新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布培優(yōu)課-離散型隨機(jī)變量的均值與方差的綜合應(yīng)用分層作業(yè)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第七章培優(yōu)課——離散型隨機(jī)變量的均值與方差的綜合應(yīng)用A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0<p1<p2<12,則(A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)2.[探究點(diǎn)三]甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)車床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)的零件,X表示甲車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù),Y表示乙車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù),經(jīng)過一段時(shí)間的考察,X,Y的分布列分別為X0123P0.70.10.10.1Y012P0.50.30.2據(jù)此判定()A.甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量比乙生產(chǎn)的零件質(zhì)量好B.乙生產(chǎn)的零件質(zhì)量比甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量好C.甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量與乙生產(chǎn)的零件質(zhì)量一樣D.無法判定3.[探究點(diǎn)二]已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=13,k=3,6,9,則D(X)等于(A.6 B.9 C.3 D.44.[探究點(diǎn)二]學(xué)校要從10名候選人中選2名同學(xué)組成學(xué)生會(huì),其中某班有4名候選人,假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到,若X表示選到該班的候選人的人數(shù),則E(X)=()A.34 B.89 C.35.[探究點(diǎn)二]小芳用肢體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué).若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對(duì)成語的概率是0.4,同學(xué)乙猜對(duì)成語的概率是0.5,且規(guī)定猜對(duì)得1分,猜不對(duì)得0分,則這兩個(gè)同學(xué)各猜1次,得分之和X(單位:分)的均值為()A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.16.[探究點(diǎn)一]同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,至少有一個(gè)3點(diǎn)或6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),就說這次試驗(yàn)成功,則在9次試驗(yàn)中,成功次數(shù)X的均值是.

7.[探究點(diǎn)二]若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0<p<1),用隨機(jī)變量X表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),則方差D(X)的最大值為.

8.[探究點(diǎn)二]為防止風(fēng)沙危害,某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶,種植楊樹、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳,各株沙柳的成活與否是相互獨(dú)立的,成活率為p,設(shè)X為成活沙柳的株數(shù),均值E(X)為3,標(biāo)準(zhǔn)差D((1)求n和p的值,并寫出X的分布列;(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,則需要補(bǔ)種,求需要補(bǔ)種沙柳的概率.B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn),一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4,0.5,0.6,且此人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響,設(shè)X表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值,則E(X)等于()A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.110.隨機(jī)變量X的分布列如下.X123P1xy若E(X)=158,則D(X)等于(A.732 B.C.3364 D.11.若隨機(jī)變量X滿足P{X=m}=m1+2+…+N(m=1,2,…,N),N為正整數(shù),則當(dāng)N>100時(shí),EA.0 B.1C.2312.已知離散型隨機(jī)變量ξ的可能值為-1,0,1,且E(ξ)=0.1,D(ξ)=0.89,則對(duì)應(yīng)的概率p1,p2,p3分別為、、.

13.一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c(a,b,c∈(0,1)),已知他投籃一次得分的均值為1(不計(jì)其他得分情況),則ab的最大值為.

14.某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn),一株該種作物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示.X1234Y51484542這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米.(1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物,求它們恰好“相近”的概率;(2)從所種作物中隨機(jī)選取一株,求它的年收獲量的分布列與均值.15.[2023廣東東莞月考]某購物網(wǎng)站組織了一次促銷活動(dòng),在網(wǎng)頁的界面上打出廣告:高級(jí)口香糖,10元錢三瓶,有8種口味供您選擇(其中有1種為草莓口味).小王點(diǎn)擊進(jìn)入網(wǎng)頁一看,只見有很多包裝完全相同的瓶裝口香糖排在一起,看不見具體口味,由購買者隨機(jī)點(diǎn)擊進(jìn)行選擇(各種口味的高級(jí)口香糖均超過三瓶,且各種口味的瓶數(shù)相同,每點(diǎn)擊選擇一瓶后,網(wǎng)頁自動(dòng)補(bǔ)充相應(yīng)的口香糖).(1)小王花10元錢買三瓶,請(qǐng)問小王收到貨的組合方式共有多少種?(2)小王花10元錢買三瓶,由小王隨機(jī)點(diǎn)擊三瓶,請(qǐng)列出有小王喜歡的草莓味口香糖的瓶數(shù)ξ的分布列,并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望和方差.C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率;(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列,均值E(X)及方差D(X).參考答案培優(yōu)課——離散型隨機(jī)變量的均值與方差的綜合應(yīng)用1.A由題意可知ξi(i=1,2)服從兩點(diǎn)分布,∴E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2,D(ξ1)=p1(1-p1),D(ξ2)=p2(1-p2),又0<p1<p2<12∴E(ξ1)<E(ξ2),把方差看作函數(shù)y=x(1-x),函數(shù)在區(qū)間0,12內(nèi)單調(diào)遞增,故由題意可知,D(ξ1)<D(ξ2).故選A.2.AE(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,E(Y)=0×0.5+1×0.3+2×0.2=0.7.顯然E(X)<E(Y),由均值的意義知,甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量比乙生產(chǎn)的零件質(zhì)量好.3.AE(X)=3×13+6×13+9×13D(X)=(3-6)2×13+(6-6)2×13+(9-6)2×134.DX的可能取值有0,1,2,且P(X=0)=C62C102=13,P(X=1)=CX的分布列如下:X012P182E(X)=0×13+1×815+2×5.A由題意得X=0,1,2,則P(X=0)=0.6×0.5=0.3,P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2,故E(X)=1×0.5+2×0.2=0.9.6.5由已知,同時(shí)拋擲兩枚骰子一次,至少有一個(gè)3點(diǎn)或6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)的概率為2036=59,9次試驗(yàn)相當(dāng)于9次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),則成功次數(shù)X服從二項(xiàng)分布,故E(X)=9×59=57.14隨機(jī)變量X的所有可能的取值是0,1,并且P(X=1)=p,P(X=0)=1從而E(X)=0×(1-p)+1×p=p.D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2·p=p-p2=-p因?yàn)?<p<1,所以當(dāng)p=12時(shí),D(X)取最大值,最大值是18.解由題意知,X~B(n,p),P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,…(1)由E(X)=np=3,D(X)=np(1-p)=32,得n=6,p=1X的分布列為X0123456P131551531(2)記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件A,則P(A)=P(X≤3)=164所以需要補(bǔ)種沙柳的概率為21329.A分別記“該客人游覽甲景點(diǎn)”“該客人游覽乙景點(diǎn)”“該客人游覽丙景點(diǎn)”為事件A1,A2,A3,∵客人游覽景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0,1,2,3,∴X的可能取值為1,3.P(X=3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)=2×0.4×0.5×0.6=0.24,P(X=1)=1-因此X的分布列為X13P0.760.24E(X)=1×0.76+3×0.24=1.48.10.D由1×12+2x+3y=158,12+x+y=1,得x=18,y=38,所以D(11.C由題意可知,E(X)=∑m=1NmP{X=m}顯然,當(dāng)N>100時(shí),E(X)12.0.40.10.5ξ的分布列為ξ-101Pp1p2p3E(ξ)=-p1+p3=0.1,D(ξ)=(-1-0.1)2p1+(0-0.1)2p2+(1-0.1)2p3=0.89.即1.21p1+0.01p2+0.81p3=0.89,即121p1+p2+81p3=89.又p1+p2+p3=1,∴-p113.124由已知可得3a+2b+0×c=1,即3a+2b=故ab=16·3a·2b≤1當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b=12時(shí),等號(hào)成立,即ab的最大值為114.解(1)所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3,邊界上的作物株數(shù)為12.從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有C31C121=36種,選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3+3+2=8種.故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物,它們恰好“(2)先求從所種作物中隨機(jī)選取一株作物的年收獲量Y的分布列.因?yàn)镻(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4),所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k=1,2,3,4),則n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.由P(X=k)=nkN得P(X=1)=P(X=2)=415,P(X=3)=6P(X=4)=315故所求的分布列為Y51484542P2421E(Y)=51×215+48×415+45×25+42×115.解(1)若三瓶口味均不一樣,有C83=56(種)若其中兩瓶口味一樣,有C81C71=若三瓶口味一樣,有8種組合方式.故小王收到貨的組合方式共有56+56+8=120(種).(2)ξ所有可能的取值為0,1,2,3.因?yàn)楦鞣N口味的高級(jí)口香糖均超過3瓶,且各種口味的瓶數(shù)相同,有8種不同口味,所以小王隨機(jī)點(diǎn)擊一次是草莓味口香糖的概率為18,即隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布,即ξ~B3,18.所以P(ξ=0)=C30×180×1-183=343512P(ξ=1)=C31×181×1-182=147512P(ξ=2)=C32×182×1-181=21512P(ξ=3)=C33×183×1-180=1512所以ξ的分布列為ξ0123P343147211數(shù)學(xué)期望E(ξ)=3×18=38,方差D(ξ)16.解(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”,A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”,B表示事件“在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)”.則P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.0