河北省2023屆新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題5圓錐曲線解答題30題專項提分計劃含解析

Page462023屆河北省新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題5圓錐曲線解答題30題專項提分計劃1．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知拋物線，點，為拋物線上的動點，直線為拋物線的準(zhǔn)線，點到直線的距離為，的最小值為5．(1)求拋物線的方程；(2)直線與拋物線相交于，兩點，與軸相交于點，當(dāng)直線，的斜率存在，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義以及共線時距離最小即可求解.（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，進(jìn)而根據(jù)兩點斜率公式表達(dá)，即可求解.【詳解】（1）設(shè)拋物線的焦點為，根據(jù)拋物線的定義得，，由于，解得，則拋物線的方程為（2）設(shè)，將代入拋物線的方程，整理得所以，同理，則,所以，2．（2022·河北張家口·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的離心率是，實軸長是8.(1)求雙曲線C的方程；(2)過點的直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點A和B，若直線l上存在不同于點P的點D滿足成立，證明：點D的縱坐標(biāo)為定值，并求出該定值.【答案】(1)；(2)證明見解析，定值為.【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率公式、實軸長的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式進(jìn)行求解證明即可.【詳解】（1）依題意得，解得所以雙曲線C的方程是.（2）證明：設(shè)，，，直線l的方程為.將直線方程代入雙曲線方程，化簡整理得，，則，.要使直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點A和B，則應(yīng)滿足即解得.由，得，故，所以.又，所以點D的縱坐標(biāo)為定值.【點睛】關(guān)鍵點睛：利用一元二次不等式的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.3．（2022·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知拋物線的焦點在軸上，過且垂直于軸的直線交于（點在第一象限），兩點，且.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知為的準(zhǔn)線，過的直線交于，（，異于，）兩點，證明：直線，和相交于一點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)直線過點且垂直于軸交拋物線于，兩點，且，可求出，便可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)直線與拋物線的交點聯(lián)立方程，求出，直線方程，代入準(zhǔn)線的橫坐標(biāo)，利用，分別與準(zhǔn)線相交的縱坐標(biāo)相等，可知直線，和相交于一點.【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則將代入，可得所以，則所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程失.（2）證明：由（1）可知，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立則設(shè)，，則，直線的方程為，即.令，解得；直線的方程為，即.令，解得，因為，所以直線，和相交于一點.4．（2022·河北·河北容城中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知點，，點A滿足，點A的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)若直線與雙曲線：交于M，N兩點，且（O為坐標(biāo)原點），求點A到直線l距離的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)已知等式，結(jié)合平面兩點距離公式進(jìn)行求解即可；（2）將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)，因為，所以，平方化簡，得；（2）直線與雙曲線：的方程聯(lián)立，得，設(shè)，所以有且，所以，，因為，所以，化簡，得，把，代入，得，化簡，得，因為且，所以有且，解得，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以點A到直線距離的最大值為，最小值為，所以點A到直線距離的取值范圍為，【點睛】關(guān)鍵點睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合直角的性質(zhì)得到等式是解題的關(guān)鍵.5．（2022·河北秦皇島·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的左?右焦點分別為，，虛軸長為，離心率為，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點.(1)求雙曲線的方程；(2)已知，若的外心的橫坐標(biāo)為0，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)虛軸長為，離心率為，由求解；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，根據(jù)外接圓的圓心的橫坐標(biāo)為0，得到判斷.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線的右支交于，兩點，求得k的范圍，設(shè)線段的中點為M，利用弦長公式和求解.（1）由題知因為，所以，故雙曲線的方程為.（2）由（1）知.當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，則，.因為為等腰三角形，且外接圓的圓心的橫坐標(biāo)為0，所以.因為，，所以，故此時不合題意.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，由解得，即或.設(shè)，，則，，因為，所以線段的中點為，且.設(shè)，因為在線段的垂直平分線上，所以，得，即，故.因為，且，所以，化簡得，得或（舍去），所以直線的方程為，即直線的方程為或.6．（2022·河北衡水·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左?右焦點為，離心率為.過點作直線與橢圓相交于兩點.若是橢圓的短軸端點時，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)試判斷是否存在直線，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）設(shè)，由數(shù)量積坐標(biāo)運算可得，結(jié)合離心率和橢圓的關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，由可得的范圍及韋達(dá)定理的形式，進(jìn)而得到，由可構(gòu)造方程求得，不符合的范圍，則直線不存在.(1)由題意知：，即；當(dāng)為橢圓的短軸端點時，不妨設(shè)，則，，，又，，即，解得：，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)設(shè)，由得：，，，設(shè)，，則，，，，，同理可得：，，又，，整理得：，即，解得：，，不存在直線符合題意.【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的存在性問題的求解，求解此問題的基本思路是假設(shè)直線存在，與橢圓方程聯(lián)立后確定的范圍；利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系后，通過求解的值來確定是否存在滿足題意的直線.7．（2022·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知，點，，動點P滿足，點P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)直線與曲線C相切，與曲線交于M?N兩點，且（O為坐標(biāo)原點），求曲線E的離心率.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)兩點間距離距離公式，結(jié)合已知等式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)曲線切線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、平面向量垂直的性質(zhì)、雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.（1）設(shè)，由得，整理得即為曲線C；（2）與曲線C相切，，即.設(shè)，，將代入曲線E整理得：，，，，.，，即.，，整理得，，即，，.故曲線E的離心率為.【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.8．（2022·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）平面直角坐標(biāo)系中，點在軸右側(cè)，且到點的距離比其到軸距離多1.(1)求點軌跡的方程；(2)過點的直線與交于?兩點，是軸上一點.若是正三角形，求直線的斜率.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)點坐標(biāo)根據(jù)題意可得，化簡整理；（2）聯(lián)立方程由韋達(dá)定理可得，，由題意可得且代入化簡整理．(1)設(shè)點坐標(biāo)為，且.由題意，整理得(2)由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，AB的中點聯(lián)立方程得則，且，從而，即設(shè)，由于為正三角形，則，即，即又∵，，，故，即，即即，解得，直線的斜率9．（2022·河北滄州·統(tǒng)考二模）已知橢圓的離心率為，且過點.(1)求橢圓的方程；(2)點關(guān)于原點的對稱點為點，與直線平行的直線與交于點，直線與交于點，點是否在定直線上？若在，求出該直線方程；若不在，請說明理由.【答案】(1)(2)點在定直線上.【分析】（1）解方程組可得答案；（2）設(shè)，的方程與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理代入，可得直線的方程、直線的方程，聯(lián)立兩直線方程得，由化簡可得答案.（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程是.（2）點是在定直線上，理由如下，由（1）知，設(shè)，，將的方程與聯(lián)立消，得，則，得且，且，因為，所以直線的方程為，即，直線的方程為，即，聯(lián)立直線與直線的方程，得，得，所以所以點在定直線上.10．（2022·河北秦皇島·統(tǒng)考三模）已知拋物線上的點與焦點的距離為9，點到軸的距離為．(1)求拋物線的方程．(2)經(jīng)過點的直線與拋物線交于兩點，為直線上任意一點，證明：直線的斜率成等差數(shù)列．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)由條件結(jié)合拋物線的定義列方程求即可；(2)聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求的方法證明即可.【詳解】（1）設(shè)點，由題意可知，所以，解得．因為，所以．所以拋物線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，所以．設(shè)，則，又因為，所以，即直線的斜率成等差數(shù)列．【點睛】解決直線與拋物線的綜合問題的一般方法為設(shè)而不求法，要證明直線的斜率成等差數(shù)列只需證明即可.11．（2022·河北邯鄲·統(tǒng)考二模）已知點P（2，）為橢圓C：）上一點，A，B分別為C的左、右頂點，且△PAB的面積為5．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點Q（1，0）的直線l與C相交于點G，H（點G在x軸上方），AG，BH與y軸分別交于點M，N，記，分別為△AOM，△AON（點O為坐標(biāo)原點）的面積，證明為定值．【答案】(1)；(2)證明過程見解析.【分析】（1）根據(jù)左右頂點的定義，結(jié)合代入法、三角形面積公式進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、三角形面積公式進(jìn)行求解即可.（1）因為△PAB的面積為5，點P（2，）為橢圓C：上一點，所以有；（2）由題意可知直線l的斜率不為零，故設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立為：，設(shè)，因為，所以，，直線AG的方程為：，令，得，即，同理可得：，，因為，所以有，于是有，因此為定值.【點睛】關(guān)鍵點睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.12．（2022·河北石家莊·石家莊二中?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左右焦點分別為，點為以為直徑的圓與橢圓在第一象限的交點.(1)求橢圓的方程；(2)若過點且傾斜角為鈍角的直線與橢圓交于兩點（其中點在軸下方），為的中點，為原點，求當(dāng)最大時，的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）將代入圓和橢圓方程，可解得，由此可得橢圓方程；（2）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，由此可得點坐標(biāo)，利用，結(jié)合基本不等式可知當(dāng)時，最大，由可求得結(jié)果.(1)設(shè)，，則以為直徑的圓為：，，即，又，，，橢圓的方程為.(2)由題意可設(shè)直線，，由得：，則，，，，則，，；設(shè)直線傾斜角為，直線傾斜角為，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），即當(dāng)時，取得最大值，此時，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用問題中的三角形面積的求解問題；求解三角形面積的關(guān)鍵是能夠利用直線斜率表示出，利用基本不等式確定的最大值，由取等條件確定的取值后即可求解13．（2022·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓，橢圓上的點到兩焦點的距離和為，點在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點作直線交橢圓于兩點，點為點關(guān)于軸的對稱點，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓上的點到兩焦點的距離和為2a，可得a的值，再由點在橢圓上，代入方程可求得b的值；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程消去y，可得，，關(guān)于k的代數(shù)式，由，轉(zhuǎn)化成求關(guān)于k的函數(shù)的最值，通過換元法求得.【詳解】（1）∵橢圓上的點到兩焦點的距離和為，∴，∴，∵點在橢圓上.∴，∴，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，由，消去得，設(shè)，∴，解得，，，∴，令，∴，所以當(dāng)時，△ABE面積最大，最大值為.14．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線：和橢圓：有共同的焦點F(1)求拋物線C的方程，并寫出它的準(zhǔn)線方程(2)過F作直線交拋物線C于P，Q兩點，交橢圓E于M，N兩點，證明：當(dāng)且僅當(dāng)軸時，取得最小值【答案】(1)拋物線方程為，準(zhǔn)線為.(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)橢圓中“”的關(guān)系求出焦點，根據(jù)共焦點即可求解；(2)利用韋達(dá)定理分別表示出，即可證明.【詳解】（1）根據(jù)橢圓：可得，所以，則橢圓的右焦點也為拋物線的焦點，所以，解得，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線為.（2）由題可得，直線的斜率不等于0，所以設(shè)，設(shè)，聯(lián)立整理得，所以，所以，設(shè)，聯(lián)立整理得，所以，所以所以,所以，因為為常數(shù)，所以當(dāng)，即時，取得最小值，此時的方程為垂直于軸,所以命題得證.15．（2022·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，雙曲線的離心率為，實軸長為4.(1)求C的方程；(2)如圖，點A為雙曲線的下頂點，直線l過點且垂直于y軸（P位于原點與上頂點之間），過P的直線交C于G，H兩點，直線AG，AH分別與l交于M，N兩點，若O，A，N，M四點共圓，求點P的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率結(jié)合實軸長，可求得a,b,即得答案;（2）根據(jù)O，A，N，M四點共圓結(jié)合幾何性質(zhì)可推出，設(shè)，，，從而可以用點的坐標(biāo)表示出t,再設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線與直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，代入t的表達(dá)式中化簡，可得答案.【詳解】（1）因為實軸長為4，即，，又，所以，，故C的方程為.（2）由O，A，N，M四點共圓可知，，又，即，故，即，所以,設(shè)，，，由題意可知，則直線，直線，因為M在直線l上，所以，代入直線AG方程，可知，故M坐標(biāo)為，所以，又，由，則，整理可得，當(dāng)直線GH斜率不存在時，顯然不符合題意，故設(shè)直線，代入雙曲線方程：中，可得，所以，，又，所以,故，即，所以點P坐標(biāo)為.【點睛】本題考查了雙曲線方程的求解，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系的問題，解答時要注意明確點線的位置關(guān)系，能設(shè)相關(guān)點的坐標(biāo)，從而表示出參數(shù)的表達(dá)式，再結(jié)合聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式化簡，難點在于較為繁雜的計算，要十分細(xì)心.16．（2022·河北·石家莊二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，橢圓C的離心率小于.點P在橢圓C上，，且面積的最大值為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點M（1，1），A，B是橢圓C上不同的兩點，點N在直線l：上，且，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值為【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程，分別與橢圓以及直線聯(lián)立，求得三點坐標(biāo)間的關(guān)系，由此計算出為定值.(1)，則，當(dāng)為上頂點或下頂點時，的面積最大，，由解得.所以橢圓的方程為.(2)由于，，所以四點共線，由（1）得橢圓的方程為，故在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓必有兩個交點，不妨設(shè)在之間，在的延長線上，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，，即,，即.由，得，所以.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，.由解得，由，得，所以.綜上所述，為定值，且定值為.17．（2022·河北保定·統(tǒng)考一模）直線交拋物線于，兩點，過，作拋物線的兩條切線，相交于點，點在直線上．(1)求證：直線恒過定點，并求出點坐標(biāo)；(2)以為圓心的圓交拋物線于四點，求四邊形面積的取值范圍．【答案】(1)證明見解析，；(2).【分析】（1）設(shè)，，，利用點斜式寫出直線，的方程，由在兩直線上，即可知直線的方程，進(jìn)而確定定點.（2）聯(lián)立拋物線和圓：，由題設(shè)及一元二次方程根的個數(shù)求參數(shù)r的范圍，由結(jié)合韋達(dá)定理得到關(guān)于r的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究區(qū)間單調(diào)性，進(jìn)而求范圍.(1)設(shè)，，，則，，直線為：，同理直線為：，把代入直線，得：，∴，都滿足直線方程，則為直線的方程，故直線恒過定點．(2)如圖，設(shè)圓的半徑為，，，，，把代入圓：，整理得，由題意知：關(guān)于的一元二次方程有兩個不等實根，則，可得．，令，由得：，則，令且，則，故在上，遞增；在上，遞減；所以，又，，故的取值范圍是，綜上，的取值范圍是．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，由圓：，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合四邊形面積公式得到關(guān)于參數(shù)r的表達(dá)式，再應(yīng)用函數(shù)思想并利用導(dǎo)數(shù)求面積的范圍.18．（2022·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左，右焦點分別為，．且該雙曲線過點．(1)求C的方程；(2)如圖．過雙曲線左支內(nèi)一點作兩條互相垂直的直線分別與雙曲線相交于點A，B和點C，D．當(dāng)直線AB，CD均不平行于坐標(biāo)軸時，直線AC，BD分別與直線相交于P．Q兩點，證明：P，Q兩點關(guān)于x軸對稱．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案；（2）由題意，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，點，聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，同理可得，由直線的方程可得，同理可得，然后計算即可得證.【詳解】（1）解：由已知可得，解得，所以雙曲線C的方程為；（2）證明：由題意，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，點，由，得，則，得，所以，同理可得，其中滿足，直線的方程為，令，得,又，所以，即，同理可得，因為，所以兩點關(guān)于軸對稱.19．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）已知橢圓的右焦點為F，橢圓．(1)求的離心率；(2)如圖：直線交橢圓于A，D兩點，交橢圓E于B，C兩點．①求證：；②若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)①證明過程見解析；②.【分析】（1）直接將橢圓轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后代入離心率公式即可；（2）分別求出、的中點坐標(biāo)，得出中點重合即可證明①；對于②，分別求出被橢圓截得的弦長以及到的距離，得出面積表達(dá)式，通過變形式子求出最值.【詳解】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則橢圓的離心率為（2）對于①，設(shè)，，，，直線與聯(lián)立整理得則則的中點坐標(biāo)同理可知的中點坐標(biāo).所以與中點重合，故.對于②，由①知，直線被橢圓截得弦長為把代入得，把代入得，到的距離為，則面積為：當(dāng)時，的面積最大值是.【點睛】本題考查離心率的求法，考查弦長公式、中點坐標(biāo)公式、面積公式等幾何關(guān)系的應(yīng)用，解析幾何解題時應(yīng)注重幾何關(guān)系的尋找，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求較高，屬于難題.20．（2022·河北保定·統(tǒng)考二模）已知拋物線.(1)直線與交于、兩點，為坐標(biāo)原點.從下面的①②兩個問題中任選一個作答，如果兩個都作答，則按所做的第一個計分.①證明：.②若，求的值；(2)已知點，直線與交于、兩點（均異于點），且.過作直線的垂線，垂足為，試問是否存在定點，使得為定值？若存在，求出定值；若不存在，說明理由.【答案】(1)①證明見解析；②(2)存在，定值為.【分析】（1）選①，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用兩點間的距離公式以及拋物線的焦點弦長公式、韋達(dá)定理可證明等式成立；選②，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計算出、，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可出關(guān)于的等式，即可求得的值；（2）分析可設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用斜率公式結(jié)合已知條件可得出、所滿足的關(guān)系式，可求得直線所過定點的坐標(biāo)，再由，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可知當(dāng)為線段的中點時，為定值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：選①：設(shè)點、，聯(lián)立可得，（*）當(dāng)時，方程（*）即為，此時直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，所以，，，則，，所以.因為經(jīng)過拋物線的焦點，所以，故.選②：設(shè)點、，聯(lián)立可得，（*）當(dāng)時，方程（*）即為，此時直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，所以，，，則，，.因為，所以，解得.（2）解：若直線的斜率為零，則直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理可得，.因為，所以，所以，即.所以直線的方程為，則直線過定點.因為，所以當(dāng)點為的中點時，為定值，故存在定點，使得為定值.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.21．（2022·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左，右焦點分別為，右頂點為A，M，N是橢圓上關(guān)于原點對稱且異于頂點的兩點，記直線與直線的斜率分別為，且.(1)求C的方程；(2)若直線l交橢圓C于P，Q兩點，記直線與直線的斜率分別為且，證明：直線l恒過定點.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)出，由斜率公式表示出，由及在橢圓上得，再結(jié)合焦點求出，即可求解；（2）斜率不存在不合題意，斜率存在時設(shè)，聯(lián)立橢圓方程求得，表示出，由解得或，求出定點坐標(biāo)即可.(1)設(shè)，則，又，則，，又，則，故，又，故，C的方程為；(2)當(dāng)直線l斜率不存在時，易知直線與直線關(guān)于軸對稱，，不合題意；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，整理得，則，，又，，由可得，整理得，則，整理得，即，故或，當(dāng)時，，直線，過定點，不合題意；當(dāng)時，由得，直線，過定點，故直線l恒過定點.22．（2022·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左焦點為F，短軸的兩個頂點分別為M，N，為等邊三角形，且的面積為，(1)求C的方程；(2)若圓的方程為，直線l與圓相切并且交C于A，B兩點，證明：，并求出的最大值.【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）依題意可得，且，即可求出、、，從而得到橢圓方程；（2）分直線的斜率存在與斜率不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時設(shè)直線方程為，，，又直線與圓相切得到，再聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，通過計算證明，則，再由弦長公式表示，即可求出最大值；(1)解：依題意，，又，且，解得、、，所以橢圓方程為(2)解：若直線的斜率不存在，則，取代入得，此時，，所以，即，且；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，由直線與圓相切，所以，即，即；由，則，即，所以，所以，所以，因為，所以所以當(dāng)，即時因為，所以，所以；23．（2022·河北唐山·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，動圓M與圓相內(nèi)切，且與直線相切，記動圓圓心M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點的直線l與曲線C交于A，B兩點，分別以A，B為切點作曲線C的切線，直線相交于點P．若，求直線l的方程．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）利用兩圓內(nèi)切及直線與圓相切列式，化簡即得曲線C的方程.（2）設(shè)出直線l的方程及，求出直線的方程及點P的坐標(biāo)，聯(lián)立直線l與曲線C的方程，借助韋達(dá)定理求出點B的坐標(biāo)作答.【詳解】（1）設(shè)動圓圓心，半徑為r，依題意，，于是得，化簡得，所以曲線C的方程為.（2）依題意，直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為，由消去y并整理得，，則有，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，由消去y并整理得：，則有，解得，切線的方程為，同理可得，切線的方程為，由，解得，即點，則，因，即，即，化簡得，，因此，，于是得點或，直線l的斜率，所以直線l的方程為或.【點睛】結(jié)論點睛：拋物線在點處的切線斜率；拋物線在點處的切線斜率.24．（2022·河北滄州·滄縣中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，短軸長為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C相切于點A，A關(guān)于原點O的對稱點為點B，過點B作，垂足為M，求面積的最大值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）先求得橢圓C的離心率，又橢圓C的短軸長為，可得a,b,c的值，即得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用直線上兩點的距離公式算得的表達(dá)式，可得.（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c．因為雙曲線的離心率，所以橢圓C的離心率，又橢圓C的短軸長為，所以，解得．聯(lián)立解得，故橢圓C的方程為．（2）設(shè)點，易知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線，聯(lián)立消元可得，由題意，，即且，整理得．由過點A的切線是唯一的得，所以直線，又直線交于點M，得直線．聯(lián)立可得．所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．故面積的最大值為2．25．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，為的左焦點，，是上的兩個動點，且直線經(jīng)過的右焦點，的周長為．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點在橢圓上，且滿足（其中為坐標(biāo)原點），證明：的面積為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由離心率可得，的關(guān)系，再由的周長可得的值，進(jìn)而求出的值，可得的值，求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出弦長的代數(shù)式，再由向量的關(guān)系，可得的橫縱坐標(biāo)與，的坐標(biāo)的關(guān)系，將的坐標(biāo)代入橢圓方程，可得參數(shù)的值，求出到直線的距離，代入三角形的面積公式可得為定值．【詳解】（1）由題意可得，，可得，，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）證明：設(shè)，，，，，，因為，即有可得，，由題意顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，因為直線經(jīng)過焦點，其在橢圓內(nèi)部，顯然，且，，，所以，因為在橢圓上，所以，可得，整理可得，可得或（舍，所以，點到直線的距離，所以為定值．【點睛】結(jié)論點睛：圓錐曲線中的弦長公式：弦長，其中為直線與圓錐曲線聯(lián)立的關(guān)于的一元二次方程的二次項系數(shù)，若直線引入的參數(shù)為，則弦長，其中為直線與圓錐曲線聯(lián)立的關(guān)于的一元二次方程的二次項系數(shù).26．（2022·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？家荒＃┮阎獫M足與的斜率之積為.(1)求的軌跡的方程.(2)是過內(nèi)同一點的兩條直線，交橢圓于交橢圓于，且共圓，求這兩條直線斜率之和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)直線斜率公式，結(jié)合已知進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)四點共圓的性質(zhì)，結(jié)合直線的參數(shù)方程進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因為滿足與的斜率之積為，所以有；（2）設(shè)，因為在內(nèi)，所以，設(shè)的參數(shù)方程為：，為直線的傾斜角，把代入中，得，，即，設(shè)直線的傾斜角為，上式用代，同理可得，因為是過內(nèi)同一點的兩條直線，交橢圓于交橢圓于，且共圓，所以由圓的相交弦定理可知：，因為，所以有，因為是直線的傾斜角，所以，所以，因為是過內(nèi)同一點的兩條直線，所以，因此由，設(shè)的斜率為，因此有，即這兩條直線斜率之和為.【點睛】關(guān)鍵點睛：利用直線的參數(shù)方程、圓的相交弦定理是解題的關(guān)鍵.27．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)不過圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個不同的點，連接交軌跡于點.（i）若直線交軸于點，證明：為一個定點；（ii）若過圓心的直線交軌跡于兩個不同的點，且，求四邊形面積的最小值.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切列出圓心距與半徑的關(guān)系，即可發(fā)現(xiàn)圓心的軌跡滿足橢圓的定義，進(jìn)而可求其方程，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得韋達(dá)定理，根據(jù)點坐標(biāo)可得方程，進(jìn)而代入韋達(dá)定理即可求出坐標(biāo)，根據(jù)弦長公式可求長度，進(jìn)而得長，根據(jù)垂直，即可表示四邊形的面積，根據(jù)不等式即可求解最值.【詳解】（1）設(shè)動圓的半徑為，圓心的坐標(biāo)為由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，動圓的圓心的軌跡是以為焦點的橢圓，設(shè)其方程為：，其中從而軌跡的方程為：（2）（i）設(shè)直線的方程為，則由可得：直線的方程為，令可得點的橫坐標(biāo)為：為一個定點，其坐標(biāo)為（ii）根據(jù)（i）可進(jìn)一步求得：.，則，四邊形面積（法一）等號當(dāng)且僅當(dāng)時取，即時，（法二）令，則當(dāng)，即時，【點睛】本題考查了橢圓的方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，綜合性較強(qiáng).利用幾何法求軌跡方程時，要多注意圖形位置間體現(xiàn)的等量關(guān)系，可通過先判斷軌跡，再求其方程.直線與橢圓相交問題，聯(lián)立方程是常規(guī)必備步驟，韋達(dá)定理得弦長，求面積或者長度最值時，往往需要先將其表達(dá)出來，再利用不等式或者函數(shù)的知識進(jìn)行求解.28．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知橢圓，其右焦點為，點M在圓上但不在軸上，過點作圓的切線交橢圓于，兩點，當(dāng)點在軸上時，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)點在圓上運動時，試探究周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可知，再根據(jù)列出相應(yīng)的方程，組成方程組解得答案;（2）設(shè)，，從而表示出的周長，分類討論，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，從而結(jié)合基本不等式，求得答案.【詳解】（1）由題意可知，當(dāng)點