新教材2023-2024學年高中數(shù)學第6章計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第2課時兩個計數(shù)原理的應用課件新人教A版選擇性必修第三冊

第六章6.1第2課時兩個計數(shù)原理的應用基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.進一步理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別.2.會綜合應用這兩個計數(shù)原理解決問題.基礎落實·必備知識全過關知識點

兩個計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法.2.區(qū)別:類型分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類方案,關鍵詞是“分類”完成一件事共有n個步驟,關鍵詞是“分步”區(qū)別二每類方案中的每種方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的,每種方法得到的都是最后結果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類方案之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關聯(lián)的、獨立的,“關聯(lián)”確保不遺漏,“獨立”確保不重復名師點睛處理具體問題時,一是合理分類,準確分步:分類時,要不重不漏;分步時,要合理設計步驟、順序,使各步互不干擾.對于一些較復雜的題目,往往既要分類又要分步.二是特殊優(yōu)先,一般在后:解含有特殊元素、特殊位置的計數(shù)問題時,應優(yōu)先安排特殊元素,優(yōu)先確定特殊位置,再考慮其他元素與其他位置.過關自診1.復雜事件在分類時,如何理解“不重不漏”?提示

分類時,首先要根據(jù)問題的特點確定一個分類標準,然后在這個標準下進行分類.一般地,標準不同,分類的結果也不同;其次,分類時要注意滿足一個基本要求:完成這件事的任何一種方法必須屬于且只能屬于某一類方案.簡單地說,就是應用分類加法計數(shù)原理時要做到“不重不漏”.2.有A,B兩種類型的車床各一臺,現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都會操作兩種車床,丙只會操作A種車床,要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車床,則不同的選派方法有(

)

A.6種

B.5種

C.4種

D.3種C解析

不同的選派情況可分為3類:第1類,若選甲、乙,有2種方法;第2類,若選甲、丙,有1種方法;第3類,若選乙、丙,有1種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,不同的選派方法有2+1+1=4種.3.某班有3名學生準備參加校運會的100米、200米、跳高、跳遠四項比賽,如果每班每項限報1人,則這3名學生的參賽的不同方法有(

)A.24種 B.48種 C.64種 D.81種A解析

由于每班每項限報1人,故當前面的學生報了某項之后,后面的學生不能再報,由分步乘法計數(shù)原理,共有4×3×2=24種不同的參賽方法.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一組數(shù)問題【例1】

用0,1,2,3,4五個數(shù)字,(1)可以組成多少個三位數(shù)字的電話號碼?(2)可以組成多少個三位數(shù)?(3)可以組成多少個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)?解

(1)三位數(shù)字的電話號碼,按從左到右的順序,第1位上的數(shù)字可以是0,數(shù)字也可以重復,每個位置上的數(shù)字都有5種取法,由分步乘法計數(shù)原理,可以組成5×5×5=53=125個三位數(shù)字的電話號碼.(2)三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能為0,但可以有重復數(shù)字,首先考慮百位上的數(shù)字的取法,除0外共有4種取法,個、十位上的數(shù)字可以取0,由分步乘法計數(shù)原理,可以組成4×5×5=100個三位數(shù).(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù),個位數(shù)字可取0,2,4,因此,可以分兩類,一類是個位數(shù)字是0,可以組成4×3=12個三位數(shù);另一類是個位數(shù)字不是0,則個位上的數(shù)字有2種取法,即2或4,再考慮百位上的數(shù)字,因為0不能是百位上的數(shù)字,所以有3種取法,十位有3種取法,因此有2×3×3=18個三位數(shù).由分類加法計數(shù)原理,可以組成的能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為12+18=30.變式探究

由本例中的五個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字的四位奇數(shù)?解

完成“組成無重復數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事,可以分四步:第1步定個位,只能從1,3中任取一個,有2種方法;第2步定千位,把1,2,3,4中除去個位中使用的一個數(shù),在剩下的3個數(shù)中任取一個,有3種方法;第3步,把剩下的包括0在內(nèi)的3個數(shù)字排百位,有3種方法;第4步,排十位,有2種方法.由分步乘法計數(shù)原理知共能組成2×3×3×2=36個無重復數(shù)字的四位奇數(shù).規(guī)律方法

對于組數(shù)問題應掌握的原則(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字,是我們采用“分類”還是“分步”的關鍵.一般按特殊位置(或特殊元素)分類,分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成;如果正面分類較多,可采用間接法求解.(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位.變式訓練1我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如1230,2022),則首位為3的“六合數(shù)”共有(

)A.18個

B.12個 C.10個

D.7個C解析

首位為3的“六合數(shù)”的其他位的3個數(shù)字為0,1,2,則這樣的首位為3的“六合數(shù)”共有3×2×1=6個;首位為3的“六合數(shù)”的其他位的3個數(shù)字為1,1,1,則這樣的首位為3的“六合數(shù)”共有1個;首位為3的“六合數(shù)”的其他位的3個數(shù)字為0,0,3,則這樣的首位為3的“六合數(shù)”共有3個.由分類加法計數(shù)原理,首位為3的“六合數(shù)”共有6+1+3=10個,故選C.探究點二抽取(分配)問題【例2】

高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐,其中甲工廠必須有班級去,每班去哪個工廠可自由選擇,則不同的分配方案有(

)A.16種

B.18種 C.37種

D.48種C解析

(方法一

直接法)以甲工廠分配班級情況進行分類,共分為三類.第1類,三個班級都去甲工廠,此時分配方案只有1種;第2類,有兩個班級去甲工廠,剩下的班級去另外三個工廠中的一個,其分配方案有3×3=9種;第3類,有一個班級去甲工廠,另外兩個班級可以在其他三個工廠中選擇,其分配方案有3×3×3=27種.綜上所述,不同的分配方案共有1+9+27=37種.(方法二

間接法)三個班自由選擇去哪個工廠的分配方案共4×4×4=64種;甲工廠無人去的分配方案共3×3×3=27種.故有64-27=37種不同的分配方案.規(guī)律方法

抽取(分配)問題的常見類型及其解法(1)當涉及對象數(shù)目不大時,一般選用枚舉法、樹狀圖法等.(2)當涉及對象數(shù)目很大時,一般有兩種方法:①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.一般地,若抽取是有順序的就按分步進行;若按對象特征抽取的,則按分類進行.②間接法:去掉限制條件計算所有的抽取方法數(shù),然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.變式訓練27名學生中有3名學生會下象棋但不會下圍棋,有2名學生會下圍棋但不會下象棋,另2名學生既會下象棋又會下圍棋.現(xiàn)從中選出會下象棋和會下圍棋的學生各1人參加比賽,共有多少種不同的選法?解

分4類完成:第1類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理,不同的選法種數(shù)為N1=3×2=6.第2類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理,不同的選法種數(shù)為N2=3×2=6.第3類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理,不同的選法種數(shù)為N3=2×2=4.第4類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽,另一名參加圍棋比賽,不同的選法種數(shù)為N4=2.綜上,由分類加法計數(shù)原理可知,不同選法共有N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2=18種.探究點三涂色問題【例3】

將紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個小方格內(nèi),每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色,如果顏色可以反復使用,共有多少種不同的涂色方法?解

第1個小方格可以從五種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法.①當?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時,有4×3=12種不同的涂法,第4個小方格有3種不同的涂法,由分步乘法計數(shù)原理可知有5×12×3=180種不同的涂法.②當?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時,有4種涂法,由于相鄰兩格不同色,因此,第4個小方格也有4種不同的涂法,由分步乘法計數(shù)原理可知有5×4×4=80種不同的涂法.由分類加法計數(shù)原理可得共有180+80=260種不同的涂法.變式探究

本例中的區(qū)域改為如圖所示,其他條件均不變,則不同的涂法共有多少種?解

依題意,可分兩類:①④不同色,①④同色.

第1類,①④不同色,則①②③④所涂的顏色各不相同,可將這件事情分成四步來完成.第1步涂①,從5種顏色中任選一種,有5種涂法;第2步涂②,從余下的4種顏色中任選一種,有4種涂法;第3步涂③與第4步涂④時,分別有3種涂法和2種涂法.由分步乘法計數(shù)原理得,不同的涂法為5×4×3×2=120種.第2類,①④同色,則①②③不同色,我們可將涂色工作分成三步來完成.第1步涂①④,有5種涂法;第2步涂②,有4種涂法;第3步涂③,有3種涂法.于是由分步乘法計數(shù)原理得,不同的涂法有5×4×3=60種.由分類加法計數(shù)原理,所求的涂色方法共有120+60=180種.規(guī)律方法

解決涂色(種植)問題的一般思路涂色問題一般是綜合利用兩個計數(shù)原理求解,有幾種常用方法:(1)按區(qū)域的不同,以區(qū)域為主分步計數(shù),用分步乘法計數(shù)原理分析.(2)以顏色為主分類討論,適用于“區(qū)域、點、線段”等問題,用分類加法計數(shù)原理分析.(3)若是空間問題,將空間問題平面化,轉化為平面區(qū)域的涂色問題.種植問題按種植的順序分步進行,用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)或按種植品種恰當選取情況分類,用分類加法計數(shù)原理計數(shù).變式訓練3[2023江蘇南通期中]如圖,一個地區(qū)分為5個區(qū)域,現(xiàn)給5個區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色.現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的涂色方法共有

種.

72解析

第1步,先給①②③號區(qū)域涂色,分別有4種、3種和2種涂色方法.第2步,給④號和⑤號區(qū)域涂色,當④號與②號同色時,④號有1種涂色方法,⑤號有2種涂色方法;當④號與②號不同色時,④號有1種涂色方法,⑤號有1種涂色方法.則④號和⑤號共有1×2+1×1=3種涂色方法.由分步乘法計數(shù)原理,共有4×3×2×3=72種涂色方法.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系;(2)兩個計數(shù)原理的應用.2.方法歸納:分類討論、間接法.3.常見誤區(qū):分類標準不明確,出現(xiàn)重復或遺漏問題.成果驗收·課堂達標檢測12341.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中,任取兩個不同的數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為(

)A.30 B.20 C.10 D.6D解析

從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中,任取兩個不同的數(shù)字相加,和為偶數(shù)可分為兩類.第1類,取出的兩數(shù)都是偶數(shù),共有3種取法;第2類,取出的兩數(shù)都是奇數(shù),共有3種取法.由分類加法計數(shù)原理得,共有N=3+3=6種取法.12342.某?？萍紭枪灿?層,每層均有兩個樓梯,由一樓到五樓的走法有(

)A.10種

B.16種

C.25種

D.32種B解析

走法共分四步.第1步,一層到二層2種走法;第2步