甘肅省平涼市第四中學2023-2024學年八年級上學期第一次月考數學試題(含解析)

2023-2024學年甘肅省平涼四中八年級第一學期第一次月考數學試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．如圖，△ABC中，∠C＝70°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2＝（）A．360° B．250° C．180° D．140°2．下列每組數分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm3．等腰三角形的一個內角是50°，則另外兩個角的度數分別是（）A．65°，65° B．50°，80° C．65°，65°或50°，80° D．50°，50°4．裝修工人在搬運中發(fā)現有一塊三角形的陶瓷片不慎摔成了四塊（如圖），他要拿哪一塊回公司才能更換到相匹配的陶瓷片（）A．① B．② C．③ D．④5．從一個多邊形的頂點出發(fā)，可作9條對角線，則該多邊形是（）A．十邊形 B．十一邊形 C．十二邊形 D．十三邊形6．在下列各圖形中，分別畫出了△ABC中BC邊上的高AD，其中正確的是（）A． B． C． D．7．如果一個多邊形的內角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數是（）A．6 B．7 C．8 D．98．下列敘述正確的是（）A．鈍角三角形的內角和大于銳角三角形的內角和 B．三角形兩個內角的和一定大于第三個內角 C．三角形中至少有兩個銳角 D．三角形中至少有一個鈍角9．如圖，△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，以下結論：（1）△ABD≌△ACD；（2）AD⊥BC；（3）∠B＝∠C；（4）AD是△ABC的角平分線．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，在△ABC和△DEF中，點B，F，C，D在同一條直線上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．EF＝BC B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．∠B＝∠E二、填空題（每小題4分，共32分）11．如圖，已知AD＝BC，要證明△ABC≌△BAD．根據“SAS”，還需要一個條件．12．如果三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長是偶數，則第三邊長可以是．13．一個三角形的三邊為2、5、x，另一個三角形的三邊為y、2、6，若這兩個三角形全等，則x+y＝．14．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4的值為．15．如圖：將紙片△ABC沿DE折疊，點A落在點F處，已知∠1+∠2＝100°，則∠A＝度．16．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分線，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，則點D到AB的距離為．17．如圖，在△ABC中，已知點E、F分別是AD、CE邊上的中點，且S△BEF＝1.5cm2，則S△ABC的值為．18．如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第98個圖形需要黑色棋子的個數是．三、解答題（本大題5道題，共38分）19．如圖，已知∠AOB和線段MN，請用尺規(guī)作圖法在線段MN上找一點P，使得點P到OA、OB的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）20．如圖，直線AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC＝95°，∠B＝55°，求∠A和∠C．21．已知：如圖，AD、BC相交于點O，OA＝OD，AB∥CD．求證：AB＝CD．22．一個多邊形的內角和與外角和的差為1260°，求它的邊數．23．如圖，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB．求證：∠F＝∠C．四、解答題（本大題5道題，共50分）24．如圖，已知在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，若∠A＝70°，求∠BOC的度數．25．一個三角形的兩條邊相等，周長為18cm，三角形一邊長4cm，求其它兩邊長？26．如圖，點M，N分別是正五邊形ABCDE的邊BC，CD上的點，且BM＝CN，AM交BN于點P．（1）求證：△ABM≌△BCN．（2）求∠APN的度數．27．如圖所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于點D，若BF＝CE．求證：（1）AD平分∠BAC；（2）AE＝AF．28．如圖：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C在△ABC外作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．（1）求證：MN＝AM+BN．（2）若過點C在△ABC內作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，則AM、BN與MN之間有什么關系？請說明理由．

參考答案一、選擇題（每小題3分，共30分）1．如圖，△ABC中，∠C＝70°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2＝（）A．360° B．250° C．180° D．140°【分析】先利用三角形內角與外角的關系，得出∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4），再根據三角形內角和定理即可得出結果．解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝70°+180°＝250°．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形內角和定理及外角的性質，三角形內角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內角之和．2．下列每組數分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm【分析】根據三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進行分析．解：A、3+4＜8，不能組成三角形；B、8+7＝15，不能組成三角形；C、13+12＞20，能夠組成三角形；D、5+5＜11，不能組成三角形．故選：C．【點評】此題考查了三角形的三邊關系．判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數的和是否大于第三個數．3．等腰三角形的一個內角是50°，則另外兩個角的度數分別是（）A．65°，65° B．50°，80° C．65°，65°或50°，80° D．50°，50°【分析】根據等腰三角形的性質推出∠B＝∠C，分為兩種情況：①當底角∠B＝50°時，②當頂角∠A＝50°時，根據∠B＝∠C和三角形的內角和定理求出即可．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，①當底角∠B＝50°時，則∠C＝50°，∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°；②當頂角∠A＝50°時，∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝×（180°﹣∠A）＝65°；即其余兩角的度數是50°，80°或65°，65°，故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的內角和定理，注意此題有兩種情況：①當底角∠B＝50°時，②當頂角∠A＝50°時．4．裝修工人在搬運中發(fā)現有一塊三角形的陶瓷片不慎摔成了四塊（如圖），他要拿哪一塊回公司才能更換到相匹配的陶瓷片（）A．① B．② C．③ D．④【分析】假定選擇哪塊，再對應三角形全等判定的條件進行驗證．解：②、③、④塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內的三個證明全等的要素，所以不能帶它們去，只有第①塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA，滿足題目要求的條件，是符合題意的．故選：A．【點評】本題主要考查三角形全等的判定，看這4塊玻璃中哪個包含的條件符合某個判定．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．5．從一個多邊形的頂點出發(fā)，可作9條對角線，則該多邊形是（）A．十邊形 B．十一邊形 C．十二邊形 D．十三邊形【分析】設多邊形邊數為n，根據n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線可得n﹣3＝9，計算出n的值，可得答案．解：設多邊形邊數為n，由題意得：n﹣3＝9，n＝12，故選：C．【點評】此題主要考查了多邊形的對角線，以及多邊形內角和，關鍵是掌握n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線，多邊形內角和公式180°（n﹣2）．6．在下列各圖形中，分別畫出了△ABC中BC邊上的高AD，其中正確的是（）A． B． C． D．【分析】從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高，根據概念判斷．解：過點A作直線BC的垂線段，即畫BC邊上的高AD，所以畫法正確的是B選項．故選：B．【點評】本題考查了三角形的高的概念，解決問題的關鍵是能夠正確作三角形一邊上的高．7．如果一個多邊形的內角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根據多邊形的內角和公式及外角的特征計算．解：多邊形的外角和是360°，根據題意得：180?（n﹣2）＝3×360，解得n＝8．故選：C．【點評】本題主要考查了多邊形內角和公式及外角的特征．求多邊形的邊數，可以轉化為方程的問題來解決．8．下列敘述正確的是（）A．鈍角三角形的內角和大于銳角三角形的內角和 B．三角形兩個內角的和一定大于第三個內角 C．三角形中至少有兩個銳角 D．三角形中至少有一個鈍角【分析】通過三角形的內角和、直角三角形等特例，逐個判斷得結論．解：因為三角形的內角和等于180°，所以鈍角三角形、銳角三角形的內角和相等，故選項A敘述錯誤；直角三角形的直角等于另兩個內角的和，故選項B敘述錯誤；三角形中至少有兩個銳角，故選項C敘述正確；三角形的內角和等于180°，所以一個三角形不可能有兩個鈍角，故選項D敘述錯誤．故選：C．【點評】本題考查了三角形的內角和定理，掌握三角形的內角和定理及推論是解決本題的關鍵．9．如圖，△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，以下結論：（1）△ABD≌△ACD；（2）AD⊥BC；（3）∠B＝∠C；（4）AD是△ABC的角平分線．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由“三線合一”可知（2）（4）正確，由等邊對等角可知（3）正確，且容易證明△ABD≌△ACD，可得出答案．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴（3）正確，∵D為BC的中點，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴（2）（4）正確，在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴（1）正確，∴正確的有4個，故選：D．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質，掌握等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的角平分線相互重合是解題的關鍵．10．如圖，在△ABC和△DEF中，點B，F，C，D在同一條直線上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．EF＝BC B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．∠B＝∠E【分析】根據全等三角形的全等定理逐個判斷即可．解：A、∵EF＝BC，∵∠A＝∠D，AB＝DE，∴不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本選項符合題意；B、符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本選項不符合題意；C、∵∠ACD＝∠BFE，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠BFE＝∠E+∠D，∠A＝∠D，∴∠B＝∠E，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本選項不符合題意；D、符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本選項不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了三角形的外角性質和全等三角形的判定定理，能靈活運用全等三角形的判定定理進行推理是解此題的關鍵．二、填空題（每小題4分，共32分）11．如圖，已知AD＝BC，要證明△ABC≌△BAD．根據“SAS”，還需要一個條件∠DAB＝∠CBA．【分析】圖形中隱含條件BC＝BC，找出第三邊BD和AC即可，找出∠DAB和∠CBA即可．解：∠DAB＝∠CBA，理由是：在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS）．故答案為：∠DAB＝∠CBA．【點評】本題考查了全等三角形的判定的應用，關鍵是考查學生是否理解SAS的含義，題目比較典型，主要考查了學生運用定理進行推理的能力．12．如果三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長是偶數，則第三邊長可以是4或6．【分析】根據三角形三邊關系，可令第三邊為X，則5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，又因為第三邊長為偶數，所以第三邊長是4，6．問題可求．解：由題意，令第三邊為X，則5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，∵第三邊長為偶數，∴第三邊長是4或6．故答案為：4或6．【點評】此題主要考查了三角形三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解決此類問題的關鍵．13．一個三角形的三邊為2、5、x，另一個三角形的三邊為y、2、6，若這兩個三角形全等，則x+y＝11．【分析】根據已知條件分清對應邊，結合全的三角形的性質可得出答案．解：∵這兩個三角形全等，兩個三角形中都有2∴長度為2的是對應邊，x應是另一個三角形中的邊6．同理可得y＝5∴x+y＝11．故答案為：11．【點評】本題考查了全等三角形的性質及對應邊的找法；根據兩個三角形中都有2找對對應邊是解決本題的關鍵．14．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4的值為360°．【分析】根據四邊形的內角和解答即可．解：∵四邊形的內角和是360°，∴∠4+∠1+∠2+∠3＝360°．故答案為：360°．【點評】此題考查四邊形的內角和問題，關鍵是根據四邊形的內角和是360°解答．15．如圖：將紙片△ABC沿DE折疊，點A落在點F處，已知∠1+∠2＝100°，則∠A＝50度．【分析】根據折疊的性質可知∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，利用平角是180°，求出∠ADE與∠AED的和，然后利用三角形內角和定理求出∠A的度數．解：∵將紙片△ABC沿DE折疊，點A落在點F處，∴∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED＝180°+180°，∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）＝360°，又∵∠1+∠2＝100°，∴∠ADE+∠AED＝130°，∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝50°．故答案為：50【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題）．解題時注意挖掘出隱含于題中的已知條件：三角形內角和是180°、平角的度數也是180°．16．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分線，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，則點D到AB的距離為4cm．【分析】先由BC＝10cm，BD：DC＝3：2計算出DC＝4cm，由于∠ACB＝90°，則點D到AC的距離為4cm，然后根據角平分線的性質即可得到點D到AB的距離等于4cm．解：∵BC＝10cm，BD：DC＝3：2，∴DC＝4cm，∵AD是△ABC的角平分線，∠ACB＝90°，∴點D到AB的距離等于DC，即點D到AB的距離等于4cm．故答案為4cm．【點評】本題考查了角平分線的判定與性質：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上．17．如圖，在△ABC中，已知點E、F分別是AD、CE邊上的中點，且S△BEF＝1.5cm2，則S△ABC的值為6．【分析】由點F是CE的中點，則有S△BCF＝S△BEF＝1.5cm2，則有S△BCE＝3，再由點E是AD的中點，則有S△BDE＝S△ABE，S△CDE＝S△ACE，從而得S△BDE+S△CDE＝S△ABE+S△ACE，從而可求S△ABC的面積．解：∵點F是CE邊上的中點，S△BEF＝3cm2，∴S△BCF＝S△BEF＝1.5cm2，∴S△BCE＝3cm2，∵點E是AD的中點，∴S△BDE＝S△ABE，S△CDE＝S△ACE，∴S△BDE+S△CDE＝S△ABE+S△ACE，即S△BCE＝S△ABE+S△ACE，S△ABE+S△ACE＝3cm2，∴S△ABC＝6cm2．故答案為：6．【點評】本題主要考查三角形的面積，解答的關鍵是明確三角形的中線把原三角形分成兩個面積相等的三角形．18．如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第98個圖形需要黑色棋子的個數是9800．【分析】結合圖形，發(fā)現：第1個圖形中黑色棋子的個數是2×3﹣3；第2個圖形中黑色棋子的個數是3×4﹣4；依此類推即可求解．解：第1個圖形是2×3﹣3，第2個圖形是3×4﹣4，第3個圖形是4×5﹣5，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數是（n+1）（n+2）﹣（n+2）＝n2+2n，當n＝98時，92+2×9＝99，故第98個圖形需要黑色棋子的個數是＝982+2×98＝9800（個）．故答案為：9800．【點評】考查了圖形的變化類問題，首先計算幾個特殊圖形，發(fā)現：數出每邊上的個數，乘以邊數，但各個頂點的重復了一次，應再減去．三、解答題（本大題5道題，共38分）19．如圖，已知∠AOB和線段MN，請用尺規(guī)作圖法在線段MN上找一點P，使得點P到OA、OB的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】作出∠AOB的平分線，與線段MN的交點就是所求．解：作出∠AOB的平分線，與線段MN的交點就是所求．【點評】本題考查了基本作圖，作已知角的角平分線，熟練掌握基本作圖是解題的關鍵．20．如圖，直線AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC＝95°，∠B＝55°，求∠A和∠C．【分析】首先根據三角形的外角定理得∠AOC＝∠A+∠B，由此可求出∠A的度數；再由平行線的性質即可求出∠C的度數．解：∵∠AOC是△AOB的外角，∴∠AOC＝∠A+∠B，∠A＝∠AOC﹣∠B，∵∠AOC＝95°，∠B＝55°，∴∠A＝∠AOC﹣∠B＝95°﹣55°＝40°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠B＝55°．【點評】此題主要考查了平行線的性質，三角形的外角定理，準確識圖，熟練掌握兩直線平行內錯角相等，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和是解答此題的關鍵．21．已知：如圖，AD、BC相交于點O，OA＝OD，AB∥CD．求證：AB＝CD．【分析】只要證明△AOB≌△DOC（ASA），即可解決問題．【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（ASA）．∴AB＝CD．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質、平行線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，屬于中考常考題型．22．一個多邊形的內角和與外角和的差為1260°，求它的邊數．【分析】設多邊形的邊數是n，根據題意得出（n﹣2）?180°﹣360°＝1260°，解之可得．解：設多邊形的邊數是n，則：（n﹣2）?180°﹣360°＝1260°，解得：n＝11，答：這個多邊形的邊數是11．【點評】本題考查了多邊形的內角和公式與外角和定理，熟記內角和公式，外角和與多邊形的邊數無關，任何多邊形的外角和都是360°是解題的關鍵．23．如圖，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB．求證：∠F＝∠C．【分析】欲證明∠F＝∠C，只要證明△ABC≌△DEF（SSS）即可；【解答】證明：∵DA＝BE，∴DE＝AB，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠C＝∠F．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質、解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考基礎題目．四、解答題（本大題5道題，共50分）24．如圖，已知在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，若∠A＝70°，求∠BOC的度數．【分析】在△ABC中，利用三角形內角和定理，可求出∠ABC+∠ACB的度數，結合角平分線的定義，可得出∠OBC+∠OCB的度數，再在△BOC中，利用三角形內角和定理，即可求出∠BOC的度數．解：在△ABC中，∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×110°＝55°．在△BOC中，∠OBC+∠OCB＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．【點評】本題考查了三角形內角和定理以及角平分線的定義，牢記“三角形內角和是180°”是解題的關鍵．25．一個三角形的兩條邊相等，周長為18cm，三角形一邊長4cm，求其它兩邊長？【分析】分兩種情形討論求解即可：①若4cm為底邊．②若4cm為腰長；解：①若4cm為底邊，則另外兩邊均為（18﹣4）＝7厘米；②若4cm為腰長，則另一腰為4厘米，底邊為18﹣4×2＝10厘米∵4+4＜10，∴此時不能構成三角形，舍去．因此其他兩邊的長分別為7cm、7cm．【點評】本題考查三角形的三邊關系，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．26．如圖，點M，N分別是正五邊形ABCDE的邊BC，CD上的點，且BM＝CN，AM交BN于點P．（1）求證：△ABM≌△BCN．（2）求∠APN的度數．【分析】（1）利用正五邊形的性質得出AB＝BC，∠ABM＝∠C，再利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性質得出∠BAM+∠ABP＝∠APN，進而得出∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC即可得出答案．【解答】證明：（1）∵正五邊形ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，∴在△ABM和△BCN中，∴△ABM≌△BCN（SAS）；（2）∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN，∵∠BAM+∠ABP＝∠APN，∴∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC＝＝108°．即∠APN的度數為108°【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及正五邊形的性質等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵．27．如圖所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于點D，若BF＝CE．求證：（1）AD平分∠BAC；（2）AE＝AF．【分析】（1）根據垂直的定義可得∠BFD＝∠CED＝90°