mie散射系數(shù)的精確計(jì)算

mie散射系數(shù)的精確計(jì)算

采用后向遞推公式進(jìn)行計(jì)算mie色散理論是對(duì)軸向散射結(jié)構(gòu)的精確解釋。Dave于1968年第一次利用前向遞推算法計(jì)算出了消光系數(shù)Kext,散射系數(shù)Ksca和吸收系數(shù)Kabs,在尺度系數(shù)比較小(<100)的時(shí)候取得了比較準(zhǔn)確的結(jié)果。由于前向遞推算法是不穩(wěn)定的,計(jì)算的時(shí)候會(huì)產(chǎn)生數(shù)值溢出,所以Dave的算法不能應(yīng)用到大尺度系數(shù)情況下。Wiscombe于1980年發(fā)表了從紫外波長(zhǎng)到微波波長(zhǎng)范圍內(nèi)的計(jì)算方案,方案詳細(xì)地討論了計(jì)算時(shí)間,循環(huán)次數(shù)等,得到了準(zhǔn)確的結(jié)果。但是他的算法沒有考慮復(fù)折射率較大的粒子,也沒有列出在大尺度系數(shù)時(shí)的計(jì)算結(jié)果。余其錚等利用連分式進(jìn)行了計(jì)算,為了解決連分式計(jì)算速度慢的問題,對(duì)連分式計(jì)算次數(shù)進(jìn)行了擬合,提高了計(jì)算速度,但是文中只給出了尺度系數(shù)在1到100時(shí)的擬合公式。對(duì)于在100以外的擬合公式?jīng)]有詳細(xì)地討論。王式民等利用后向遞推的辦法大大提高了計(jì)算速度,而且計(jì)算范圍大大擴(kuò)展了。但是文中提供的遞推表達(dá)式是和粒子復(fù)折射率相關(guān)的表達(dá)式。從Vandehulst的著作中可以看到,對(duì)于復(fù)折射率較大的金屬粒子等特殊粒子,利用這種后向遞推公式無法得到準(zhǔn)確的結(jié)果。Bohren利用Wiscombe的近似公式提供了一個(gè)計(jì)算程序,該程序計(jì)算快速而且準(zhǔn)確,但是不適用于以下場(chǎng)合:1)復(fù)折射率比較大的金屬粒子和絕緣體粒子;2)尺度系數(shù)大于1000的粒子。本文利用改進(jìn)的后向遞推公式得到了一種新的算法,基本可以用于所有的計(jì)算場(chǎng)合。本文也對(duì)遞推法和連分式法進(jìn)行了詳細(xì)的分析,并且和現(xiàn)有成果進(jìn)行了可靠性比較。1復(fù)折射率因子bn值的計(jì)算MIE散射系數(shù)的主要系數(shù)的公式如下:計(jì)算MIE散射系數(shù)的關(guān)鍵就是計(jì)算an,bn的值,它們的表達(dá)式如公式(2),其中x=2πr/λ,通常被稱為粒子的尺度系數(shù),r是粒子的半徑,λ是入射波的波長(zhǎng),m是粒子的復(fù)折射率指數(shù),m=mr+imi,mr,mi分別是復(fù)折射率的實(shí)部和虛部,在計(jì)算中通常取mi<0。2一般算法的討論2.1復(fù)折射率測(cè)定遞推法直接從MIE系數(shù)計(jì)算的方程出發(fā),原理簡(jiǎn)單,但是并不可靠。實(shí)際計(jì)算表明,當(dāng)粒子尺度系數(shù)大于20時(shí),對(duì)于入射波長(zhǎng)為λ=2.8μm,λ=3.0μm時(shí)的球形水滴(復(fù)折射率分別為1.142-0.115i,1.371-0.272i)散射系數(shù)大于消光系數(shù)。這是因?yàn)樵谶M(jìn)行遞推計(jì)算時(shí),其中某些貝賽耳函數(shù)的值已經(jīng)超出了計(jì)算機(jī)最大數(shù)據(jù)限,造成了數(shù)據(jù)溢出,從而得不到正確的結(jié)果。而且當(dāng)尺度系數(shù)很大的時(shí)候,這種方法運(yùn)算很緩慢,而且結(jié)果很容易因?yàn)榘l(fā)散而得不到正確的值。2.2貝賽耳函數(shù)的遞推方程為了得到準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果,Lentz于1976年提出了這一算法,這種算法避免了不收斂的問題,基本上可以對(duì)所有的有效參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。為了使用連分式的算法,通常將an,bn寫成下面的方式對(duì)An(mx)利用連分式進(jìn)行計(jì)算,對(duì)ζn(x)則利用貝賽耳函數(shù)的遞推表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算。由于避免了計(jì)算溢出,連分式算法通?？梢缘玫阶顬闇?zhǔn)確的結(jié)果。實(shí)際編程結(jié)果和vandehulst和borhen的著作的比較說明了這一點(diǎn)。但是連分式計(jì)算往往比較緩慢。實(shí)際計(jì)算表明,計(jì)算時(shí)間隨著尺度系數(shù)和粒子復(fù)折射率的增加而增加。盡管復(fù)折射率并不影響總的循環(huán)次數(shù),但是極大地影響每一個(gè)An(mx)的計(jì)算時(shí)間。所以當(dāng)復(fù)折射率或者粒子尺度系數(shù)較大時(shí),連分式算法并不合適。3標(biāo)準(zhǔn)的向后遞推為了解決連分式計(jì)算速度過慢的問題,在計(jì)算中往往采取遞推的表達(dá)式求解式(3)中的An(mx)。計(jì)算An(mx)的方法有倒推和前推兩種,兩種方式都用同一種表達(dá)式:但是當(dāng)折射率虛部很大時(shí)向前遞推是非常不穩(wěn)定的,而向后遞推總是穩(wěn)定的。因此常用向后遞推來計(jì)算An(mx)。一般取AN(mx)=0,這時(shí)候就需要確定合適的上限N。當(dāng)尺度系數(shù)不同時(shí),上限N如表1所示。計(jì)算表明:1)N值和粒子的復(fù)折射率基本沒有關(guān)系;2)N值近似表達(dá)式在不同的尺度系數(shù)處是不同的,具體形式如下:經(jīng)驗(yàn)公式成立的條件是(|an|2+|bn|2)<10-25。對(duì)于ζn(x)的求解利用文獻(xiàn)中描述的向前遞推的辦法。對(duì)于An(mx)的計(jì)算則用向后遞推的辦法,即令A(yù)N(mx)=0+0i。再利用(4)式倒推求出各項(xiàng)的值。4計(jì)算的復(fù)折射率本文將改進(jìn)后向遞推法的計(jì)算精度和其它的算法做了比較。在計(jì)算精度方面,從表2可以看出,改進(jìn)后向遞推法得到的計(jì)算結(jié)果和已有的結(jié)果吻合的很好。在計(jì)算的時(shí)間方面,用改進(jìn)的后向遞推法和連分式法進(jìn)行了比較,如表3所示。計(jì)算取的復(fù)折射率為1.33-0.1i。在計(jì)算范圍方面,改進(jìn)的后向遞推法可以計(jì)算的尺度系數(shù)可以達(dá)到106,完全可以滿足平常的使用范圍,而且適合于計(jì)算折射率很大的金屬粒子等特殊粒子。5新算法的計(jì)算效率利用了連分式算法對(duì)計(jì)算循環(huán)次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),證明了循環(huán)次數(shù)和粒子的復(fù)折射率基本沒有關(guān)系。通過對(duì)不同范圍的尺度系數(shù)的循環(huán)次數(shù)的擬合,得到了改進(jìn)的后向遞推表達(dá)式。從而大大加快了計(jì)算的速度。新算法在尺度系數(shù)較大時(shí)(>1000),計(jì)算時(shí)間僅為連分式算法的10-2～10-3,計(jì)算的誤差小于10-5。算法適用的范圍也很廣,對(duì)尺度系數(shù)從10-6到106,復(fù)折射率從10-6到1