具有逆斷面的正交半群

具有逆斷面的正交半群

0基本正則半群中的逆同構(gòu)1982年，blyth和mcfadan在s中提出了正半群的逆截面的概念。s是正半群，s的反子半群s稱為s的反截面。當(dāng)s中的每個(gè)源x在s中有唯一的逆元x時(shí)，它會被認(rèn)為是s=（x）.在提出逆截面的概念后，人們開始研究具有逆截面的正半群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，并取得了許多良好的結(jié)果。1989年，sait給出了抗逆截面的一般官僚主義半群的復(fù)雜結(jié)構(gòu)方程（見[2]、屬性2.5），但在某些情況下，尋找滿足一定邏輯條件的結(jié)構(gòu)分配是困難的。對于這些重要的子類，我們希望給出相對清晰的代際結(jié)構(gòu)原則。在本文中，我們將利用偽半群和偽半群的逆截面來構(gòu)建具有偽半段的純半群。下列3個(gè)結(jié)論后面經(jīng)常用到,我們將不加說明地引用.設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群,則(1.1)xLy?x°x=y°y,xRy°?xx°=yy°.(1.2)集合IS={e∈S|e=ee°}和ΛS={f∈S|f=f°f}分別是S的具有公共逆斷面E°=E(S°)的左和右正則子帶.(1.3)S是純正的當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的x,y∈S,(xy)°=y°x°.在中,我們給出了具有逆斷面的基礎(chǔ)正則半群和基礎(chǔ)純正半群的結(jié)構(gòu)定理.本節(jié)后面的部分,我們引入中的相關(guān)事實(shí)和結(jié)論,為下一節(jié)構(gòu)造具有逆斷面的純正半群作準(zhǔn)備.設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群.由S的冪等元生成的正則子半群〈E(S)〉記為C.記E°=E(S°).對于任意的e∈E(S),記?e?=〈E(eCe)〉.對于任意的a∈S,用V(a)表示a的所有逆元的集合,并定義λa∈PS(S上的部分變換半群)如下:λa:?aa°?→?a°a?,x|→a°xa.對于任意的a,b∈S,λa和λb在PS中的合成記為λaλb.命題1設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群.(1)對于任意的a∈S,設(shè)e=aa°,f=a°a.那么λa是一個(gè)同構(gòu),滿足(eE°)λa=E°f.它的逆同構(gòu)是λ?1aa-1:?f?→?e?,y|→aya°.(2)對于任意的a,b∈S,定義λa。λb=λaλ?1ff-1λfgλ?1gg-1λb,其中f=a°a,g=bb°,則λa。λb=λab是從?ab(ab)°?到?(ab)°ab?的同構(gòu).設(shè)C是由自身的冪等元生成的正則半群,C°是C的逆斷面.記E°=E(C°),I=IC,Λ=ΛC.定義U={(e,f)∈I×Λ:?e???f?}.設(shè)(e,f)∈U,令Te,f是由滿足條件(eE°)α=E°f的所有同構(gòu)α:?e?→?f?組成的集合.設(shè)TC,C°=∪eUfTe,f.ΤC,C°=∪eUfΤe,f.對于任意的α∈Te,f,β∈Tg,h,定義α和β的乘積為α。β=αλ?1ff-1λfgλ?1gg-1β.命題2(1)對于任意的α∈Te,f,β∈Tg,h,其中e,g∈I,f,h∈Λ,則α。β∈Tj,k,其中j=(fg(fg)°f)α-1∈I,k=(g(fg)°fg)β∈A.特別地,若C=B是帶,則j=(fgf)α-1,k=(gfg)β;(2)如果x∈?e?,那么ex°=ex°e∈?e?,(ex°)α=(xα)°f且(xα)°=(ex°)αf°.如果z∈?f?,那么z°f=fz°f∈?f?,(z°f)α-1=e(zα-1)°且(zα-1)°=e°(z°f)α-1;(3)TC,C°是具有逆斷面T°C,C°={α°∈Te°,f°|e°,f°∈E°}的基礎(chǔ)正則半群.特別地,若C=B是具有半格斷面B°的帶,則TB,B°是具有逆斷面T°B,B°={α°∈Te°,f°|e°,f°∈B°}的基礎(chǔ)純正半群;(4)對于任意的α∈Ta,f,α在T°C,C°中的惟一逆元為α°=λfα-1λe∈Tf°,e°;(5)E(TC,C°)={λt:t∈E(C)};(6)設(shè)α∈Te,f,β∈Tg,h,則αLTC,C°β?f=h,αRTC,C°β?e=g.命題3設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群,C=〈E(S)〉,C°=C∩S°,則對于任意的a∈S,有λa∈TC,C°,并且λ°a=λa°.1為“gfg”,有以下三種驅(qū)動設(shè)K是逆半群,K上任意一個(gè)元a的逆元a-1記為a°.B是具有半格斷面B°=E(K)的帶,則TB,B°是具有逆斷面T°B,B°的基礎(chǔ)純正半群.記I=IB,Λ=ΛB.對于任意的a∈K,設(shè)?a是I∪Λ上的一個(gè)變換,對于任意的l∈I∪Λ,l?a=a*l*a°.滿足下列條件:(1)對于任意的a∈K,l∈I∪Λ,x°∈B°,有a*x°*a°=ax°a°,x°*l*x°=x°lx°;(2)對于任意的a,b∈K,l∈I∪Λ,有a*(b*l*b°)*a°=(ab)*l*(ab)°.令TB,B°*K={(α,a)∈TB,B°×K|α∈Te,f,e°=aa°,f°=a°a,?l∈I∪Λ,(f°lf°)α°=a*l*a°}.定義TB,B°*K上的乘法如下:(α,a)(β,b)=(α。β,ab),其中α∈Te,f,β∈Tg,h.我們有定理1TB,B°*K是具有逆斷面T°B,B°*K的純正半群.證明由命題2,dom(α。β)=?(fgf)α-1?,ran(α。β)=?(gfg)β?.再由條件(1),有((fgf)α-1)°=e°((fgf)°f)α-1=e°(f°g°f°f)α-1=e°(f°f°g°f°f)α-1e=(f°g°f°)λfα-1λe=(f°g°f°)α°=a*g°*a°=ag°a°=abb°a°=ab(ab)°,類似地,可以證明((gfg)β)°=(ab)°ab.對于任意的l∈I∪Λ,有(((gfg)β)°l((gfg)β)°)(α。β)°=(((gfg)β)°l((gfg)β)°)λ(gfg)β(α。β)-1λ(fgf)α-1=(((gfg)β)°l((gfg)β)°(gfg)β)(α。β)-1λ(fgf)α-1=(((gfg)β)°l(gfg)β)β-1λgλ?1fgfg-1λfα-1λ(fgf)α-1=((g(gfg)°)βh°lh(gfg)β)β-1λgλ?1fgfg-1λfα-1λ(fgf)α-1=(由命題2及ranβ=?h?)(gf°(h°lh)β-1gfg)λgλ?1fgfg-1λfα-1λ(fgf)α-1=(fgf°(h°lh)β-1gf)α-1λ(fgf)α-1=((fgf)α-1)°(fgf°(h°lh)β-1gf)α-1(fgf)α-1=e°((fgf°)f)α-1(fgf°(h°lh)β-1gf)α-1(fgf)α-1=(由命題2)e°((fg)°fg(fg)°(h°lh)β-1gf)α-1=(f°(h°lh)β°f°)α°=a*(b*l*b°)*a°=(ab)*l*(ab)°.(由條件(2))所以如上定義的乘法是封閉的.顯然結(jié)合律成立,故TB,B°*K是半群.下面來證T°B,B°*K是TB,B°*K的逆斷面.對于任意的t∈B°=E(K),易見(λt,t)∈T°B,B°*K,故T°B,B°*K≠?.易見T°B,B°*K是TB,B°*K的子半群.對于任意的(α,a)∈TB,B°*K,其中α∈Te,f,我們先來證明(α°,a°)∈T°B,B°*K.由命題2,α°=λfα-1λe,并且domα°=?f°?,ranα°=?e°?.于是對于任意的l∈I∪Λ,有(e°le°)(α°)°=(e°le°)λe°(α°)-1λf°=(e°le°)(α°)-1λf°=(aa°laa°)(α°)-1λf°=((aa°)*l*(aa°))(α°)-1λf°=(a*(a°*l*a)*a°)(α°)-1λf°=(f°(a°*l*a)f°)λf°=f°(a°*l*a)f°=(f°a°)*l*(af°)=a°*l*a,又因?yàn)閒°=a°a,e°=aa°,所以(α°,a°)∈T°B,B°*K.顯然(α°,a°)∈V((α,a)).注意到T°B,B°是TB,B°的逆斷面,易見(α°,a)是(α,a)在T°B,B°*K中的惟一逆元.這樣我們證明了TB,B°*K是具有逆斷面T°B,B°*K的正則半群.我們再來證明TB,B°*K的冪等元集合E(TB,B°*K)={(λe,e°)|e∈B}.對于任意的e∈B,domλe=?ee°?,ranλe=?e°e?.對于任意的p∈I∪Λ,由命題3及條件(1),有((e°e)°p(e°e)°)λ°e=(e°e°°pe°e°°)λe°=(e°pe°)λe°=e°pe°=e°*p*e°.又因?yàn)?ee°)°=e°°e°,(e°e)°=e°e°°,所以(λe,e°)∈TB,B°*K.由命題2,E(TB,B°)={λe|e∈B}.易見(λe,e°)∈E(TB,B°*K).相反方向的包含關(guān)系是顯然的.因此E(TB,B°*K)={(λe,e°)|e∈B}.易證它是一個(gè)帶.因此TB,B°*K是具有逆斷面T°B,B°*K的純正半群.證畢設(shè)S是具有逆斷面S°的純正半群,則B=E(S)是具有半格斷面B°=E(S°)的帶.令I(lǐng)=IS=IB,Λ=ΛS=ΛB,得到具有逆斷面T°B,B°的基礎(chǔ)純正半群TB,B°.對于任意的a∈S°,定義I∪Λ上的變換?a,l?a=a*l*a°=ala°.易證?a滿足條件(1)和(2).引理1設(shè)S是具有逆斷面S°的純正半群,B=E(S),B°=E(S°),則TB,B°*S°={(λa,a°°)|a∈S}.證明設(shè)a∈S,則domλa=?aa°?,ranλa=?a°a?.我們有(aa°)°=a°°a°,(a°a)°=a°a°°.對于任意的l∈I∪Λ,由命題3,有((a°a)°l(a°a)°)λ°a=(a°a°°la°a°°)λa°=a°°a°a°°la°a°°a°=a°°la°,所以(λa,a°°)∈TB,B°*S°.相反地,設(shè)(β,b)∈TB,B°*S°,其中β∈Tg,h,g°=bb°,h°=b°b.令c=gbh,由命題2可以證明β=λc,