人教版數(shù)學(xué)選修1-1-復(fù)習(xí)提綱

數(shù)學(xué)選修1-1復(fù)習(xí)知識(shí)提綱（一）常用邏輯用語(yǔ)：1.命題：可以判斷真假的陳述句叫做命題。其中判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題；判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題；2.四種命題：結(jié)論：互為逆否的兩個(gè)命題是等價(jià)的。因此，在判斷四種命題的真假時(shí)，只需判斷兩種命題的真假。因?yàn)樵}與逆否命題真假等價(jià)，逆命題與否命題真假等價(jià)。2.充分條件與必要條件：①若，但qp，則是的充分不必要條件（也可以說(shuō)的充分條件不必要條件是）；從集合的角度來(lái)看，若pq，則是的充分條件不必要條件。=2\*GB3②若，但qp，則是的必要不充分條件（也可以說(shuō)的必要不充分條件條是）；從集合的角度來(lái)看，若qp，則是的必要不充分條件。=3\*GB3③若，且qp，則是的充要條件（也可以說(shuō)是的充要條件），記作；從集合的角度來(lái)看，若，則是的充分要條件。=4\*GB3④若，且qp，則是的既不充分也不必要條件；從集合的角度來(lái)看，若，且，則是的既不充分也不必要條件。注意：證明是的充要條件需分證明充分性（）和必要性（）兩步。3.簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞：且、或、非；復(fù)合命題三種形式：p且q，p或q，非p真假判斷：p、q同真，真，其余均為假；p、q同假，假，其余均為真；與p的真假相反4.全稱量詞與存在量詞：全稱命題p：,它的否定：特稱命題p：,它的否定：全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題。（二）圓錐曲線與方程：1．橢圓：1.橢圓方程的第一定義：2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：=1\*romani.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：.=2\*romanii.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上：.一般方程：.頂點(diǎn)：或.對(duì)稱軸：x軸，軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng).焦點(diǎn)：或.焦距：.準(zhǔn)線：或.離心率：.3.焦半徑：=1\*romani.設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，為左、右焦點(diǎn)，則由橢圓方程的第二定義可以推出：，=2\*romanii.設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，為上、下焦點(diǎn)，則由橢圓方程的第二定義可以推出：，歸結(jié)起來(lái)為“左加右減”、“下加上減”.4.通徑：垂直于x軸且過(guò)焦點(diǎn)的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：和共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程的離心率也是，我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.5.若P是橢圓：上的點(diǎn).為焦點(diǎn)，若，則的面積為（用余弦定理與可得）.若是雙曲線，則面積為.2．雙曲線：1.雙曲線的第一定義：2.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：.一般方程：.=1\*romani.焦點(diǎn)在x軸上：頂點(diǎn)：.焦點(diǎn)：.準(zhǔn)線方程.漸近線方程：或=2\*romanii.焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：.焦點(diǎn)：.準(zhǔn)線方程：.漸近線方程：或，軸為對(duì)稱軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b，焦距2c.離心率.準(zhǔn)線距（兩準(zhǔn)線的距離）；通徑.參數(shù)關(guān)系.3.焦半徑公式：對(duì)于雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn)）“長(zhǎng)加短減”原則：構(gòu)成滿足（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào)）4.等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.5.共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.6.共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為,因此，如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為.例如：若雙曲線一條漸近線為且過(guò)，求雙曲線的方程？解：令雙曲線的方程為：，代入得.7.直線與雙曲線的位置關(guān)系：3．拋物線：設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)（0，0）離心率焦半徑注：①則焦點(diǎn)半徑；則焦點(diǎn)半徑為.=2\*GB3②通徑為2p，這是過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中最短的.4．圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和它到一條定直線的距離之比是一個(gè)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線，并且當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線.其中，點(diǎn)F是它的焦點(diǎn)，直線是它的準(zhǔn)線，比值是它的離心率。（三）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用：1.導(dǎo)數(shù)的定義：一般地，函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即=.注：=1\*GB3①是增量，我們也稱為“改變量”，因?yàn)榭烧?，可?fù)，但不為零.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，也就是說(shuō)，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是，切線方程為3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（為常數(shù)）（）4.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：注：必須是可導(dǎo)函數(shù).5.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.注：=1\*GB3①如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù).=2\*GB3②是f（x）遞增的充分條件不必要條件，如在上并不是都有，有一個(gè)點(diǎn)例外，即時(shí)，同樣是遞減的充分不必要條件.=3\*GB3③一般地，如果在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正（或負(fù)），那么在該區(qū)間上仍就是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.6.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)：一般地，求函數(shù)的極值的方法是：解方程，當(dāng)時(shí)：=1\*GB3①如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值；=2\*GB3②如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值.注意：=1\*GB3①：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，但是若點(diǎn)是可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)，則.此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值?。ê瘮?shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）.例如：=1\*GB3①函數(shù)，使，但不是極值點(diǎn).=2\*GB3②函數(shù)，在點(diǎn)處不可導(dǎo)，但點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn).7.函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)：一般地，求函數(shù)在的最大值與最小值的步驟如下：=1\*GB2⑴求函數(shù)在內(nèi)的極值；=2\*GB2⑵將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，其中最大的的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。數(shù)學(xué)選修1-2復(fù)習(xí)知識(shí)提綱一、基礎(chǔ)知識(shí)梳理１．回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線。求回歸直線方程的一般步驟：作出散點(diǎn)圖（由樣本點(diǎn)是否呈條狀分布來(lái)判斷兩個(gè)量是否具有線性相關(guān)關(guān)系），若存在線性相關(guān)關(guān)系→②求回歸系數(shù)→③寫出回歸直線方程，并利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)說(shuō)明.

2.回歸分析：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法。建立回歸模型的基本步驟是：①確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；②畫好確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（線性關(guān)系）.③由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型.④按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（最小二乘法）；⑤得出結(jié)論后在分析殘差圖是否異常，若存在異常，則檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否有誤，后模型是否合適等.3.利用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟：（1）提出問(wèn)題；（2）收集數(shù)據(jù)；（3）分析整理數(shù)據(jù)；（4）進(jìn)行預(yù)測(cè)或決策。4.殘差變量的主要來(lái)源：（1）用線性回歸模型近似真實(shí)模型（真實(shí)模型是客觀存在的，通常我們并不知道真實(shí)模型到底是什么）所引起的誤差?？赡艽嬖诜蔷€性的函數(shù)能夠更好地描述與之間的關(guān)系，但是現(xiàn)在卻用線性函數(shù)來(lái)表述這種關(guān)系，結(jié)果就會(huì)產(chǎn)生誤差。這種由于模型近似所引起的誤差包含在中。（2）忽略了某些因素的影響。影響變量的因素不只變量一個(gè)，可能還包含其他許多因素（例如在描述身高和體重關(guān)系的模型中，體重不僅受身高的影響，還會(huì)受遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長(zhǎng)環(huán)境等其他因素的影響），但通常它們每一個(gè)因素的影響可能都是比較小的，它們的影響都體現(xiàn)在中。（3）觀測(cè)誤差。由于測(cè)量工具等原因，得到的的觀測(cè)值一般是有誤差的（比如一個(gè)人的體重是確定的數(shù)，不同的秤可能會(huì)得到不同的觀測(cè)值，它們與真實(shí)值之間存在誤差），這樣的誤差也包含在中。上面三項(xiàng)誤差越小，說(shuō)明我們的回歸模型的擬合效果越好。二、例題選講例1：研究某灌溉渠道水的流速與水深之間的關(guān)系，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：水深1.401.501.601.701.801.902.002.10流速1.701.791.881.952.032.102.162.21（1）求對(duì)的回歸直線方程；（2）預(yù)測(cè)水深為1.95時(shí)水的流速是多少？分析：本題考查如何求回歸直線的方程，可先把有關(guān)數(shù)據(jù)用散點(diǎn)圖表示出來(lái)，若這些點(diǎn)大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，說(shuō)明這兩個(gè)變量線性相關(guān)，從而可利用我們學(xué)過(guò)的最小二乘估計(jì)思想及計(jì)算公式求得線性回歸直線方程。解：（1）由于問(wèn)題中要求根據(jù)水深預(yù)報(bào)水的流速，因此選取水深為解釋變量，流速為預(yù)報(bào)變量，作散點(diǎn)圖：由圖容易看出，與之間有近似的線性關(guān)系，或者說(shuō)，可以用一個(gè)回歸直線方程

來(lái)反映這種關(guān)系。由計(jì)算器求得。對(duì)的回歸直線方程為。（2）由（1）中求出的回歸直線方程，把代入，易得。計(jì)算結(jié)果表示，當(dāng)水深為時(shí)可以預(yù)測(cè)渠水的流速為。評(píng)注：建立回歸模型的一般步驟：（1）確定研究對(duì)象，明確兩個(gè)變量即解釋變量和預(yù)報(bào)變量；（2）畫出散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系；（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程類型（若呈線性關(guān)系，選用線性回歸方程）；（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，或殘差出現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。2.1合情推理與演繹推理知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：推理的概念根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知事實(shí)(或假設(shè))得出一個(gè)判斷，這種思維方式叫做推理．從結(jié)構(gòu)上說(shuō)，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(shí)(或假設(shè))叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫做結(jié)論．知識(shí)點(diǎn)二：合情推理根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果、個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想、歸納、類比等推測(cè)出某些結(jié)果的推理過(guò)程。其中歸納推理和類比推理是最常見的合情推理。1.歸納推理（1）定義：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納）。（2）一般模式：部分整體，個(gè)體一般（3）一般步驟：①通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；②從已知的相同的性質(zhì)中猜想出一個(gè)明確表述的一般性命題；③檢驗(yàn)猜想.（4）歸納推理的結(jié)論可真可假歸納推理一般都是從觀察、實(shí)驗(yàn)、分析特殊情況開始，提出有規(guī)律性的猜想；一般地，歸納的個(gè)別情況越多，就越具有代表性，推廣的一般性命題就越可靠.由于歸納推理的前提是部分的、個(gè)別的事實(shí)，因此歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，而是或然的，所以歸納推理所得的結(jié)論不一定是正確的.2.類比推理（1）定義：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）.（2）一般模式：特殊特殊（3）類比的原則：可以從不同的角度選擇類比對(duì)象，但類比的原則是根據(jù)當(dāng)前問(wèn)題的需要，選擇恰當(dāng)?shù)念惐葘?duì)象.（4）一般步驟：①找出兩類對(duì)象之間的相似性或一致性；②用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，得出一個(gè)明確的命題（猜想）；③檢驗(yàn)猜想.（5）類比推理的結(jié)論可真可假類比推理中的兩類對(duì)象是具有某些相似性的對(duì)象，同時(shí)又應(yīng)是兩類不同的對(duì)象；一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)越相關(guān)，那么類比得出的命題就越可靠.類比結(jié)論具有或然性，所以類比推理所得的結(jié)論不一定是正確的。知識(shí)點(diǎn)三：演繹推理（1）定義：從一般性的原理出發(fā)，按照嚴(yán)格的邏輯法則，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理，叫做演繹推理.簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．（2）一般模式：“三段論”是演繹推理的一般模式，常用的一種格式大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情況；結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的結(jié)論.（3）用集合的觀點(diǎn)理解“三段論”若集合的所有元素都具有性質(zhì)，是的子集，那么中所有元素都具有性質(zhì)（4）演繹推理的結(jié)論一定正確演繹推理是一個(gè)必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正確，那么結(jié)論一定是正確的，它是完全可靠的推理。規(guī)律方法指導(dǎo)合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系（1）從推理模式看：①歸納推理是由特殊到一般的推理．②類比推理是由特殊到特殊的推理．③演繹推理是由一般到特殊的推理．（2）從推理的結(jié)論看：①合情推理所得的結(jié)論不一定正確，有待證明。②演繹推理所得的結(jié)論一定正確。（3）總體來(lái)說(shuō)，從推理的形式和推理的正確性上講，二者有差異；從二者在認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中所發(fā)揮的作用的角度考慮，它們又是緊密聯(lián)系，相輔相成的。合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗(yàn)證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過(guò)合情推理獲得的；演繹推理可以驗(yàn)證合情推理的正確性，合情推理可以為演繹推理提供方向和思路.3.1數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的基本概念1．虛數(shù)單位:（1）它的平方等于，即；（2）與－1的關(guān)系:就是－1的一個(gè)平方根，即方程的一個(gè)根，方程的另一個(gè)根是；（3）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立；（4）的周期性：，，，（）.2.概念形如（）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作：（）；其中：叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部.說(shuō)明：這里容易忽視，但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù).3．復(fù)數(shù)的分類（）4．復(fù)數(shù)集全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示；復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：5．復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛、0的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)（），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，復(fù)數(shù)叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)就是實(shí)數(shù)0.6．復(fù)數(shù)相等的充要條件兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.即：如果，那么.特別地:.說(shuō)明：（1）（2）一個(gè)復(fù)數(shù)一旦實(shí)部、虛部確定，那么這個(gè)復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣.（3）復(fù)數(shù)相等的充要條件是將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)解決問(wèn)題的基礎(chǔ).（