基于非參數(shù)估計的權(quán)證定價方法研究

基于非參數(shù)估計的權(quán)證定價方法研究

1非參數(shù)模型下的強價交易作為一種金融衍生工具，證書是證書。1911年，世界第一個證書是美國電燈和能源公司的誕生。作為一種融資工具，該證書具有融資方便、風(fēng)險厭惡的功能，因此深受投資者喜愛。在國際金融市場上，有六個證書市場在德國、瑞士、意大利、臺灣、香港和中國。1992年，中國在證券交易所推出了第一個許可證。由于嚴(yán)重的惡意操作，管理當(dāng)局于1996年取消了授權(quán)書業(yè)務(wù)。2005年8月，該證書再次進(jìn)入中國金融市場。近年來，它發(fā)展迅速，成為一種重要的投資工具。如何確定和定價是金融領(lǐng)域的一個重要研究方向，直接影響著評估市場的穩(wěn)定和健康發(fā)展。權(quán)證的定價方法與布朗運動刻畫資產(chǎn)動態(tài)價格過程幾乎同時問世.1900年法國數(shù)學(xué)家Bachielie發(fā)現(xiàn)股票價格波動過程跟布朗運動的某些性質(zhì)相似,從而首次推出權(quán)證定價公式.1961年Sprenkle假定股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布,對權(quán)證定價公式做了修正,但是參數(shù)估計難度很大.隨后,Boness、Samuelson等分別提出了關(guān)于權(quán)證的新的定價公式,但是,這些模型中存在現(xiàn)實中難以估計的參數(shù),并且將股票期權(quán)和認(rèn)股權(quán)證的定價方法等同相看.直到1973年,Black和Scholes分析了股票看漲期權(quán)和權(quán)證的不同之處,并給出了期權(quán)定價公式,Black-Scholes模型是期權(quán)定價發(fā)展過程中的一個里程碑.在很長一段時間內(nèi),學(xué)者們對BS權(quán)證定價模型進(jìn)行檢驗,由于假設(shè)條件與實際市場環(huán)境吻合度相當(dāng)?shù)?檢驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)定價公式難以反映權(quán)證的真正市場價值.隨后,學(xué)者們主要將精力放在如何拓寬BS模型的假設(shè)條件,從而對期權(quán)和權(quán)證進(jìn)行定價,Cox和Ross,Hull和White提出非常數(shù)波動率下的定價模型;Ami和Ng、Bakshi和Chen提出隨機利率和隨機收益率模型;Huang和Chen基于臺灣權(quán)證市場對隨機波動率模型和BS模型的定價效果進(jìn)行了比較,實證結(jié)果發(fā)現(xiàn)隨機波動率模型要優(yōu)于BS模型;Noreen和Wolfson應(yīng)用52支權(quán)證對BS模型和CEV模型進(jìn)行了驗證比較.這些定價模型在很大程度上放松了BS模型的假設(shè)條件,使得資產(chǎn)價格運動形式更加靈活,然而他們沒有從期權(quán)定價的經(jīng)濟意義出發(fā),重點只放在了如何設(shè)定資產(chǎn)價格的風(fēng)險測度.事實上,參數(shù)定價方法在定價過程中有很大的局限性,模型假設(shè)是否恰當(dāng)直接影響定價的準(zhǔn)確性,當(dāng)模型假設(shè)錯誤時會導(dǎo)致錯誤的定價和錯誤的對沖策略.為了避免參數(shù)模型假設(shè)帶來的誤差,很多學(xué)者采用非參數(shù)方法對期權(quán)進(jìn)行定價,Hutchinson,Lo和Poggio、趙健采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法分別對期權(quán)和權(quán)證定價模型進(jìn)行研究,并表明其定價效果優(yōu)于BS模型;Ait-Sahalia和Lo、Ait-Sahalia和Duarte等通過研究狀態(tài)價格密度函數(shù)的估計對期權(quán)進(jìn)行定價;Breeden和Litzenberger說明狀態(tài)價格密度函數(shù)可通過期權(quán)價格關(guān)于執(zhí)行價格二次求導(dǎo)得出,但是其在數(shù)值計算上是一個很大的挑戰(zhàn),相對于狀態(tài)價格密度函數(shù)來說,分布函數(shù)(生存函數(shù))更容易估計,并有較快的收斂速度.參數(shù)模型和非參數(shù)模型各有利弊,參數(shù)模型的假設(shè)條件一旦錯誤就會帶來較大的定價誤差,非參數(shù)模型相對于參數(shù)模型適應(yīng)性較強,不依賴于模型假設(shè)條件,但是其無法涵蓋市場的一些先驗信息.Fan和Mancini綜合了參數(shù)模型和非參數(shù)模型的優(yōu)點,引入基于參數(shù)模型的非參數(shù)修正期權(quán)定價方法,主要通過非參數(shù)修正方法對資產(chǎn)價格生存函數(shù)進(jìn)行估計,從而優(yōu)化定價效果.近年來,不少學(xué)者對我國權(quán)證定價方法進(jìn)行了研究.趙翔宇采用BS模型、分形布朗運動權(quán)證定價模型、GARCH-M模型等方法對我國認(rèn)股權(quán)證的定價方法進(jìn)行了研究;張凡等考慮了股本稀釋效應(yīng)對認(rèn)股權(quán)證價值的影響,并給出相應(yīng)的定價公式;侯迎春研究了我國股本權(quán)證的定價問題,并對多種模型的定價效果進(jìn)行比較.權(quán)證定價模型雖然在某些方面作了改進(jìn),但同樣存在一些問題.在權(quán)證定價過程中,參數(shù)模型不足以完全反映權(quán)證的市場價值,如何在已有模型的基礎(chǔ)上將影響定價誤差的因素考慮進(jìn)去,對模型價格進(jìn)行修正使定價結(jié)果更精確地估算權(quán)證價值是很有意義的.在權(quán)證市場,某一時刻權(quán)證的行權(quán)價是固定的,所以對權(quán)證的定價方法無法通過期權(quán)價格對行權(quán)價求導(dǎo)估計狀態(tài)價格生存函數(shù)和狀態(tài)價格密度函數(shù)來實現(xiàn).本文直接從權(quán)證價格估計出發(fā),基于Fan和Mancini參數(shù)模型誘導(dǎo)下的非參數(shù)修正定價方法思想,提出一種新的適用于權(quán)證市場的基于非參數(shù)估計的定價方法,其中基于模型的非參數(shù)修正定價方法不僅涵蓋了市場先驗信息,且不必?fù)?dān)心模型假設(shè)錯誤,因為在第二步將通過非參數(shù)方法對其進(jìn)行修正.實證分析結(jié)果表明,它綜合了參數(shù)模型和非參數(shù)定價方法的優(yōu)點,在時間內(nèi)和時間外的定價效果均優(yōu)于其他模型,能夠很好地應(yīng)用于權(quán)證定價和價格預(yù)報中.本文內(nèi)容安排如下:第二部分給出基于非參數(shù)估計的權(quán)證定價方法,包括完全非參數(shù)定價方法和基于模型的非參數(shù)修正定價方法;第三部分為實證分析,介紹了實證過程中所選取的誘導(dǎo)模型(AdhocBS模型)以及其他定價模型(半?yún)?shù)模型和分形BS模型),然后對中國權(quán)證市場和香港權(quán)證市場分別應(yīng)用AdhocBS模型的非參數(shù)修正定價方法、完全非參數(shù)定價方法、半?yún)?shù)模型以及參數(shù)模型(BS模型和分形布朗運動下的BS模型)進(jìn)行定價,并比較定價效果,然后分別對中國市場和香港市場的時間外權(quán)證價格進(jìn)行預(yù)測;第四部分為本文的結(jié)論部分.2基于非參數(shù)估計的加權(quán)價格方法2.1狀態(tài)價格生存函數(shù)的估計設(shè)St為t時刻標(biāo)的資產(chǎn)的價格,f*(·)為標(biāo)的資產(chǎn)到期日價格ST在時刻t條件下的(風(fēng)險中性)條件密度函數(shù).Ct為標(biāo)的資產(chǎn)為s的看漲期權(quán)在t時刻的價格,其執(zhí)行價格為X,距離到期日的時間間隔τ=T-t.支付函數(shù)Φ(ST)=max(ST-X,0),所以t時刻的期權(quán)價格Ct應(yīng)為支付函數(shù)期望在風(fēng)險中性下的折現(xiàn),即:其中rt,τ為t時刻與期權(quán)到期日T=t+τ時間內(nèi)的無風(fēng)險利率.令F*(x)為ST在時刻t條件下的(風(fēng)險中性)條件分布函數(shù),即.對(1)式分部積分可得:其中F*(y)=1-F*(y),稱之為ST的狀態(tài)價格生存函數(shù).其中(2)式有著重要的經(jīng)濟含義:假設(shè)有n支數(shù)字期權(quán),行權(quán)價分別為X+δ,X+2δ,…,X+iδ,…,X+nδ,第i支數(shù)字期權(quán)收益函數(shù)為i=1,2,…,n,所以第i支數(shù)字期權(quán)的期望收益為將這n支數(shù)字期權(quán)每支持有δ份構(gòu)造一個投資組合,此時該投資組合的收益為:,當(dāng)n足夠大,δ足夠小時有:所以有:即代表著數(shù)字期權(quán)投資組合的期望收益.令t時刻標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格為,其中δt,τ為t時刻與期權(quán)到期日T=t+τ時間內(nèi)的資產(chǎn)紅利率.對(2)做變量代換可得:其中mt=Xt/Ft,τ,稱為價值狀況,.由(3)可以看出,只要將資產(chǎn)價格生存函數(shù)估計出來,即可對歐式看漲期權(quán)進(jìn)行定價.Fan和Mancini給出了的近似關(guān)系:其中Ct(X)是t時刻執(zhí)行價格為X的看漲期權(quán)價格,mt,i=Xi/Ft,τ(i=1,2),即狀態(tài)價格生存函數(shù)可以通過期權(quán)價格關(guān)于執(zhí)行價格一次求導(dǎo)得到.的估計方法為:將mt,i按升序排列,令由(4)可得εt,i為誤差項.此時,基于數(shù)據(jù),其中Nt+1為給定到期日情況下t時刻的期權(quán)交易量,通過非參數(shù)方法即可估計出函數(shù)F,從而可得t時刻的期權(quán)價格.由以上分析可以看出,對于歐式期權(quán)定價問題,我們可以直接利用(4)建立狀態(tài)價格生存函數(shù)的估計方程,從而通過(3)式對期權(quán)進(jìn)行定價(見Fan和Mancini),但是它不適用于權(quán)證定價.在權(quán)證市場上,某一時刻權(quán)證的行權(quán)價是固定的,故上述生存函數(shù)的估計方法在權(quán)證市場上無法實現(xiàn).在此借鑒Fan和Mancini的非參數(shù)修正定價方法思想,我們著重考慮,而不對生存函數(shù)進(jìn)行估計.由(5)式可知:基于數(shù)據(jù)即可對G(.)進(jìn)行估計,這是一個非參數(shù)估計問題.本文的非參數(shù)估計方法選用局部線性估計,其優(yōu)點有邊界自適應(yīng)性以及在極大極小意義下是最佳線性估計等.局部線性估計中,窗寬選擇是一個非常重要的問題,當(dāng)窗寬h=0時,擬合曲線把所有數(shù)據(jù)點連接起來,當(dāng)窗寬h=∞時則會產(chǎn)生簡單的模型,窗寬的選擇決定了模型的復(fù)雜度.Fan和Gijbels詳細(xì)討論了窗寬選擇問題,最優(yōu)窗寬的選取一般通過極小化對漸進(jìn)加權(quán)積分均方誤差MISE得到,本文選取GCV方法尋找使得估計積分均方誤差達(dá)到最小的窗寬h.在得到最優(yōu)窗寬h的情況下,G(m)的估計方法如下:其中K(·)為核函數(shù),h為窗寬,Kh(u)=h-1K(u/h).通過上述優(yōu)化問題可得是價值狀況為m時的估計結(jié)果,估計出G(m)后將其帶入(6)式即可得到t時刻的權(quán)證價格.2.2gln非參數(shù)估計2.1節(jié)中所述的完全非參數(shù)定價方法不能利用標(biāo)的資產(chǎn)的先驗信息,且無法解釋波動率微笑現(xiàn)象,在此提出一種基于模型的非參數(shù)修正定價方法,該方法的優(yōu)點在于可以在涵蓋先驗信息的基礎(chǔ)上通過非參數(shù)方法修正模型假設(shè)帶來的誤差,從而達(dá)到優(yōu)化定價效果的目的.G(·)的估計可以分兩步進(jìn)行:(1)為了得到G(·)的主要信息,選取某一參數(shù)模型作為基準(zhǔn)得到G(·)的初步估計,記為GLN(·),比如在BlackandScholes模型中,(2)對誤差部分通過非參數(shù)方法進(jìn)行修正,其中Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計概率分布函數(shù).即G(·)的主要信息可由初步估計GLN(m)得到,此時的估計并不是非常重要,因為在第二步估計誤差將通過非參數(shù)方法進(jìn)行修正.事實上,其中GLN(m)為參數(shù)模型估計部分,GC(m)為非參數(shù)修正部分.由(5)和(9)可得:令,則GC(·)的估計仍為一非參數(shù)估計問題,在此仍然采用局部線性估計方法,窗寬選擇采用GCV方法,然后基于數(shù)據(jù)建立優(yōu)化問題:的估計方法如同(7)式,是價值狀況為m時的估計結(jié)果.最后,將(10)式帶入(6)式即可得到基于模型的非參數(shù)修正定價方法:其中為參數(shù)模型部分,為非參數(shù)修正部分.本文在實證分析中選取Dumas,Fleming和Whaley給出了AdBlack-Scholes模型作為引導(dǎo)模型,然后在此基礎(chǔ)上給出AdBlack-Scholes模型對應(yīng)的GLN(·),并通過非參數(shù)定價方法對其進(jìn)行修正,估計出GC(·),將GLN(·),GC(·)以及t時刻對應(yīng)的價值狀況mt代入(11)式即可得出t時刻的權(quán)證價格.3與各因素的定價效果及預(yù)測結(jié)果比較本文選取Dumas,Fleming和Whaley給出的AdBlack-Scholes模型作為引導(dǎo)模型對中國權(quán)證市場和香港權(quán)證市場分別進(jìn)行定價和價格預(yù)報,并將其與2.1節(jié)介紹的非參數(shù)定價方法、半?yún)?shù)定價方法以及參數(shù)定價方法(BS模型、分形BS模型)的定價效果和預(yù)測效果進(jìn)行比較.數(shù)據(jù)選擇基于以下考慮:1)對于中國權(quán)證數(shù)據(jù)僅選擇認(rèn)購權(quán)證進(jìn)行定價,因為認(rèn)沽權(quán)證的非理性操作太強;2)選擇權(quán)證和對應(yīng)正股交易量都較大的權(quán)證,由此可以使得流動性風(fēng)險對價格的影響降至最小,更容易比較模型定價的優(yōu)劣(參見文獻(xiàn));3)選取權(quán)證到期日之前一部分?jǐn)?shù)據(jù)作為時間內(nèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,一部分作為時間外數(shù)據(jù)進(jìn)行權(quán)證價格預(yù)報分析.3.1基于adhocbs模型的非參數(shù)校正方法3.1.1adhoc-schole模型隱含波動率是反映期權(quán)價格的一個重要因素,是隱含在期權(quán)市場價格中的波動率,與Black-Scholes模型不同的是隱含波動率曲線呈現(xiàn)“波動率微笑”,Dumas,Fleming和Whaley給出了AdBlack-Scholes模型,其中隱含波動率由價值狀況的二次函數(shù)確定,即:其中為期權(quán)在t時刻的隱含波動率,st(t=1,2,…,N)獨立同分布.通過對隱含波動率和價值狀況數(shù)據(jù)二次擬合可得,將其帶入BS公式中即可得期權(quán)價格.AdhocBlack-Scholes模型在期權(quán)定價中應(yīng)用廣泛,它通過不同的隱含波動率解決了不同時刻、不同執(zhí)行價格或者不同到期日的期權(quán)定價問題.Dumas,Fleming和Whaley說明AdhocBlack-Scholes模型優(yōu)于決定性波動率函數(shù)模型.3.1.2模型初步估計為了得到G(·)的主要信息,將(8)式和AdhocBlack-Scholes模型(12)結(jié)合起來可得G(·)的初步估計:其中是利用隱含波動率數(shù)據(jù)和價值狀況擬合得出的系數(shù).G(·)的主要信息可以由初步估計GLN(m)得到,此時的估計并不是非常重要,因為參數(shù)模型產(chǎn)生的估計誤差將在第二步通過2.2節(jié)中介紹的非參數(shù)方法進(jìn)行修正.3.2其他價格模型3.2.1局部線性估計在AdhocBlack-Scholes模型中,隱含波動率為價值狀況的二次函數(shù),在實證過程中發(fā)現(xiàn)它在解釋波動率微笑時存在一定的不靈活性,在此采用局部線性估計來估計隱含波動率函數(shù),方法如下:估計結(jié)果為,將其帶入Black-Scholes模型即可對期權(quán)進(jìn)行定價,稱之為半?yún)?shù)Black-Scholes模型.3.2.2分形布朗運動下的bs模型1963年,Peters提出資本市場的分形理論,認(rèn)為資本市場是一個分形市場.Hurst和Mandelbrot對分形布朗運動做了全面的研究,它比較準(zhǔn)確地刻畫了資本市場價格.Necula推導(dǎo)出分形布朗運動下的BS模型(具體方法參見文獻(xiàn)):其中,Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計概率分布函數(shù),H為Hurst指數(shù).從分形Black-Scholes模型可以看出,定價公式中用T2H-t2H代替了BS公式中的T-t,即權(quán)證價值的影響因素還包括Hurst指數(shù)在內(nèi).侯迎春、趙旭等在實證中發(fā)現(xiàn)分形布朗運動下的權(quán)證定價模型比Black-Scholes模型更有效合理.3.3中國證書市場的證書結(jié)果3.3.1誤差估計結(jié)果圖1至圖5為基于AdhocBS模型的非參數(shù)修正定價方法、完全非參數(shù)定價方法、半?yún)?shù)模型以及參數(shù)模型(BS模型、分形布朗運動下的BS模型)分別對寶鋼權(quán)證、國電權(quán)證、江銅權(quán)證、青啤權(quán)證、上港權(quán)證的定價結(jié)果,并將幾種方法的定價準(zhǔn)確性進(jìn)行比較.表1為上述五種方法在時間內(nèi)對權(quán)證進(jìn)行定價的誤差結(jié)果,誤差采用平均絕對百分比誤差(MAPE),其中Pt為市場價格,Ct為模型價格,n為樣本容量.由上述結(jié)果可以看出:1)基于模型的非參數(shù)修正定價方法效果最優(yōu),完全非參數(shù)定價方法次之,再者是半?yún)?shù)模型,參數(shù)模型定價效果最差.這說明基于模型的非參數(shù)修正定價方法綜合了參數(shù)模型和非參數(shù)定價方法的優(yōu)點;其次實際市場環(huán)境跟模型假設(shè)的理想狀態(tài)很難相符,參數(shù)模型自身獨特的原因?qū)е露▋r效果不是很理想.2)半?yún)?shù)模型優(yōu)于參數(shù)模型的定價效果,分形BS模型、BS模型均假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)收益波動率為常數(shù),再次說明中國權(quán)證市場存在波動率微笑現(xiàn)象,在權(quán)證定價過程中需要將隱含波動率考慮在內(nèi).3)參數(shù)模型中分形BS模型定價效果稍優(yōu)于BS模型.這說明中國市場存在分形結(jié)構(gòu)和長期記憶特征,假設(shè)股票價格服從馬爾科夫過程不合實際.3.3.2時間外有利于的模型預(yù)報效果圖7至圖11為基于AdhocBS模型的非參數(shù)修正定價方法、完全非參數(shù)定價方法、半?yún)?shù)模型以及參數(shù)模型(BS模型、分形布朗運動下的BS模型)分別對寶鋼權(quán)證、國電權(quán)證、江銅權(quán)證、青啤權(quán)證、上港權(quán)證的價格預(yù)報結(jié)果,并將四種方法的預(yù)報準(zhǔn)確性進(jìn)行比較.表2為上述五種方法在時間外對權(quán)證價格進(jìn)行預(yù)報的誤差結(jié)果(誤差定義同表1).由上述結(jié)果可以看出:1)與時間內(nèi)定價結(jié)果相同的結(jié)論是:基于模型的非參數(shù)修正定價方法預(yù)報效果最優(yōu),完全非參數(shù)定價方法次之,再者是半?yún)?shù)模型,參數(shù)模型定價效果最差;半?yún)?shù)模型優(yōu)于分形BS模型和BS模型的預(yù)報效果;參數(shù)模型中分形BS模型權(quán)證價格預(yù)報效果稍優(yōu)于BS模型;2)與時間內(nèi)定價結(jié)果不同的結(jié)論是:在時間內(nèi)權(quán)證定價方面,基于模型的非參數(shù)修正定價方法僅僅是稍優(yōu)于完全非參數(shù)定價方法,而在時間外權(quán)證價格預(yù)報中,依模型非參數(shù)定價方法的預(yù)測效果很好,且遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于完全非參數(shù)定價方法.這說明依模型非參數(shù)修正定價方法能夠很好地應(yīng)用于中國權(quán)證定價和價格預(yù)報中.以上結(jié)果充分表明:基于模型的非參數(shù)修正定價方法能夠很好地應(yīng)用于中國權(quán)證定價和價格預(yù)報中,可以得到更貼近市場的結(jié)果.3.4香港證書市場的證書結(jié)果3.4.1幾種方法定價準(zhǔn)確性的比較圖13至圖15為基于AdhocBS模型的非參數(shù)修正定價方法、完全非參數(shù)定價方法、半?yún)?shù)模型以及參數(shù)模型(BS模型、分形布朗運動下的BS模型)分別對匯豐17025、匯豐22461、匯豐23933的定價結(jié)果,并將幾種方法的定價準(zhǔn)確性進(jìn)行比較.表3為上述五種方法在時間內(nèi)對香港權(quán)證價格進(jìn)行定價的誤差結(jié)果(誤差定義同表1).由上述結(jié)果可以看出:1)基于模型的非參數(shù)修正定價方法效果最優(yōu),完全非參數(shù)定價方法次之,半?yún)?shù)模型和參數(shù)模型相對較差.這說明基于模型的非參數(shù)修正定價方法綜合了參數(shù)模型和非參數(shù)定價方法的優(yōu)點;其次實際市場環(huán)境跟模型假設(shè)的理想狀態(tài)很難相符,參數(shù)模型自身獨特的原因?qū)е露▋r效果不是很理想.2)與中國市場權(quán)證定價結(jié)果不同的是半?yún)?shù)模型和參數(shù)模型的定價效果相差不大,并且中國市場的權(quán)證定價誤差明顯高于香港權(quán)證定價誤差,這與我國缺乏賣空機制的市場環(huán)境以及單邊交易的市場機制、投資者對權(quán)證較低的市場認(rèn)知程度有著很密切的聯(lián)系.3.4.2預(yù)報準(zhǔn)確性比較圖17至圖19為基于AdhocBS模型的非參數(shù)修正定價方法、完全非參數(shù)定價方法、半?yún)?shù)模型以及參數(shù)模型(BS模型、分形布朗運動下的BS模型)分別對匯豐17025、匯豐22461、匯豐23933的價格預(yù)報結(jié)果,并將四種方法的預(yù)報準(zhǔn)確性進(jìn)行比較.表4為