2024版新教材高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.2基本不等式習(xí)題課基本不等式導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

習(xí)題課基本不等式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)熟練掌握基本不等式及其變形的應(yīng)用．(2)能利用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式．題型1“拼湊法”求最值例1(1)已知x<54，求y＝4x－2＋1(2)已知0<x<12，求y＝12x(1－2x學(xué)霸筆記：通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：①拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)轉(zhuǎn)換；②代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；③拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a>1，則a＋9a-1的最小值為A．5B．6C．7D．10(2)若0<x<10，則x10-x題型2巧用“1”的代換求最值例2已知x>0，y>0，且1x+9y＝1，求一題多變把本例中的“1x+9y＝1”改為“2xy＝x＋4y”，求題后師說(shuō)“1”的代換法求最值的步驟跟蹤訓(xùn)練2已知m>0，n>0，且2m＋n＝1，求m+1mn題型3利用基本不等式證明不等式例3已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求證：(1a－1)(1b－1)(1c－學(xué)霸筆記：利用基本不等式證明不等式的注意事項(xiàng)(1)多次使用基本不等式時(shí)，要注意等號(hào)能否成立．(2)巧用“1”的代換證明不等式．(3)對(duì)不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．跟蹤訓(xùn)練3已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.證明：1a+b+隨堂練習(xí)1.已知x>－2，則x＋4x+2的最小值為(A．2B．3C．4D．52．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+1y＝1，則x＋2yA．2B．4C．8D．163．若正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則9a+1bA．16B．13C．20D．154．已知0<x<2，則x(2－x)的最大值為_(kāi)_______．課堂小結(jié)1.“拼湊法”求最值．2．“1”的代換法求最值．3．利用基本不等式證明不等式．習(xí)題課基本不等式例1解析：(1)∵x<54，∴5－4x>0∴y＝4x－2＋14x-5＝－(5－4x＋15-4x)＋3≤－當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝15-4x，即x故當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝1.(2)∵0<x<12，∴1－2x>0∴y＝14×2x(1－2x)≤14×(2x+1＝14×1∴當(dāng)且僅當(dāng)2x＝1－2x(0<x<12)即x＝14時(shí)，ymax＝1跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)a>1時(shí)，a－1>0，a＋9a-1＝(a－1)＋9a-1＋1≥2a-1×9a-1＋1＝7(當(dāng)且僅當(dāng)(2)因?yàn)?<x<10，所以10－x>0，所以x10-x≤x+10-x2＝5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝10－x答案：(1)C(2)5例2解析：∵1x+9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)(1x+9y)＝10＋yx+9xy，∵x∴x＋y≥10＋2yx·9xy＝16(當(dāng)且僅當(dāng)yx＝9xy，即x＝4，∴x＋y的最小值為16.一題多變解析：因?yàn)閤>0，y>0，由已知條件可得4y+xxy＝4x+所以x＋y＝12(x＋y)(4x+1y)＝12(5＋4yx+xy)當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝3時(shí)，等號(hào)成立，故x＋y的最小值為92跟蹤訓(xùn)練2解析：∵m>0，n>0，2m＋n＝1，∴m+1mn＝m+2m+nmn＝3m+nmn∴m+1mn＝3n+1m＝(3n+1m)·(2m＋n)＝6mn＋3＋2＋nm當(dāng)且僅當(dāng)6mn＝nm時(shí)，即n2＝6m而又2m＋n＝1，所以m=1此時(shí)不等式可取等號(hào)．所以m+1mn的最小值為5＋26例3證明：因?yàn)閍，b，c均為正實(shí)數(shù)，a＋b＋c＝1，所以1a－1＝1-a同理1b－1≥2acb，1上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥2bca·2當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝13跟蹤訓(xùn)練3證明：1a+b+1c＝(a＋b＋＝2＋c≥2＋2ca+b·a+b當(dāng)且僅當(dāng)a＋b＝c＝12時(shí)取等號(hào)，所以1a+b[隨堂練習(xí)]1．解析：因?yàn)閤>－2，所以x＋2>0，所以x＋4x+2＝x＋2＋4x+2－2≥2x+2·4x+2當(dāng)且僅當(dāng)x＋2＝4x+2，即x＝0所以x＋4x+2的最小值為2.故選答案：A2．解析：由題意，兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+1y＝1，則x＋2y＝(x＋2y)(2x+1y)＝4＋4yx+xy≥4＋24yx·xy答案：C3．解析：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a＋b＝1，則9a+1b＝(9a+1b