泛函分析知識點(diǎn)總結(jié)

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Thisdocumentisforreferenceonly-rar21year.March泛函分析知識點(diǎn)總結(jié)泛函分析一，距離空間定義設(shè)X是任一非空集合，對于X中的任意兩點(diǎn)x,y，均有一個實(shí)數(shù)d(x,y)與它對應(yīng)，且滿足：d(x,y)≥0（非負(fù)性）d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y(嚴(yán)格正)d(x,y)=d(y,x)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）則稱d(x,y)為X中的一個距離，定義了距離d的集合稱為一個距離空間，記為（X,d），有時簡記為X。設(shè)（X,d）是一個距離空間，X中的一個數(shù)列，存在X中的任意點(diǎn)，如果當(dāng)n趨于無窮時，這個數(shù)列按照距離收斂到這個點(diǎn)，則稱這個數(shù)列以這點(diǎn)收斂。(x,y)是x,y的二元函數(shù)，若當(dāng)存在一個x的數(shù)列收斂到x,存在一個y的數(shù)列收斂到y(tǒng)，則這個距離關(guān)于x,y的二元函數(shù)也收斂。(利用三角不等式證明)開球的定義（X,d）是一個距離空間，r>0，集合B(x0,r)={x∈X|d(x,x0)<r}則稱以x0為中心，r為半徑的開球。有界集：稱A為有界集，若存在一個開球，使得A屬于這個開球。內(nèi)點(diǎn)：稱x0為集合G的內(nèi)點(diǎn)，若存在一個開球B(x0,r)屬于G。開集：稱G為開集，若G中的每一個點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)。閉集：開集的補(bǔ)集就是閉集。（若用接觸點(diǎn)定義閉集就是，A的接觸點(diǎn)的全體稱為A的閉包，也就是閉集。）閉集的等價條件是這個集合中的收斂點(diǎn)列收斂到這個集合中的元素。全空間和空集即使開集也是閉集。任意個開集的并是開集，有限個開集的交是開集。任意個閉集的交是閉集，有限個閉集的并是閉集。等價距離：兩個距離空間稱為等價距離，如果它們之間可以互相表示。連續(xù)映射：在兩個距離空間之間存在一個映射：T，稱T為連續(xù)映射。若在定義域的距離空間中存在一個開集，經(jīng)過映射T，在另一個距離空間定義的距離下是任意小的。映射T是連續(xù)的等價于值域里的開集的原像仍然是開集。接觸點(diǎn)：點(diǎn)x0稱為A的接觸點(diǎn)，若存在一個x0的開球與A的交不為空集。（點(diǎn)x0可以屬于A，也可以不屬于A）聚點(diǎn)：點(diǎn)x0稱為點(diǎn)A的聚點(diǎn)，若存在點(diǎn)x0的任意一個開球與A\{x0}的交不為空集。（聚點(diǎn)一定是接觸點(diǎn)，但接觸點(diǎn)不一定是聚點(diǎn)。）稠密集：稱B在A中稠密，若A包含于B的閉包。可分：一個空間稱為可分的，若這空間中存在一個可數(shù)的稠密子集。列緊集：稱A為列緊集，若A中的每一個無窮點(diǎn)列都有一個收斂的子列。如果X是列緊集，那么X一定是有界集。反之不一定。一致有界：即存在K>0,使得對于每一點(diǎn)t∈[a,b]及一切x∈A，|x(t)|≤K等度連續(xù)：對于任意的ε>0，存在δ>0,當(dāng)|t1-t2|<δ時，|x(t1)-x(t2)|<ε(任意x∈A)完備的距離空間：稱X是完備的距離空間，若X中的任意柯西列都收斂。完