2024屆吉林省長春市第150中學高二數(shù)學第一學期期末考試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2024屆吉林省長春市第150中學高二數(shù)學第一學期期末考試試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知圓和橢圓.直線與圓交于、兩點,與橢圓交于、兩點.若時,的取值范圍是,則橢圓的離心率為()A. B.C. D.2.下列關系中,正確的是()A. B.C. D.3.數(shù)列中,,,則()A.32 B.62C.63 D.644.金剛石的成分為純碳,是自然界中天然存在的最堅硬物質,它的結構是由8個等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長為2,則它的體積為()A. B.C. D.5.若,則=()A.244 B.1C. D.6.如圖,已知四棱錐,底面ABCD是邊長為4的菱形,且,E為AD的中點,,則異面直線PC與BE所成角的余弦值為()A. B.C. D.7.已知直線過點,且與直線垂直,則直線的方程為()A. B.C. D.8.已知點到直線的距離為1,則m的值為()A.或 B.或15C.5或 D.5或159.在長方體中,,,分別是棱,的中點,則異面直線,的夾角為()A. B.C. D.10.已知數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,設,,則當時,n的最大值是()A.8 B.9C.10 D.1111.已知雙曲線的離心率為,左焦點為F,實軸右端點為A,虛軸上端點為B,則為()A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰三角形 D.銳角三角形12.如圖,在四面體中,,分別是,的中點,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若圓的一條直徑的端點是、,則此圓的方程是_______14.在等比數(shù)列中,已知,則________15.在正方體中,二面角的大小為__________(用反三角表示)16.數(shù)列的前項和為,則_________________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四邊形為矩形,,,為的中點,與交于點,平面.(1)若,求與所成角的余弦值;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知滿足,.(1)求證:是等差數(shù)列,求的通項公式;(2)若,的前項和是,求證:.19.(12分)如圖,在正方體中,是棱的中點.(1)試判斷直線與平面的位置關系,并說明理由;(2)求證:直線面.20.(12分)已知四棱錐的底面是矩形,底面,且,設E、F、G分別為PC、BC、CD的中點,H為EG的中點,如圖.(1)求證:平面;(2)求直線FH與平面所成角的大小.21.(12分)設函數(shù).(1)若在點處的切線為,求a,b的值;(2)求的單調區(qū)間.22.(10分)在平面直角坐標系中,已知橢圓過點,且離心率.(1)求橢圓的方程;(2)直線的斜率為,直線l與橢圓交于兩點,求的面積的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由題設,根據(jù)圓與橢圓的對稱性,假設在第一象限可得,結合已知有,進而求橢圓的離心率.【詳解】由題設,圓與橢圓的如下圖示:又時,的取值范圍是,結合圓與橢圓的對稱性,不妨假設在第一象限,∴從0逐漸增大至無窮大時,,故,∴故選:C.2、B【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質判斷A,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質判斷B,根據(jù)正弦函數(shù)的性質及誘導公式判斷C,根據(jù)余弦函數(shù)的性質及誘導公式判斷D;【詳解】解:對于A:因為,,,故A錯誤;對于B:因為在定義域上單調遞減,因為,所以,又,,因為在上單調遞增,所以,所以,所以,故B正確;對于C:因為在上單調遞減,因為,所以,又,所以,故C錯誤;對于D:因為在上單調遞減,又,所以,又,所以,故D錯誤;故選:B3、C【解析】把化成,故可得為等比數(shù)列,從而得到的值.【詳解】數(shù)列中,,故,因為,故,故,所以,所以為等比數(shù)列,公比為,首項為.所以即,故,故選C.【點睛】給定數(shù)列的遞推關系,我們常需要對其做變形構建新數(shù)列(新數(shù)列的通項容易求得),常見的遞推關系和變形方法如下:(1),取倒數(shù)變形為;(2),變形為,也可以變形為;4、C【解析】由幾何關系先求出一個正四面體的高,再結合錐體體積公式即可求解正八面體的體積.【詳解】如圖,設底面中心為,連接,由幾何關系知,,則正八面體體積為.故選:C5、D【解析】分別令代入已知關系式,再兩式求和即可求解.【詳解】根據(jù),令時,整理得:令x=2時,整理得:由①+②得,,所以.故選:D.6、B【解析】根據(jù)異面直線的定義找出角即為所求,再利用余弦定理解三角形即可得出.【詳解】分別取BC,PB的中點F,G,連接DF,F(xiàn)G,DG,如圖,因為E為AD的中點,四邊形ABCD是菱形,所以,所以(其補角)是異面直線PC與BE所成的角因為底面ABCD是邊長為4菱形,且,,由余弦定理可知,所以,所以,所以異面直線PC與BE所成角的余弦值為,故選:B7、A【解析】求出直線斜率,利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】直線的斜率為,則直線的斜率為,故直線的方程為,即.故選:A.8、D【解析】利用點到直線距離公式即可得出.【詳解】解:點到直線的距離為1,解得:m=15或5故選:D.9、C【解析】設出長度,建立空間直角坐標系,根據(jù)向量求異面直線所成角即可.【詳解】如下圖所示,以,,所在直線方向,,軸,建立空間直角坐標系,設,,,,,,所以,,設異面直線,的夾角為,所以,所以,即異面直線,的夾角為.故選:C.10、B【解析】先求出數(shù)列和的通項公式,然后利用分組求和求出,再對進行賦值即可求解.【詳解】解:因為數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列所以因為是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列所以由得:當時,即當時,當時,所以n的最大值是.故選:B.【點睛】關鍵點睛:本題的關鍵是利用分組求和求出,再通過賦值法即可求出使不等式成立的的最大值.11、A【解析】根據(jù)三邊的關系即可求出【詳解】因,所以,而,,,所以,即,所以為直角三角形故選:A12、A【解析】利用向量的加法法則直接求解.【詳解】在四面體中,,分別是,的中點,故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】先設圓上任意一點的坐標,然后利用直徑對應的圓周角為直角,再利用向量垂直建立方程即可【詳解】設圓上任意一點的坐標為可得:,則有:,即解得:故答案為:14、2【解析】由等比數(shù)列的相關性質進行求解.【詳解】由等比數(shù)列的相關性質得:故答案為:215、【解析】作出二面角的平面角,并計算出二面角的大小.【詳解】設,畫出圖像如下圖所示,由于,所以平面,所以,所以是二面角的平面角.所以.所以二面角的大小為.故答案為:16、【解析】利用計算可得出數(shù)列的通項公式.【詳解】當時,;而不適合上式,.故答案:.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)以為原點,、所在的直線為、軸,以過點垂直于面的直線為軸,建立空間直角坐標系,利用空間向量法可求得與所成角的余弦值;(2)計算出平面的法向量,利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】解:如圖,以為原點,、所在的直線為、軸,以過點垂直于面的直線為軸,建立空間直角坐標系,,,則,則,故,因為平面,平面,則,若,則,故、、、,則,,.因此,若,則與所成角的余弦值為.【小問2詳解】解:若,則、,,,,設平面的法向量為,則,取,可得,,所以直線與平面所成角的正弦值為.18、(1)證明見解析,(2)證明見解析【解析】(1)在等式兩邊同時除以,結合等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列為等差數(shù)列,確定該數(shù)列的首項和公差,可求得的表達式;(2)求得,利用裂項相消法求得,即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解:在等式兩邊同時除以可得且,所以,數(shù)列是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,則,因此,.【小問2詳解】證明:,所以,.故原不等式得證.19、(1)平面AEC,理由見解析(2)證明見解析【解析】(1)以線面平行的判定定理去證明直線與平面平行即可;(2)以線面垂直的判定定理去證明直線面即可.【小問1詳解】連接BD,設,連接OE.在中,O、E分別是BD、的中點,則.因為直線OE在平面AEC上,而直線不在平面AEC上,根據(jù)直線與平面平行的判定定理,得到直線平面AEC.【小問2詳解】正方體中,故,又,故同理故,又,故又根據(jù)直線與平面垂直的判定定理,得直線平面.20、(1)證明見解析(2)【解析】(1)連接CH,延長交PD于點K,連接BK,根據(jù)E、F、G分別為PC、BC、CD的中點,易得,再利用線面平行的判定定理證明.(2)建立空間直角坐標,求得的坐標,平面PBC一個法向量,代入公式求解.【詳解】(1)如圖所示:連接CH,延長交PD于點K,連接BK,因為設E、F、G分別為PC、BC、CD的中點,所以H為CK的中點,所以,又平面平面,所以平面;(2)建立如圖所示直角坐標系則,所以,設平面PBC一個法向量為:,則,有,令,,設直線FH與平面所成角為,所以,因為,所以.【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理,線面角的向量求法,還考查了轉化化歸的思想和邏輯推理,運算求解的能力,屬于中檔題.21、(1),;(2)答案見解析.【解析】(1)已知切線求方程參數(shù),第一步求導,切點在曲線,切點在切線,切點處的導數(shù)值為切線斜率.(2)第一步定義域,第二步求導,第三步令導數(shù)大于或小于0,求解析,即可得到答案.【小問1詳解】的定義域為,,因為在點處的切線為,所以,所以;所以把點代入得:.即a,b的值為:,.【小問2詳解】由(1)知:.①當時,在上恒成立,所以在單調遞減;②當時,令,解得:,列表得:x-0+單調遞減極小值單調遞增所以,時,的遞減區(qū)間為,單增區(qū)間為.綜上所述:當時,在單調遞減;當時,的遞減區(qū)間為,單增區(qū)間為.【點睛】導函數(shù)中得切線問題第一步求導,第二步列切點在曲線,切點在切線,切點處的導數(shù)值為切線斜率這三個方程,可解切線相關問題.22、(1);(2)2.【解析】(1)由離心率,得到,再由點在橢圓上,得到,聯(lián)立求得,即可求得橢圓的方程.(2)設的方程為,聯(lián)立方程組,根據(jù)根系數(shù)的關系和弦長公式,以及點到直線的距離公式,求得,結合基本不等式,即可求解.【詳解】(1)由題意,橢圓的離心率,即,可得,又橢圓過點,可得,將代

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