2024屆新教材一輪復習人教A版 數列的概念與簡單表示法 課件（36張）

第六章

數列第一講

數列的概念與簡單表示法要點提煉名稱概念數列按照一定順序排列的一列數.數列的項數列中的每一個數.數列的通項數列{an}的第n項an.通項公式如果數列{an}的第n項an與序號n之間的關系能用一個式子an=f(n)(n∈N*)表示,這個式子叫作這個數列的通項公式.遞推公式如果已知數列{an}的第一項(或前幾項),且任一項an(n≥2)與它的前一項an-1(或前幾項)間的關系可以用一個式子來表示,那么這個式子就叫作數列{an}的遞推公式.考點1數列的有關概念注意

(1)并不是所有的數列都有通項公式;(2)同一個數列的通項公式在形式上未必唯一;(3)對于一個數列,如果只知道它的前幾項,而沒有指出它的變化規(guī)律,是不能確定這個數列的;(4){an}與an是不一樣的,{an}表示數列a1,a2,…,an,…,是數列的一種簡記形式;而an只表示數列{an}的第n項.考點1數列的有關概念辨析比較

通項公式和遞推公式的異同點考點1數列的有關概念

不同點相同點通項公式可根據某項的序號n的值,直接代入求出an.都可確定一個數列,也都可求出數列的任意一項.遞推公式可根據第一項(或前幾項)的值,通過一次(或多次)賦值,逐項求出數列的項,直至求出所需的an.也可通過變形轉化,直接求出an.1.數列與函數的關系數列可以看成一類特殊的函數an=f(n),它的定義域是正整數集N*或正整數集N*的有限子集{1,2,3,4,…,n},所以它的圖象是一系列孤立的點,而不是連續(xù)的曲線.2.數列的性質(1)單調性——若an+1

an,則{an}為遞增數列;若an+1

an,則{an}為遞減數列.否則為擺動數列或常數列(an+1=an).(2)周期性——若an+k=an(k為非零常數),則{an}為周期數列,k為{an}的一個周期.考點2數列的函數特性><

考點3數列的前n項和Sn與通項an的關系S1Sn-Sn-1

??√?

an=(-1)n+1(n2+1)考向掃描1.典例

(1)數列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.則an=

.

(2)已知數列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=2an+1,a1=1,則an=

.

考向1利用an與Sn的關系求數列的通項公式

考向1利用an與Sn的關系求數列的通項公式

考向1利用an與Sn的關系求數列的通項公式

考向1利用an與Sn的關系求數列的通項公式2.由f(Sn,an)=0求an的解題思路如果已知f(Sn,an)=0,那么我們可以利用an=Sn-Sn-1(n≥2)將f(Sn,an)=0向兩個方向轉化:一是消去an,轉化為只含Sn,Sn-1的式子,求出Sn后,再利用an與Sn的關系求通項an;二是利用公式Sn-Sn-1=an(n≥2)消去Sn,轉化為只含an,an-1的式子,再求解.考向1利用an與Sn的關系求數列的通項公式2.

變式

[2018全國卷Ⅰ]記Sn為數列{an}的前n項和.若Sn=2an+1,則S6=

.

考向1利用an與Sn的關系求數列的通項公式-63角度1形如an+1-an=f(n)3.

典例

[2023湖北三校5月聯考]已知數列{an}滿足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).(1)證明:數列{an+1-an}是等比數列.(2)求數列{an}的通項公式.考向2已知遞推關系求數列的通項公式

考向2已知遞推關系求數列的通項公式

考向2已知遞推關系求數列的通項公式

考向2已知遞推關系求數列的通項公式角度3形如an+1=pan+q(p≠0且p≠1,q≠0)5.

典例

[2021江西九江5月模擬]在數列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,則an=

.

解析(構造法)由an+1=3an-4,可得an+1-2=3(an-2),又a1=5,所以{an-2}是以a1-2=3為首項,3為公比的等比數列,所以an-2=3n,所以an=3n+2.考向2已知遞推關系求數列的通項公式3n+2

考向2已知遞推關系求數列的通項公式C方法技巧

由遞推公式求通項公式的方法考向2已知遞推關系求數列的通項公式方法適用類型要點累加法an+1-an=f(n).利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)(n≥2)求解.累乘法構造法an+1=pan+q(p≠0且p≠1,q≠0).變形為an+1+t=p(an+t)(可用待定系數法求t),可得以p為公比的等比數列{an+t}的通項公式,進而可求an.說明若p=1,則數列{an}為等差數列;若q=0,則數列{an}為等比數列.取倒數法取對數法將等式兩邊同時取對數后轉化為bn+1=rbn+t型,再利用構造法求解.

考向2已知遞推關系求數列的通項公式

考向2已知遞推關系求數列的通項公式(n+1)·2n-2

考向2已知遞推關系求數列的通項公式

考向2已知遞推關系求數列的通項公式

考向2已知遞推關系求數列的通項公式

考向3數列的性質及其應用

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考向3數列的性質及其應用

考向3數列的性質及其應用

考向3數列的性質及其應用

考向3數列的性質及其應用方法技巧1.解決數列單調性問題的3種常用方法考向3數列的性質及其應用作差比較法an+1-an>0?數列{an}是遞增數列;an+1-an<0?數列{an}是遞減數列;an+1-an=0?數列{an}是常數列.作商比較法數形結合法利用數列對應的函數的圖象直觀判斷.注意“函數”的自變量為正整數.

考向3數列的性質及其應用10.

變式

(1)[2021濟南重點中學5月聯考]已知遞增數列{an}的通項an=n2-kn(n∈N*),則實數k的取值范圍是(

)A.(-∞,2] B.(-∞,3) C.(-∞,2) D.(-∞,3](2)[2021貴陽市第二次適應性考試]對于函數y=f(x),部分x與y的對應關系如下表:數列{xn}滿足:x1=1,且對于任意n∈N*,點(xn,xn+1)都在函數y=f(x)的圖象上,則x1+x2+…+x2021=(

)A.7576 B.7575 C.7569 D.7564考向3數列的性質及其應用x…123456789…y…375961824…BA解析(1)因為數列{an}是遞增數列,所以an<an+1對任意n∈N*都成立,即n2-kn<(n+1)2-k(n+1),即k<2n+1對任意n∈N*恒成立,因此k<3.故選B.(2)由題意可知x1=1,x2=f(x1)=f(1)=3,x3=f(x2