關(guān)于具有右逆半群和右逆半群的更新過程

關(guān)于具有右逆半群和右逆半群的更新過程

正式*-半組的概念由t.e.nordah和h.e.scheiblih給出。m.異議語和t.imaka進(jìn)行了進(jìn)一步研究。左后半組和左后半組已由p.s.ventisan研究。在這項(xiàng)工作中，我們證明了正確的半群體不是右半群體，而正確的半群體不是右半群體。非正式半群體和右半群體的組合不是反半群。文本中未給出的概念和符號(hào)如下。1正則型半群設(shè)S是正則半群,E(S)為S的冪等元集,V(a)為a的逆元集.定義1.1正則半群S稱為右逆半群(左逆半群),如果E(S)是左正則帶(右正則帶)即?e、f∈E(S)滿足efe=ef(efe=fe).定理1.2S是正則半群,那么下列幾條等價(jià)(1)S是右逆半群.(2)每一個(gè)R-類僅有一個(gè)冪等元.(3)對(duì)?e∈E(S)?a∈S和a′∈V(a)有aea′=ae.(4)對(duì)?a∈Sa′、a″∈V(a)aa′=aa″.定義1.3如果一個(gè)半群S上有一個(gè)一元運(yùn)算*:S→S,它滿足對(duì)?a、b∈S,(1)aa*a=a.(2)(a*)*=a.(3)(ab)*=b*a*.則稱S是正則*-半群.在正則*-半群S中,a*aa*=((a*aa*)*)*=(aa*a)*=a*.所以a*是a的一個(gè)逆元、S是正則半群.定義1.4設(shè)S是正則半群,E(S)為S的冪等元集.E(S)的一個(gè)子集F被稱為p-組如果滿足:(1)對(duì)?a∈S,存在唯一一個(gè)逆元a*使得aa*、a*a屬于F.(2)對(duì)?a∈S,a*Fa?F,這里*一元運(yùn)算由(1)確定.(3)F2?E(S).定理1.5正則半群S是正則*-半群的充分必要條件為:它至少有一個(gè)p-組.定義1.6設(shè)S是正則半群,如果S的每一個(gè)元素的逆元唯一,則稱S是逆半群.定理1.7S是正則半群,以下幾條等價(jià):(1)S是逆半群.(2)S的冪等元可以交換.(3)每一個(gè)R-類僅有一個(gè)冪等元并且每一個(gè)L-類僅有一個(gè)冪等元.2生成s是型逆半群的一個(gè)正則型半群定理2.1存在不是右逆半群的正則*-半群、存在不是正則*-半群的右逆半群.證明設(shè)S={1,a,b,c,d}它的乘法由下表1給出.對(duì)于任意x,y,z∈S,當(dāng)x,y,z中有1時(shí)結(jié)合律成立.主要到S中的元素都是冪等元,(ab)a=ba=a,a(ba)=aa=a容易驗(yàn)證,當(dāng)x,y,z中有兩個(gè)元素相同時(shí)結(jié)合律成立.(ab)c=bc=a,a(bc)=aa=a,(ab)d=bd=b,a(bd)=ab=b……容易驗(yàn)證,當(dāng)x,y,z中兩兩不同時(shí)結(jié)合律成立.注意到S中的元素都是冪等元S是一個(gè)正則半群.E(S)=SV(1)={1}V(a)={a,b,c,d}V(b)={a,b,c,d}V(c)={c,a,d,b}V(d)={a,b,c,d}令F={1,a,d}取1*=1,a*=a,b*=c,c*=b,d*=d.因?yàn)樽⒁獾?只有一個(gè)逆元,ab=b,ad=b,ca=c,bb=b,bd=b,cc=c,dc=c,都不屬于F.F滿足定義1.4的條件(1).1F1=FaFa=FcFb=sjvctjobFc={a}dFd=z2x5l0b滿足定義1.4的條件(2).E(S)=S條件(3)顯然.F是一個(gè)p-組,再由定理1.5可知S是一個(gè)正則*-半群.但是,aba=aab=b由定義1.1,S不是右逆半群.設(shè)S={a,b,c,d},它的乘法由上表2給出,容易驗(yàn)證S是一個(gè)正則半群,因?yàn)閍、d只和自己有R關(guān)系,所以S的R-類為{a},,{c},l2k8j2k每個(gè)R-類只有一個(gè)冪等元,由定理1.2可知S是一個(gè)右逆半群.下面證明S不是一個(gè)正則*-半群.假設(shè)S有一個(gè)p-組F,由定義1.4的(1)可知,要使aa*、dd*∈F必須有a、d屬于F,而aa=a,ada=a,dad=d.a、d都是a的逆元,ad=ada=da、d∈F不滿足定義1.4的(1)中的唯一性.所以S沒有p-組.由定理1.5得S不是一個(gè)正則*-半群.定理2.2一個(gè)半群S是逆半群的充分必要條件是,S是一個(gè)右逆半群并且S是一個(gè)正則*-半群.證明假設(shè)S是逆半群據(jù)定理1.7,每一個(gè)R-類僅有一個(gè)冪等元并且每一個(gè)L-類僅有一個(gè)冪等元.再據(jù)定理1.2S是右逆半群.因?yàn)镾是逆半群,對(duì)于任意S中的元素a,逆元唯一.所以令*:a→a′再據(jù)定義1.3S是正則*-半群.反之,假設(shè)S是右逆半群并且S是一個(gè)正則*-半群.要證明S是逆半群,據(jù)定理1.7、定理1.2,只須證明每一個(gè)L-類僅有一個(gè)冪等元.設(shè)e、f∈E(S),eLf.那么ef=e,fe=f,再據(jù)定義1.1有efe=ef由于S是正則*-半群e*e*=(ee)*=e*所以是冪等