北師大版數(shù)學(xué)七年級下冊期末復(fù)習(xí)考點串講+題型專訓(xùn)專題07 全等三角形證明方法：半角模型（原卷版）

專題07全等三角形證明方法——半角模型基本模型：（1）條件：如圖，正方形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作法：在SKIPIF1<0延長線上截取SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.（2）條件：如圖，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0是等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作法：在SKIPIF1<0延長線上截取SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.

例題精講：例1．已知：正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（或它們的延長線）于點M，N．（1）當SKIPIF1<0繞點A旋轉(zhuǎn)到SKIPIF1<0時（如圖1），求證：SKIPIF1<0；（2）當SKIPIF1<0繞點A旋轉(zhuǎn)到SKIPIF1<0時（如圖2），則線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間數(shù)量關(guān)系是；（3）當SKIPIF1<0繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，猜想線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？并對你的猜想加以說明．

例2．探究：（1）如圖1，在正方形SKIPIF1<0中，E、F分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，試判斷SKIPIF1<0、SKIPIF1<0與SKIPIF1<0三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：；（2）如圖2，若把（1）問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜸KIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E、F分別是邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0”，則（1）問中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；（3）在（2）問中，若將SKIPIF1<0繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點分別E、F運動到SKIPIF1<0、SKIPIF1<0延長線上時，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請給出結(jié)論并予以證明．

例3．已知，如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別是線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．例4．【感知】如圖①，點M是正方形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0上一點，點N是SKIPIF1<0延長線上一點，且SKIPIF1<0，易證SKIPIF1<0，進而證得SKIPIF1<0（不要求證明）【應(yīng)用】如圖②，在正方形SKIPIF1<0中，點E、F分別在邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．【拓展】如圖③，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點E、F分別在邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0的周長為．

例5．在等邊三角形SKIPIF1<0的兩邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線上分別有兩點M、N，P為SKIPIF1<0外一點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．探究：當點M、N分別在直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上移動時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①，當點M、N在邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0時，試說明SKIPIF1<0．（2）如圖②，當點M、N在邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0還成立嗎？答：．（請在空格內(nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．（3）如圖③，當點M、N分別在邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的延長線上時，請直接寫出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系．

專練過關(guān)：1．（1）如圖①，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別是邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0．請直接寫出線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別是邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別是邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線上的點，且SKIPIF1<0．請直接寫出線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系：．

2．如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數(shù)．3．已知四邊形SKIPIF1<0是正方形，M、N分別是邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的動點，正方形SKIPIF1<0的邊長為4cm．（1）如圖①，O是正方形SKIPIF1<0對角線的交點，若SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積；（2）如圖②，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長．

4．（1）閱讀理解：如圖①，在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0邊上的中線SKIPIF1<0的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長SKIPIF1<0到點E使SKIPIF1<0，再連接SKIPIF1<0，這樣就把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0集中在SKIPIF1<0中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線段SKIPIF1<0的取值范圍是；則中線SKIPIF1<0的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在SKIPIF1<0中，D是SKIPIF1<0邊的中點，SKIPIF1<0于點D，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點E，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點F，連接SKIPIF1<0，此時：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以C為頂點作SKIPIF1<0，邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于E，F(xiàn)兩點，連接SKIPIF1<0，此時：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在圖③的四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且（3）中的結(jié)論仍然成立，則SKIPIF1<0（用含SKIPIF1<0的代數(shù)式表示）

5．如圖，正方形SKIPIF1<0中，M為SKIPIF1<0上除點B、C外的任意一點，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，斜邊SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點F，延長SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的延長線交于點E，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的度數(shù)．6．在等邊SKIPIF1<0的兩邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線上分別有兩點M、N，D為SKIPIF1<0外一點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．探究：當M、N分別在直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上移動時，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系及SKIPIF1<0的周長Q與等邊SKIPIF1<0的周長L的關(guān)系．（1）如圖1，SKIPIF1<0是周長為9的等邊三角形，則SKIPIF1<0的周長Q＝；（2）如圖2，當點M、N邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系是；此時SKIPIF1<0＝；（3）點M、N在邊SKIPIF1<0