2024屆湖南省岳陽(yáng)市達(dá)標(biāo)名校高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆湖南省岳陽(yáng)市達(dá)標(biāo)名校高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒?dòng)標(biāo)識(shí)（如圖1）.其中“100”的兩個(gè)“0”設(shè)計(jì)為兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切（如圖2）.已知，則由其中一個(gè)圓心向另一個(gè)小圓引的切線長(zhǎng)與兩大圓的公共弦長(zhǎng)之比為（）A. B.3C. D.2．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知直線：和直線：，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線和直線的距離之和的最小值是（）A. B.C. D.4．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值是（）A. B.C. D.45．點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，P不在直線AF上，則△PAF的周長(zhǎng)的最小值是（）A.4 B.6C. D.6．已知三棱錐O-ABC，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且，用表示，則等于（）A. B.C. D.7．過(guò)原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A B.C. D.8．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫(huà)空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個(gè)結(jié)論：①正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為；②任意四棱錐總曲率均為；③若某類(lèi)多面體的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)滿足，則該類(lèi)多面體的總曲率是常數(shù).其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③9．已知命題是真命題，那么的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知圓與圓，則兩圓的位置關(guān)系是（）A.外切 B.內(nèi)切C.相交 D.相離11．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則角為A. B.C. D.12．總體有編號(hào)為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取3個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第3個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B.02C.63 D.14二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且，則圓的方程為_(kāi)________14．在梯形中，，，.將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為_(kāi)_____.15．已知點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線l與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)．若，則______16．過(guò)點(diǎn)與直線平行的直線的方程是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，離心率為.（1）求雙曲線C的漸近線方程；（2）過(guò)作斜率為k的直線l分別交雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，若，求k的值.18．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.19．（12分）在對(duì)某老舊小區(qū)污水分流改造時(shí)，需要給該小區(qū)重新建造一座底面為矩形且容積為324立方米的三級(jí)污水處理池（平面圖如圖所示）.已知池的深度為2米，如果池四周?chē)鷫Φ慕ㄔ靻蝺r(jià)為400元/平方米，中間兩道隔墻的建造單價(jià)為248元/平方米，池底的建造單價(jià)為80元/平方米，池蓋的建造單價(jià)為100元/平方米，建造此污水處理池相關(guān)人員的勞務(wù)費(fèi)以及其他費(fèi)用是9000元.（水池所有墻的厚度以及池底池蓋的厚度按相關(guān)規(guī)定執(zhí)行，計(jì)算時(shí)忽略不計(jì)）（1）現(xiàn)有財(cái)政撥款9萬(wàn)元，如果將污水處理池的寬建成9米，那么9萬(wàn)元的撥款是否夠用？（2）能否通過(guò)合理的設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總費(fèi)用最低？最低費(fèi)用為多少萬(wàn)元？20．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的最大項(xiàng)21．（12分）已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線被C截得的線段長(zhǎng)為3（1）求C的方程；（2）若直線：與C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點(diǎn)，且，求m的值22．（10分）某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過(guò)短期培訓(xùn)（稱(chēng)為A類(lèi)工人），另外750名工人參加過(guò)長(zhǎng)期培訓(xùn)（稱(chēng)為B類(lèi)工人）.現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類(lèi)，B類(lèi)分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）（1）A類(lèi)工人中和B類(lèi)工人各抽查多少工人？（2）從A類(lèi)工人中抽查結(jié)果和從B類(lèi)工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2：表1：生產(chǎn)能力分組人數(shù)48x53表2：生產(chǎn)能力分組人數(shù)6y3618①先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖.就生產(chǎn)能力而言，A類(lèi)工人中個(gè)體間的差異程度與B類(lèi)工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更?。浚ú挥糜?jì)算，可通過(guò)觀察直方圖直接回答結(jié)論）②分別估計(jì)A類(lèi)工人和B類(lèi)工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人和生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）圖1A類(lèi)工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖圖2B類(lèi)工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】作出圖形，進(jìn)而根據(jù)勾股定理并結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求得答案.【詳解】如示意圖，由題意，，則，又，，所以，所以.故選：C.2、D【解析】將本題轉(zhuǎn)化為直線與半圓的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，求出的取值范圍【詳解】將曲線的方程化簡(jiǎn)為即表示以為圓心，以2為半徑的一個(gè)半圓，如圖所示：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)最大，即，當(dāng)直線與下半圓相切時(shí)最小，由圓心到直線距離等于半徑2，可得：解得（舍去），或結(jié)合圖象可得故選：D.3、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，可得點(diǎn)P到直線和直線的距離之和，當(dāng)B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解【詳解】∵拋物線，∴拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離PA等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離PF，即，∴點(diǎn)P到直線和直線的距離之和，∴當(dāng)B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∵，∴，∴點(diǎn)P到直線和直線的距離之和的最小值為故選：A4、B【解析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知成等比數(shù)列，從而可得，即可求出的結(jié)果.【詳解】解：已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，由等比數(shù)列的性質(zhì)得：成等比數(shù)列，且公比不為-1即成等比數(shù)列，，，.故選：B.5、C【解析】由拋物線的定義轉(zhuǎn)化后求距離最值【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線于點(diǎn)，故△PAF的周長(zhǎng)為，，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)周長(zhǎng)最小，為故選：C6、D【解析】根據(jù)空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】.故選：D7、A【解析】直線AC、BD與坐標(biāo)軸重合時(shí)求出四邊形面積，與坐標(biāo)軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為橢圓頂點(diǎn)時(shí)，而，四邊形ABCD的面積，當(dāng)直線AC斜率存在且不0時(shí)，設(shè)其方程為，由消去y得：，設(shè)，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A8、D【解析】根據(jù)曲率的定義依次判斷即可.【詳解】①根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故①正確；②由定義可得多面體的總曲率頂點(diǎn)數(shù)各面內(nèi)角和，因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，分別為4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；③設(shè)每個(gè)面記為邊形，則所有的面角和為，根據(jù)定義可得該類(lèi)多面體的總曲率為常數(shù)，故③正確.故選：D.9、C【解析】依據(jù)題意列出關(guān)于的不等式，即可求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，僅當(dāng)時(shí)成立，不符合題意；當(dāng)時(shí)，若成立，則，解之得綜上，取值范圍是故選：C10、A【解析】求得兩圓的圓心和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑之和半徑之差的關(guān)系，即可判斷位置關(guān)系.【詳解】對(duì)圓，其圓心，半徑；對(duì)圓，其圓心，半徑；又，故兩圓外切.故選：A.11、A【解析】因?yàn)?，那么結(jié)合，所以cosA==，所以A=，故答案為A考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題.12、D【解析】由隨機(jī)數(shù)表法抽樣原理即可求出答案.【詳解】根據(jù)題意，依次讀出的數(shù)據(jù)為65（舍去）,72（舍去）,08,02,63（舍去）,14，即第三個(gè)個(gè)體編號(hào)為14.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用對(duì)稱(chēng)條件求出圓心C的坐標(biāo)，借助直線被圓所截弦長(zhǎng)求出圓半徑即可寫(xiě)出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的圓心，依題意，，解得，即圓心，點(diǎn)C到直線的距離，因圓截直線所得弦AB長(zhǎng)為6，于是得圓C的半徑所以圓的方程為：.故答案為：14、##【解析】畫(huà)出幾何體的直觀圖，利用已知條件，求解幾何體的體積即可【詳解】梯形ABCD：由題意可知空間幾何體的直觀圖如圖：旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為1，高為2的圓柱，挖去一個(gè)相同底面高為1的圓錐，幾何體的體積為：故答案為：15、7【解析】先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)雙曲線的定義可求解.【詳解】由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，可知，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，由，可知點(diǎn)在雙曲線的左支，如下圖所示：由雙曲線定義有，又，所以.故答案為：16、【解析】根據(jù)給定條件設(shè)出所求直線方程，利用待定系數(shù)法求解即得.【詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為，而點(diǎn)在直線上，于是得，解得，所以所求的直線的方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由離心率可得雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)，則的中點(diǎn)為，由，可得，然后的方程與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，又，所以，得，所以雙曲線的漸近線方程為.【小問(wèn)2詳解】由已知直線的傾斜角不是直角，，設(shè)，則的中點(diǎn)為，，由，可知，所以，即，因?yàn)榈姆匠虨椋p曲線的漸近線方程可寫(xiě)為，由消去y，得，所以，，所以，因?yàn)?，所以，?18、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見(jiàn)解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準(zhǔn)線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯(lián)立，通過(guò)韋達(dá)定理求解直線的斜率關(guān)系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設(shè)，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號(hào)，所以.所以直線與直線的斜率之積為，即.考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程19、（1）不夠；（2）將污水處理池建成長(zhǎng)為16.2米，寬為10米時(shí)，建造總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為90000元.【解析】（1）根據(jù)題意結(jié)合單價(jià)直接計(jì)算即可得出；（2）設(shè)污水處理池的寬為米，表示出總費(fèi)用，利用基本不等式可求.【小問(wèn)1詳解】如果將污水處理池的寬建成9米，則長(zhǎng)為（米），建造總費(fèi)用為：（元）因?yàn)?，所以如果污水處理池的寬建?米，那么9萬(wàn)元的撥款是不夠用的.【小問(wèn)2詳解】設(shè)污水處理池的寬為米，建造總費(fèi)用為元，則污水處理池的長(zhǎng)為米.則因?yàn)?，等?hào)僅當(dāng)，即時(shí)成立，所以時(shí)建造總費(fèi)用取最小值90000，所以將污水處理池建成長(zhǎng)為16.2米，寬為10米時(shí)，建造總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為90000元.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以有，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，當(dāng)時(shí)，有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為：.21、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)可得且，求出，即可得橢圓方程.（2）聯(lián)立直線l和橢圓C并整理為關(guān)于x的一元二次方程，由求出m的范圍，再應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求，進(jìn)而可得線段AB的中垂線，同理聯(lián)立曲線C求相交弦長(zhǎng)，再由已知條件求m值，注意其范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，則，令，可得，由題設(shè)有，則，所以C的方程為【小問(wèn)2詳解】聯(lián)立方程得：，由，得設(shè)，，則，，所以，另一方面，，即線段AB的中點(diǎn)為，所以線段AB的中垂線方程為令，聯(lián)立方程得：同理求法，可得：，即因此，解得，故22、（1）25,75（2）①5,15，直方圖見(jiàn)解析，B類(lèi)②123，133.8，131.1【解析】（1）先計(jì)算抽樣比為，進(jìn)而可得各層抽取人數(shù)（2）①類(lèi)、類(lèi)工人人數(shù)之比為，按此比例確定兩類(lèi)工人需抽取的人