半群的半群結構

半群的半群結構

0關于有限群的階段研究半組代換法理論是20世紀50年代發(fā)展起來的一個新代換法分支。它在自動機理論,符號動力系統(tǒng),計算機科學,組合數學,代數表示論,算子代數和概率論等方面都有廣泛的應用。群論是現(xiàn)代基礎數學和應用數學的基礎理論和學科分支之一,它在數學本身以及現(xiàn)代科學技術的許多領域都有廣泛的應用。有限群論不管是從自身的理論研究,還是從它的實際應用來說,都占據著突出的地位。近幾十年來,有限群的研究取得了一系列的重大成果。所以,有限群是近年來研究最活躍的一個代數學分支。至今,對有限群的結構研究還遠未完成,探索新的思想方法力爭取得新的突破顯得尤為迫切和重要。我們設G是有限群,在G的冪集P(G)={A∶A?G}上定義運算:則容易證明P(G)在上述運算下作成一個半群,我們稱它為有限群G的冪集半群,簡稱為群冪集半群。關于一個代數的冪集半群的研究,開始于20世紀50年代。特別地,在文獻中,Tamura與Shafer對半群的冪集半群作了研究;在文獻中,Putahs對半群的冪集半群的半格分解作了研究。另一方面,在文獻中,JorgeAlmeida等人對半群的冪集算子及冪偽簇作了研究,并且在文獻中,JorgeAlmeida還列舉了一些冪集半群、冪集算子及冪偽簇的已被研究的性質和還有待研究的一些問題。而且這兩方面的研究工作,一直持續(xù)到現(xiàn)在?，F(xiàn)在我們著手建立有限群的冪集半群的概念與性質,進而研究它的結構。從而可以利用有限群的冪集半群的性質與結構,去研究有限群的性質與結構。我們認為這是值得探索的新方法。本文首先給出了群冪半群P(G)的特殊子集與特殊元;然后研究了P(G)的Green關系,從而得到了P(G)的D-類結構,并且這一結論包含了文獻中給出的正則D-類的結論。本文未定義的術語及符號請參考文獻,。1特殊子集和特殊元1.1子半群的區(qū)別—特殊子集從P(G)的定義出發(fā),為了書寫方便,我們分別記A{g},{g}A(A?G,g∈G)為Ag,gA。由于Υ∈P(G),以后記為0。令則P+(G)是P(G)的子半群。對g∈G有{g}∈P(G),以后也把{g}記為g。因此在文中,請讀者結合上下文區(qū)分是g∈G,還是g∈P(G)。設1是G的單位元,令容易證明P1(G)是P(G)的子半群,并且我們定義其中g∈G,并且P(G)是G的冪集。我們也很容易證明下列性質的成立。命題1.1(1)設H是G的子群,則P(H)是P(G)的子半群;(2)設A∈P(G),g∈G,則1.2hpa的等元當及其最適合的分布在一個半群中,冪等元具有很好的性質,某個時候還可以反映出半群的特征結構。定理1.2H是P(G)的冪等元當且僅當H=0,或者H是G的子群。我們將P(G)的冪等元集記為E(G),則0,1,G∈E(G),并且顯然有0是P(G)的零元,1是P(G),P+(G),P1(G)的單位元,G是P+(G),P1(G)的零元。1.3r是pg逆元的假設在一個半群中,同冪等元一樣,正則元也反映了很好的性質,并且與冪等元有密切的聯(lián)系。定理1.3R是P(G)的正則元當且僅當存在H∈E(G),g∈G使R=gH。證明:(必要性)設R是P(G)的正則元。若R=0,則結論顯然成立。下面假設R≠0。則存在A∈P(G)使R=RAR。從而H=AR∈E(G),并且H≠0,即R=RH。又由于G是有限群,故即｜R｜=｜H｜。因此存在g∈G使R=gH。(充分性)若存在H∈E(G),g∈G使R=gH,則存在Hg-1∈P(G)使故R是P(G)的正則元。下面我們來看P(G)的逆元。定理1.4R是P(G)的逆元當且僅當R是P(G)的正則元。證明:必要性顯然成立,下證充分性。設R是P(G)的正則元,則由定理1.3知,存在進而存在Hg-1=g-1Hg-1使得故R是P(G)的逆元。2pg與綠色關系2.1當當apg由于G是有限群,因此P(G)是有限的。假設｜G｜=k,則｜P(G)｜=2k,并且P(G)是周期半群。下面我們通過一般半群的Green關系的定義得到P(G)的Green關系。定理2.1設A,B∈P(G),則有,(5)ADB當且僅當AJB。證明:(1)若ALB,則存在C∈P(G),使得B=CA。顯然可以讓C≠0,取x∈C則同理可證｜A｜≥｜B｜。因此｜A｜=｜B｜。進而由G的有限性知,B=xA。反之,若B=xA,則有A=x-1B。因此ALB。(2)、(3)同(1)可證。(4)AHB當且僅當ALBRA當且僅當存在x,y∈G使B=xA且B=Ay。(5)由于P(G)是周期半群,故ADB當且僅當AJB。2.2子群的性質與結構對任意半群S,設D是S的一個D-類,x∈D。假設I,Λ分別是D的R-類,L-類的指標集。我們記D的R-類為Ri(i∈I),L-類為Lλ(λ∈Λ)。對i∈I,λ∈Λ,設Hi=Ri∩Lx和Hλ=Lλ∩Rx。則{Hi∶i∈I}是包含于Lx的所有H-類,和{Hλ∶λ∈Λ}是包含于Rx的所有H-類。設{qλ∶λ∈Λ},{ri∶i∈I}是S1的元素族,并且使得i∈I,λ∈Λ。xqλ∈Hλ,rix∈Hi。我們稱三元對[x,{qλ∶λ∈Λ},{ri∶i∈I}]為D的標架,而稱三元對[Hx,{qλ∶λ∈Λ},{ri∶i∈I}]為D的完全標架。若D-類D包含有m個R-類和n個L-類,則由D的標架知即分別是Rx,Lx的H-類構成的集合的勢。因此D的完全標架可以看成是由D的所有H-,R-,L-類構成。事實上,設Hiλ=Ri∩Lλ,i∈I,λ∈Λ,則由Green引理有設A∈P(G),若A=0,顯然0所在的D-類D0={0}。因此下面的討論中,除特別說明外,始終假設A≠0。設B∈P+(G),下面我們定義兩個集合,BA={bA∶b∈B},AB={Ab∶b∈B}。顯然有A所在的L-類、R-類分別為進而有A所在的H-類特別地當是的子群時就是群G關于子群A的所有左陪集構成的集合,AG就是群G關于子群A的所有右陪集構成的集合。并且關于上面的兩個集合還有如下明顯的性質。命題2.2設B∈P+(G),(1)若G是Abel群,則BA=AB;(2)設G是非Abel群,若A是G的正規(guī)子群,則BA=AB。我們可以在群G中定義下面兩個特殊的子集,則RG(A),LG(A)具有如下性質:(3)若A是G的子群,則(4)若G是Abel群,則證明(1)顯然RG(A)≠0,因為1∈RG(A)。?x1,x2∈RG(A),則存在y1,y2∈G使得進而Ax1x2=y1Ax2=y1y2A,故x1x2∈RG(A)。又由于G是有限群,因此RG(A)是G的子群。同理可證,LG(A)也是G的子群。進而y∈LG(A),并且yA=Ax∈LG(A)A。因此ARG(A)LG(A)A。同理可證LG(A)A?ARG(A)。下面證明LG(A)A=(GA)∩(AG)。由ARG(A)=LG(A)A知,LG(A)A(GA)∩(AG)。對B∈(GA)∩(AG),存在x,y∈G使因此x∈LG(A),即B=xA∈LG(A)A。故(GA)∩(AG)LG(A)A。設G∶LG(A)=m,G∶LG(A)=n。又設群G關于關于子群LG(A)的左陪集代表系為{ri∶i=1,…,m},和子群RG(A)的右陪集代表系為{qλ∶λ=1,…,n},其中取q1=r1=1。下面我們對x∈G,A,B?G定義命題2.5(1)ri(LG(A)A)∩rj(LG(A)A)=Φ當且僅當i≠j;證明(1)充分性顯然成立,下證必要性。若i≠j,即ri≠rj。進而ri-1rjLG(A)。假設因此ri-1rj∈LG(A)。這與ri-1rjLG(A)矛盾。(2)同(1)可證。另一方面,由于所以對?Ax∈AG,存在λ∈{1,…,n},使得x∈RG(A)qλ,即存在y∈RG(A)使得x=yqλ。(4)同(3)可證。(5)顯然有。又由命題定理2.6(D-類的結構)設D是P(G)的D-類,A∈D,則存在y∈G使得x2A=yx1A。進而即rix1ALrix2A。由于在半群中,R-關系是左同余,則顯然有rix1ARrix2A。因此rix1AHrix2A,即存在LA的一個H-類H′,使得ri(LG(A)A)H′。利用文獻[1,chapter2,Lemma2.3]容易證明,同理可證,D有n個L-類,并且λ∈{1,…,m},綜上所述,把{qλ∶λ=1,…,n},{ri∶i=1,…,m}作為P(G)的元素族,并且因此[A,{qλ∶λ=1,…,n},{ri∶i=1,…,m}]是D的標架。推論2.7(正則S-類的結構)設D是P(G)的D-類,則有D是正則的當且僅當E(A)≠Υ。因此,存在H∈E(D),并且有證明:充要條件由半群的正則D-類的性質立即可得,并且(1)是顯然的,下面我們只證明(2)。由H∈E(D)知,H是G的子群。由命題2.3可得,RG(H)=LG(H)=NG(H)。取{x1∶i=1,…,m}(x1=1)為群G關于子群NG(H)的右陪集代表系。則{xi-1∶i=1,…,m}為群G關于子群NG(H)的左陪集代表系。因此由定理2.6有致謝:本文在撰寫過程中得到了我們的導師游泰杰教授,指導教師李先崇副教授,和徐波副教授的悉心指導gP(A)=P(gA),P(A)g=P(Ag)。證明:H是P(G)的冪等元在有限群G中,H2=H?H=0,或者H是G的子群。(1)ALB當且僅當存在x∈G使B=xA;(2)ARB當且僅當存在y∈G使B=Ay;(3)AJB當且僅當存在x,y∈G使B=xAy;(4)AHB當且僅當存在x,y∈G使B=xA=Ay;證明(1)由群的交換性顯然成立。(2)由子群的正規(guī)性立即可得。命題2.3(1)RG(A),LG(A)是G的子群;(2)NG(A)?RG(A)∩LG(A);RG(A)=LG(A)=NG(A);RG(A)=RG(A)=G。(2)、(3)、(4)顯然成立。命題2.4ARG(A)=證明:先證ARG(A)=LG(A)A。對?Ax∈ARG(A),存在y∈G使H∈E(G),g∈G使R=gH。由命題2.4有進而存在使得(3)顯然有2.4d為多模類,且級為0,其又為0(6)同(5)可證。(1)若A=