huà)出圖形；2.根據(jù)命題的條件、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫(xiě)出已知、求證；3.寫(xiě)出證明過(guò)程.推理和證明是有區(qū)別的，推理是證明的組成部分，一個(gè)證明過(guò)程往往包含多個(gè)推理.三、三角形的內(nèi)角和定理及其推論三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和.(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．(2)三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．(3)三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角，叫做三角形的外角．

三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì)．（4）三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°．

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．

③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．（5）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．四、互逆命題每一個(gè)命題都有對(duì)應(yīng)的逆命題，一個(gè)真命題的逆命題不一定是真命題，同樣一個(gè)假命題的逆命題也不一定仍為假命題.反例就是復(fù)合命題的條件，但不符合命題的結(jié)論的例子，它可以是數(shù)值、圖形，也可以是文字說(shuō)明.一個(gè)命題的反例可以有很多個(gè)，解題時(shí)只需要舉出其中最易懂的一個(gè)即可.類(lèi)型一、判斷真假命題【解惑】（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)期末）下列句子中，屬于命題的是（

）A．直線(xiàn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0垂直嗎？ B．過(guò)線(xiàn)段SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線(xiàn)C．同旁?xún)?nèi)角不互補(bǔ)，兩直線(xiàn)不平行 D．已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值【融會(huì)貫通】1．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)泰州市第二中學(xué)附屬初中?？计谥校┫铝忻}是真命題的是（

）A．對(duì)頂角相等 B．三角形三條高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部C．同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ) D．三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和2．（2023春·重慶巴南·七年級(jí)重慶巴南育才中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列命題中，真命題的是（

）A．垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行B．互補(bǔ)的角是鄰補(bǔ)角C．內(nèi)錯(cuò)角相等D．平移前后圖形的形狀和大小都沒(méi)有發(fā)生改變3．（2023春·福建福州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）對(duì)于命題“如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，下面四組關(guān)于SKIPIF1<0的值中，能說(shuō)明這個(gè)命題是假命題的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2023春·廣西南寧·七年級(jí)校考階段練習(xí)）下列命題中是假命題的是（

）A．對(duì)頂角相等 B．兩直線(xiàn)平行，同位角相等C．垂線(xiàn)段最短 D．兩個(gè)銳角之和一定為鈍角5．（2021秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）說(shuō)明“若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0”是假命題的反例可以是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<06．（2023春·重慶江津·七年級(jí)重慶市江津中學(xué)校校考階段練習(xí)）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）①直線(xiàn)外一點(diǎn)到這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，叫點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；②同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直；③圖形平移的方向一定是水平的；④內(nèi)錯(cuò)角相等．A．1 B．2 C．3 D．4類(lèi)型二、反證法【解惑】（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）用反證法證明，“在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0對(duì)邊是a、b．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．”第一步應(yīng)假設(shè)（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【融會(huì)貫通】1．（2022·浙江溫州·瑞安市安陽(yáng)鎮(zhèn)濱江中學(xué)校考三模）用反證法證明“若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2019春·四川成都·八年級(jí)校聯(lián)考期中）用反證法證明：“三角形三內(nèi)角中至少有一個(gè)角不大于SKIPIF1<0”時(shí)，第一步應(yīng)是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．假設(shè)三角形三內(nèi)角中至多有一個(gè)角不大于SKIPIF1<0B．假設(shè)三角形三內(nèi)角中至少有一個(gè)角不小于SKIPIF1<0C．假設(shè)三角形三內(nèi)角中至少有一個(gè)角大于SKIPIF1<0D．假設(shè)三角形三內(nèi)角中沒(méi)有一個(gè)角不大于SKIPIF1<0（即假設(shè)三角形三內(nèi)角都大于SKIPIF1<03．（2023秋·四川眉山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用反證法證明“已知，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0”．第一步應(yīng)先假設(shè)_________．4．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）用反證法證明某一命題的結(jié)論“SKIPIF1<0”時(shí)，應(yīng)假設(shè)___________．5．（2018春·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用反證法證明：“三角形中至少有兩個(gè)銳角”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中_____．類(lèi)型三、寫(xiě)出逆命題【解惑】（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）有些真命題的逆命題也是真命題，在你學(xué)過(guò)的命題中，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)這樣的命題：______．【融會(huì)貫通】1．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）寫(xiě)出命題“等邊三角形是等腰三角形”的逆命題__________.2．（2023春·江蘇南京·七年級(jí)南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校暗冗吶切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角都得于SKIPIF1<0”的逆命題是______．3．（2022秋·山西·八年級(jí)期末）命題“如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0”的逆命題是___________．4．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)?？计谀┟}“如果三角形中有一個(gè)角是鈍角，那么另兩個(gè)角是銳角”的逆命題是：__________，這個(gè)逆命題是_______命題（填寫(xiě)“真”或者“假”）．5．（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）“如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0”的逆命題為_(kāi)____．類(lèi)型四、平行證明之“t”值【解惑】（2023春·陜西西安·七年級(jí)高新一中校考期中）漢江是長(zhǎng)江的最大支流，在歷史上占居重要地位，常與長(zhǎng)江、淮河、黃河并列，舍稱(chēng)“江海河漢”．每年汛期來(lái)臨之時(shí)，漢江防汛指揮部都會(huì)在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置一組探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線(xiàn)自SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至SKIPIF1<0便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線(xiàn)自SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至SKIPIF1<0便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，已知燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是SKIPIF1<0/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是SKIPIF1<0/秒，假定這一帶漢江兩岸河堤是平行的，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間是t秒．(1)當(dāng)SKIPIF1<0秒時(shí)，燈A射線(xiàn)第一次平分SKIPIF1<0，此時(shí)燈A射線(xiàn)記為射線(xiàn)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0秒時(shí)，燈A射線(xiàn)第一次與射線(xiàn)SKIPIF1<0垂直；(2)若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，SKIPIF1<0秒時(shí)，兩束光線(xiàn)所在直線(xiàn)的位置關(guān)系是______；（填“平行”或“垂直”）(3)若燈B射線(xiàn)先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線(xiàn)才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線(xiàn)到達(dá)SKIPIF1<0之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行．【融會(huì)貫通】1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）“一帶一路”讓中國(guó)和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見(jiàn)在某段鐵路兩旁安置了SKIPIF1<0兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．假定主道路是平行的，即SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上兩點(diǎn)，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，連接SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______；(2)作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0且滿(mǎn)足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，試說(shuō)明：SKIPIF1<0；(3)在（1）問(wèn)的條件下，探照燈SKIPIF1<0照出的光線(xiàn)在鐵路所在平面旋轉(zhuǎn)，探照燈射出的光線(xiàn)SKIPIF1<0以每秒SKIPIF1<0度的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，探照燈SKIPIF1<0射出的光線(xiàn)SKIPIF1<0以每秒SKIPIF1<0度的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，SKIPIF1<0轉(zhuǎn)至射線(xiàn)SKIPIF1<0后立即以相同速度回轉(zhuǎn)，若它們同時(shí)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為SKIPIF1<0秒，當(dāng)SKIPIF1<0回到出發(fā)時(shí)的位置時(shí)同時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互相平行或垂直時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)SKIPIF1<0的值．2．（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，把一塊含SKIPIF1<0的直角三角板SKIPIF1<0的SKIPIF1<0邊放置于長(zhǎng)方形直尺SKIPIF1<0的SKIPIF1<0邊上．(1)填空：SKIPIF1<0_________SKIPIF1<0，SKIPIF1<0_________SKIPIF1<0．(2)如圖2，現(xiàn)把三角板繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，且點(diǎn)C恰好落在SKIPIF1<0邊上時(shí)，①請(qǐng)直接寫(xiě)出SKIPIF1<0__________SKIPIF1<0，SKIPIF1<0________SKIPIF1<0（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）；②若SKIPIF1<0恰好是SKIPIF1<0的SKIPIF1<0倍，求n的值．(3)如圖1三角板SKIPIF1<0的放置，現(xiàn)將射線(xiàn)SKIPIF1<0繞點(diǎn)B以每秒SKIPIF1<0的轉(zhuǎn)速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線(xiàn)SKIPIF1<0，同時(shí)射線(xiàn)SKIPIF1<0繞點(diǎn)Q以每秒SKIPIF1<0的轉(zhuǎn)速順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線(xiàn)SKIPIF1<0，當(dāng)射線(xiàn)SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)至與SKIPIF1<0重合時(shí)，則射線(xiàn)SKIPIF1<0均停止轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為SKIPIF1<0．①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若射線(xiàn)SKIPIF1<0與射線(xiàn)SKIPIF1<0相交，設(shè)交點(diǎn)為P．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0_______SKIPIF1<0②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是直線(xiàn)SKIPIF1<0上一定點(diǎn)．(1)如圖1，現(xiàn)有一塊含SKIPIF1<0角的直角三角板（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），將其點(diǎn)SKIPIF1<0固定在直線(xiàn)SKIPIF1<0上，并按圖1位置擺放，使SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0恰好落在射線(xiàn)SKIPIF1<0上，此時(shí)，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數(shù)；(2)現(xiàn)將射線(xiàn)SKIPIF1<0從圖1的位置開(kāi)始以每秒2度的速度繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到與SKIPIF1<0重合時(shí)停止，三角板按圖1擺放不動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為SKIPIF1<0秒，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)SKIPIF1<0與三角板的一邊平行時(shí)，求SKIPIF1<0的值；(3)若將射線(xiàn)SKIPIF1<0從圖1的位置開(kāi)始以每秒2度的速度繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，將三角板SKIPIF1<0也從圖1的位置開(kāi)始以每秒4度的速度繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，SKIPIF1<0的角平分線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的角平分線(xiàn)SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．①如圖2，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0________度；②如圖3，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0________度．4．（2023春·重慶渝中·七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖所示，SKIPIF1<0，三角形SKIPIF1<0的頂點(diǎn)E、頂點(diǎn)F分別在直線(xiàn)SKIPIF1<0、直線(xiàn)SKIPIF1<0上，點(diǎn)M在直線(xiàn)SKIPIF1<0與直線(xiàn)SKIPIF1<0之間，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，(1)如圖1，已知SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0；(2)如圖2，已知點(diǎn)N為SKIPIF1<0延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，請(qǐng)用含SKIPIF1<0的式子表示SKIPIF1<0的度數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）問(wèn)的條件下，SKIPIF1<0，將三角形SKIPIF1<0繞點(diǎn)F順時(shí)針以每秒5°的速度旋轉(zhuǎn)得三角形SKIPIF1<0，將三角形SKIPIF1<0繞點(diǎn)E順時(shí)針以每秒3°的速度旋轉(zhuǎn)得三角形SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0首次旋轉(zhuǎn)到直線(xiàn)SKIPIF1<0上時(shí)三角形SKIPIF1<0立刻繞點(diǎn)E逆時(shí)針以原速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)到直線(xiàn)SKIPIF1<0上時(shí)，兩個(gè)三角形同時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出邊SKIPIF1<0與三角形SKIPIF1<0的邊平行時(shí)的旋轉(zhuǎn)時(shí)間t的值．類(lèi)型五、平行證明之值不變【解惑】（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)泰州市第二中學(xué)附屬初中校考期中）已知直線(xiàn)SKIPIF1<0直線(xiàn)c，直線(xiàn)SKIPIF1<0直線(xiàn)c且垂足為A，點(diǎn)B、點(diǎn)C是直線(xiàn)a上的兩點(diǎn)，連接AB、AC．(1)如圖1，若SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0的平分線(xiàn)交SKIPIF1<0于D，交直線(xiàn)c于點(diǎn)E；①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的度數(shù)為_(kāi)_____；②求證：SKIPIF1<0．(2)如圖2，點(diǎn)F為直線(xiàn)b的一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，點(diǎn)B在直線(xiàn)a上向右運(yùn)動(dòng)，SKIPIF1<0的平分線(xiàn)交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中SKIPIF1<0的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，求出變化范圍．【融會(huì)貫通】1．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）已知如圖，兩條射線(xiàn)SKIPIF1<0，連結(jié)端點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.點(diǎn)SKIPIF1<0是射線(xiàn)SKIPIF1<0上不與點(diǎn)SKIPIF1<0重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別平分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，交射線(xiàn)SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數(shù).(2)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的比值是否發(fā)生變化?若不變，求出SKIPIF1<0的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)若SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的度數(shù).2．（2023春·江蘇·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，點(diǎn)P為線(xiàn)段SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作SKIPIF1<0交射線(xiàn)SKIPIF1<0于點(diǎn)E．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)D不重合），設(shè)SKIPIF1<0．猜想：SKIPIF1<0的值是否變化？若不變，求出這個(gè)值；如變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2023春·重慶渝北·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，直線(xiàn)SKIPIF1<0與直線(xiàn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別交于點(diǎn)E、F，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互補(bǔ)．(1)試判斷直線(xiàn)SKIPIF1<0與直線(xiàn)SKIPIF1<0的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)G，點(diǎn)H是SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接SKIPIF1<0，K是SKIPIF1<0上一點(diǎn)使SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，問(wèn)SKIPIF1<0的大小是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出其值．4．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖1，點(diǎn)A是直線(xiàn)SKIPIF1<0上一點(diǎn)，C是直線(xiàn)SKIPIF1<0上一點(diǎn)，B是直線(xiàn)SKIPIF1<0之間的一點(diǎn)．SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)如圖2，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數(shù)；(3)如圖3，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，試探究SKIPIF1<0的值，若不變求其值，若變化說(shuō)明理由．類(lèi)型六、平行證明值數(shù)量關(guān)系【解惑】（2023春·福建三明·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖①，直線(xiàn)SKIPIF1<0，直線(xiàn)EF和直線(xiàn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在直線(xiàn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，點(diǎn)P在直線(xiàn)EF上，連接PA、PB．(1)如圖①，若點(diǎn)P在線(xiàn)段CD上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的大小；(2)猜想：如圖①，若點(diǎn)P在線(xiàn)段CD上移動(dòng)，直接寫(xiě)出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系；(3)探究：如圖②，若點(diǎn)P不在線(xiàn)段CD上，則（2）中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出正確的結(jié)論并說(shuō)明理由．【融會(huì)貫通】1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期中）如圖1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0度數(shù)．小明的思路是：過(guò)P作SKIPIF1<0，如圖2，通過(guò)平行線(xiàn)性質(zhì)來(lái)求SKIPIF1<0．(1)按小明的思路，易求得SKIPIF1<0的度數(shù)為；請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖3，SKIPIF1<0，點(diǎn)P在射線(xiàn)SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在（2）的條件下，如果點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0間的數(shù)量關(guān)系．2．（2023春·上?！て吣昙?jí)期中）如圖1，已知兩條直線(xiàn)SKIPIF1<0被直線(xiàn)SKIPIF1<0所截，分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)M，且SKIPIF1<0．(1)判斷直線(xiàn)SKIPIF1<0與直線(xiàn)SKIPIF1<0是否平行，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，點(diǎn)G是射線(xiàn)SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，F(xiàn)重合），SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作SKIPIF1<0于點(diǎn)N，設(shè)SKIPIF1<0．①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，若SKIPIF1<0，求β的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明．3．（2023春·浙江金華·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0，點(diǎn)E為兩直線(xiàn)之間的一點(diǎn)．(1)如圖1，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；如圖1，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；(2)如圖2，試說(shuō)明，SKIPIF1<0；(3)如圖3，若SKIPIF1<0的平分線(xiàn)與SKIPIF1<0的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F，判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．4．（2023春·福建·七年級(jí)期中）已知直線(xiàn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在直線(xiàn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在直線(xiàn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間時(shí)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．探究SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖②．在①的條件下，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，交點(diǎn)為SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在直線(xiàn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的下方時(shí)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的度數(shù)．類(lèi)型七、平行證明之用字母表示度數(shù)【解惑】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）平移是一種常見(jiàn)的圖形變換，如圖1，△ABC經(jīng)過(guò)平移后得到△A1B1C1，連接BA1，AC1，若BA1平分∠ABC，C1A平分∠A1C1B1，則稱(chēng)這樣的平移為“平分平移”．(1)如圖1，△ABC經(jīng)過(guò)“平分平移”后得到△A1B1C1，請(qǐng)問(wèn)AC和A1C1有怎樣的位置關(guān)系：．(2)如圖2，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，△ABC經(jīng)過(guò)“平分平移”后得到△A1B1C1，求∠AOB的度數(shù)．(3)如圖3，在（2）的條件下，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，求∠BDC1的度數(shù)．(4)如圖4，△ABC經(jīng)過(guò)“平分平移”后得到△A1B1C1，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，若∠BAC=SKIPIF1<0，則∠BDC1=．（用含SKIPIF1<0的式子表示）【融會(huì)貫通】1．（2022春·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，SKIPIF1<0，點(diǎn)C是直線(xiàn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0下方一點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)如圖1，求證：SKIPIF1<0；(2)如圖2，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別平分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在的直線(xiàn)相交于點(diǎn)H，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數(shù)；（用含SKIPIF1<0的式子表示）(3)如圖3，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩部分，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線(xiàn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點(diǎn)H，則SKIPIF1<0____________．（用含n和SKIPIF1<0的式子表示）2．（2023春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)無(wú)錫市太湖格致中學(xué)校考階段練習(xí)）當(dāng)光線(xiàn)經(jīng)過(guò)鏡面反射時(shí)，入射光線(xiàn)、反射光線(xiàn)與鏡面所夾的角對(duì)應(yīng)相等例如：在圖①、圖②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．設(shè)鏡子AB與BC的夾角∠ABC＝α．(1)如圖①，若α＝90°，判斷入射光線(xiàn)EF與反射光線(xiàn)GH的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如圖②，若90°＜α＜180°，入射光線(xiàn)EF與反射光線(xiàn)GH的夾角∠FMH＝β．探索α與β的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖③，若α＝110°，設(shè)鏡子CD與BC的夾角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光線(xiàn)EF與鏡面AB的夾角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光線(xiàn)EF從鏡面AB開(kāi)始反射，經(jīng)過(guò)n（n為正整數(shù)，且n≤3）次反射，當(dāng)?shù)趎次反射光線(xiàn)與入射光線(xiàn)EF平行時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出γ的度數(shù)．（可用含有m的代數(shù)式表示）3．（2021春·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線(xiàn)SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線(xiàn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的度數(shù)（用含SKIPIF1<0的式子表示）；（2）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0的平分線(xiàn)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，猜想SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系，并證明；（3）將（2）中的“作SKIPIF1<0的平分線(xiàn)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0”改為“作射線(xiàn)SKIPIF1<0將SKIPIF1<0分為SKIPIF1<0兩個(gè)部分，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0”，其余條件不變，連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恰好平分SKIPIF1<0，請(qǐng)直接寫(xiě)出SKIPIF1<0__________（用含SKIPIF1<0的式子表示）．4．（2022春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)校聯(lián)考期中）直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝α，點(diǎn)F在直線(xiàn)AB上且在點(diǎn)O的右側(cè)，點(diǎn)E在直線(xiàn)CD上（點(diǎn)E與點(diǎn)O不重合），連接EF，直線(xiàn)EM、FN交于點(diǎn)G．（1）如圖1，若點(diǎn)E在射線(xiàn)OC上，α＝60°，EM、FN分別平分∠CEF和∠AFE，求∠EGF的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)E在射線(xiàn)OC上，∠MEF＝m∠CEF，∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，若∠EGF的度數(shù)與∠AFE的度數(shù)無(wú)關(guān)，求m的值及∠EGF的度數(shù)（用含有α的代數(shù)式表示）；（3）如圖3，若將（2）中的“點(diǎn)E在射線(xiàn)OC上”改為“點(diǎn)E在射線(xiàn)OD上”，其他條件不變，直接寫(xiě)出∠EGF的度數(shù)（用含有a的代數(shù)式表示）類(lèi)型八、平行證明之角度比值【解惑】（2022·湖北宜昌·?？家荒＃┤鐖D，已知：點(diǎn)A、C、B不在同一條直線(xiàn)，SKIPIF1<0(1)求證：SKIPIF1<0：(2)如圖②，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)，試探究SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，在（2）的前提下，且有SKIPIF1<0，直線(xiàn)SKIPIF1<0交于點(diǎn)P，SKIPIF1<0，直接寫(xiě)出SKIPIF1<0．【融會(huì)貫通】1．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）已知：SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為射線(xiàn)SKIPIF1<0上一點(diǎn)．(1)如圖1，寫(xiě)出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(2)如圖2，寫(xiě)出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)如圖3，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF