高三北師大版數(shù)學(xué)（理）一輪導(dǎo)學(xué)案 2.7 函數(shù)的圖像

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)案10函數(shù)的圖象導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.掌握作函數(shù)圖象的兩種基本方法：描點(diǎn)法，圖象變換法.2。掌握?qǐng)D象變換的規(guī)律，能利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)．自主梳理1．應(yīng)掌握的基本函數(shù)的圖象有：一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等．2．利用描點(diǎn)法作圖:①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式;③討論函數(shù)的性質(zhì)(__________、__________、__________);④畫(huà)出函數(shù)的圖象．3．利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：(1）平移變換：函數(shù)y＝f(x＋a）的圖象可由y＝f（x)的圖象向____(a〉0)或向____（a〈0)平移____個(gè)單位得到；函數(shù)y＝f(x）＋a的圖象可由函數(shù)y＝f（x）的圖象向____（a〉0)或向____(a〈0)平移____個(gè)單位得到．（2）伸縮變換：函數(shù)y＝f（ax)(a〉0）的圖象可由y＝f(x）的圖象沿x軸伸長(zhǎng)（0<a〈1）或縮短(____)到原來(lái)的eq\f(1，a）倍得到；函數(shù)y＝af(x)(a〉0）的圖象可由函數(shù)y＝f(x）的圖象沿y軸伸長(zhǎng)(____）或縮短（________）為原來(lái)的____倍得到．（可以結(jié)合三角函數(shù)中的圖象變換加以理解)（3）對(duì)稱變換：①奇函數(shù)的圖象關(guān)于________對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于____軸對(duì)稱；②f（x)與f（－x)的圖象關(guān)于____軸對(duì)稱；③f（x)與－f（x）的圖象關(guān)于____軸對(duì)稱;④f（x)與－f(－x)的圖象關(guān)于________對(duì)稱；⑤f（x)與f(2a－x)的圖象關(guān)于直線________⑥曲線f(x，y)＝0與曲線f(2a－x，2b－y）＝0關(guān)于點(diǎn)________⑦|f（x)|的圖象先保留f（x）原來(lái)在x軸________的圖象，作出x軸下方的圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形,然后擦去x軸下方的圖象得到；⑧f（｜x|）的圖象先保留f（x）在y軸________的圖象，擦去y軸左方的圖象,然后作出y軸右方的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形得到．自我檢測(cè)1．(2009·北京)為了得到函數(shù)y＝lgeq\f(x＋3，10)的圖象，只需把函數(shù)y＝lgx的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度2．(2011·煙臺(tái)模擬）已知圖1是函數(shù)y＝f（x）的圖象，則圖2中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是()A．y＝f(|x｜） B．y＝｜f(x）｜C．y＝f（－｜x｜) D．y＝－f（－｜x|）3．函數(shù)f(x）＝eq\f(1，x)－x的圖象關(guān)于（)A．y軸對(duì)稱 B．直線y＝－x對(duì)稱C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線y＝x對(duì)稱4．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范圍是 ()A．(－1，0) B．［－1,0)C．(－2，0） D．［－2,0)5．（2011·濰坊模擬）已知f（x)＝ax－2,g（x）＝loga|x｜（a>0且a≠1)，若f(4)·g(－4)<0，則y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是 （）探究點(diǎn)一作圖例1（1)作函數(shù)y＝｜x－x2｜的圖象;（2)作函數(shù)y＝x2－｜x｜的圖象；（3)作函數(shù)的圖象．變式遷移1作函數(shù)y＝eq\f（1,|x|－1)的圖象．探究點(diǎn)二識(shí)圖例2(1）函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝g（x）的圖象如圖,則函數(shù)y＝f（x）·g(x)的圖象可能是()（2）已知y＝f（x)的圖象如圖所示，則y＝f（1－x）的圖象為 （）變式遷移2(1)(2010·山東)函數(shù)y＝2x－x2的圖象大致是（)(2)函數(shù)f（x）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式是()A．f（x）＝x＋sinxB．f(x)＝eq\f(cosx,x）C．f(x）＝xcosxD．f(x）＝x·(x－eq\f(π，2）)·(x－eq\f（3π,2）)探究點(diǎn)三圖象的應(yīng)用例3若關(guān)于x的方程|x2－4x＋3｜－a＝x至少有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．變式遷移3(2010·全國(guó)Ⅰ)直線y＝1與曲線y＝x2－|x｜＋a有四個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是________．?dāng)?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例（5分）(2010·北京東城區(qū)一模)定義在R上的函數(shù)y＝f（x)是減函數(shù)，且函數(shù)y＝f（x－1）的圖象關(guān)于（1，0）成中心對(duì)稱，若s,t滿足不等式f（s2－2s）≤－f(2t－t2）．則當(dāng)1≤s≤4時(shí),eq\f（t，s）的取值范圍是 (）A.eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4），1）） B。eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f（1,4),1)）C。eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2），1）） D。eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2），1））【答題模板】答案D解析因函數(shù)y＝f（x－1）的圖象關(guān)于（1，0）成中心對(duì)稱，所以該函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位后的解析式為y＝f（x)，即y＝f（x)的圖象關(guān)于（0，0）對(duì)稱，所以y＝f（x）是奇函數(shù)．又y＝f(x)是R上的減函數(shù)，所以s2－2s≥t2－2t，令y＝x2－2x＝(x－1）2－1，圖象的對(duì)稱軸為x＝1，當(dāng)1≤s≤4時(shí)，要使s2－2s≥t2－2t，即s－1≥｜t－1|,當(dāng)t≥1時(shí)，有s≥t≥1,所以eq\f（1，4)≤eq\f(t,s)≤1；當(dāng)t<1時(shí)，即s－1≥1－t，即s＋t≥2，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了線性規(guī)劃問(wèn)題，畫(huà)出由1≤s≤4，t<1，s＋t≥2組成的不等式組的可行域.eq\f（t,s)為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率，易知－eq\f(1，2)≤eq\f（t,s)<1。綜上可知選D.【突破思維障礙】當(dāng)s,t位于對(duì)稱軸x＝1的兩邊時(shí)，如何由s2－2s≥t2－2t判斷s，t之間的關(guān)系式，這時(shí)s，t與對(duì)稱軸x＝1的距離的遠(yuǎn)近決定著不等式s2－2s≥t2－2t成立與否,通過(guò)數(shù)形結(jié)合判斷出關(guān)系式s－1≥1－t,從而得出s＋t≥2，此時(shí)有一個(gè)隱含條件為t〈1,再結(jié)合1≤s≤4及要求的式子的取值范圍就能聯(lián)想起線性規(guī)劃，從而突破了難點(diǎn)．要畫(huà)出s，t所在區(qū)域時(shí),要結(jié)合eq\f（t,s)的幾何意義為點(diǎn)(s,t)和原點(diǎn)連線的斜率，確定s為橫軸，t為縱軸．【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】當(dāng)?shù)玫讲坏仁絪2－2s≥t2－2t后，如果沒(méi)有函數(shù)的思想將無(wú)法繼續(xù)求解，得到二次函數(shù)后也容易只考慮s,t都在二次函數(shù)y＝x2－2x的增區(qū)間［1，＋∞)內(nèi),忽略考慮s,t在二次函數(shù)對(duì)稱軸兩邊的情況，考慮了s，t在對(duì)稱軸的兩邊,也容易漏掉隱含條件t<1及聯(lián)想不起來(lái)線性規(guī)劃．1．掌握作函數(shù)圖象的兩種基本方法（描點(diǎn)法,圖象變換法），在畫(huà)函數(shù)圖象時(shí)，要特別注意到用函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性等)解決問(wèn)題．2．合理處理識(shí)圖題與用圖題（1）識(shí)圖．對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性．(2)用圖．函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具,要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法,常用函數(shù)圖象研究含參數(shù)的方程或不等式解集的情況．(滿分：75分）一、選擇題(每小題5分，共25分）1．(2010·重慶）函數(shù)f（x）＝eq\f（4x＋1，2x)的圖象 （）A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱C．關(guān)于x軸對(duì)稱 D．關(guān)于y軸對(duì)稱2．(2010·湖南)用min{a，b｝表示a,b兩數(shù)中的最小值．若函數(shù)f（x）＝min{|x|，|x＋t｜}的圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(1,2）對(duì)稱，則t的值為 ()A．－2 B．2C．－1 D．13．（2011·北京海淀區(qū)模擬)在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y＝logax,y＝ax，y＝x＋a的圖象，可能正確的是 (）4．（2011·深圳模擬）若函數(shù)y＝f(x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象大致為(）5．設(shè)b〉0，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象為下列之一，則a的值為()A．1 B．－1 C.eq\f（－1－\r(5)，2) D.eq\f(－1＋\r(5）,2)題號(hào)12345答案二、填空題（每小題4分，共12分)6．為了得到函數(shù)y＝3×(eq\f（1,3)）x的圖象，可以把函數(shù)y＝(eq\f(1，3））x的圖象向________平移________個(gè)單位長(zhǎng)度．7．(2011·黃山月考)函數(shù)f（x）＝eq\f(2x－1，x＋1）的圖象對(duì)稱中心是________．8．(2011·沈陽(yáng)調(diào)研）如下圖所示，向高為H的水瓶A、B、C、D同時(shí)以等速注水，注滿為止．（1)若水量V與水深h函數(shù)圖象是下圖的（a)，則水瓶的形狀是________；（2）若水深h與注水時(shí)間t的函數(shù)圖象是下圖的（b)，則水瓶的形狀是________．（3)若注水時(shí)間t與水深h的函數(shù)圖象是下圖的（c)，則水瓶的形狀是________；（4）若水深h與注水時(shí)間t的函數(shù)的圖象是圖中的（d)，則水瓶的形狀是________．三、解答題(共38分）9．(12分)已知函數(shù)f（x）＝x|m－x｜（x∈R），且f（4)＝0。(1）求實(shí)數(shù)m的值；（2)作出函數(shù)f（x）的圖象;（3）根據(jù)圖象指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;（4)根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式f(x）>0的解集；(5）求當(dāng)x∈［1，5)時(shí)函數(shù)的值域．10．（12分）(2011·三明模擬)當(dāng)x∈（1,2)時(shí),不等式(x－1）2〈logax恒成立，求a的取值范圍．11．(14分）已知函數(shù)f(x）＝－x2＋2ex＋m－1，g（x）＝x＋eq\f（e2，x）（x>0)．（1）若g（x）＝m有根，求m的取值范圍；(2)確定m的取值范圍，使得g（x）－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根．答案自主梳理2．③奇偶性單調(diào)性周期性3。（1)左右｜a|上下|a｜（2)a>1a〉10<a<1a（3）①原點(diǎn)y②y③x④原點(diǎn)⑤x＝a⑥(a，b)⑦上方自我檢測(cè)1．C［A項(xiàng)y＝lg（x＋3)＋1＝lg［10（x＋3）],B項(xiàng)y＝lg（x－3)＋1＝lg［10（x－3）］，C項(xiàng)y＝lg（x＋3)－1＝lgeq\f（x＋3,10）,D項(xiàng)y＝lg(x－3）－1＝lgeq\f(x－3,10).］2．C3．C[∵f(－x）＝－eq\f(1，x)＋x＝－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，x)－x））＝－f(x），∴f（x)是奇函數(shù)，即f(x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．］4．A[作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的圖象知滿足條件的x∈(－1，0）．]5．B［由f（4）·g(－4）〈0得a2·loga4<0,∴0〈a〈1。]課堂活動(dòng)區(qū)例1解（1）y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x－x2，0≤x≤1，,－x－x2，x〉1或x〈0,））即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（1，2)））2＋\f(1，4),0≤x≤1，，\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f（1，2))）2－\f(1,4)，x>1或x<0，)）其圖象如圖所示．(2）y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(1,2）））2－\f(1,4），x≥0,，\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(1,2)））2－\f(1,4)，x〈0,）)其圖象如圖所示．（3)作出y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）））x的圖象，保留y＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）))x圖象中x≥0的部分，加上y＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2))）x的圖象中x>0的部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分,即得y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2））)｜x|的圖象．變式遷移1解定義域是｛x｜x∈R且x≠±1｝,且函數(shù)是偶函數(shù)．又當(dāng)x≥0且x≠1時(shí)，y＝eq\f（1，x－1)。先作函數(shù)y＝eq\f(1,x）的圖象，并將圖象向右平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y＝eq\f（1，x－1）（x≥0且x≠1）的圖象（如圖（a）所示）．又函數(shù)是偶函數(shù),作關(guān)于y軸對(duì)稱圖象,得y＝eq\f（1，｜x|－1)的圖象(如圖(b）所示）．例2解題導(dǎo)引對(duì)于給定的函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系．(1）A[從f(x)、g（x）的圖象可知它們分別為偶函數(shù)、奇函數(shù)，故f(x）·g(x）是奇函數(shù),排除B.又x<0時(shí)，g(x）為增函數(shù)且為正值,f(x)也是增函數(shù)，故f(x）·g(x)為增函數(shù)，且正負(fù)取決于f(x)的正負(fù)，注意到x→（從小于0趨向于0），f（x)·g（x)→+∞，可排除C、D。］（2）A[因?yàn)閒(1-x）=f（-（x-1)）,故y=f（1—x)的圖象可以由y=f（x）的圖象按照如下變換得到：先將y=f（x）的圖象關(guān)于y軸翻折，得y=f（-x）的圖象，然后將y=f（—x）的圖象向右平移一個(gè)單位，即得y=f（—x+1)的圖象.］變式遷移2(1）A[考查函數(shù)y＝2x與y＝x2的圖象可知：當(dāng)x〈0時(shí),方程2x－x2＝0僅有一個(gè)零點(diǎn)，且→－∞；當(dāng)x〉0時(shí),方程2x－x2＝0有兩個(gè)零點(diǎn)2和4,且→＋∞。］（2）C[由圖象知f（x)為奇函數(shù),排除D；又0，±eq\f(π，2），±eq\f(3,2)π為方程f（x)＝0的根，故選C。]例3解題導(dǎo)引原方程重新整理為|x2－4x＋3|＝x＋a，將兩邊分別設(shè)成一個(gè)函數(shù)并作出它們的圖象，即求兩圖象至少有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)a的取值范圍．方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)了《考綱》中函數(shù)與方程的重要思想方法．解原方程變形為|x2－4x＋3|＝x＋a,于是,設(shè)y＝|x2－4x＋3|，y＝x＋a,在同一坐標(biāo)系下分別作出它們的圖象．如圖．則當(dāng)直線y＝x＋a過(guò)點(diǎn)(1，0）時(shí)a＝－1；當(dāng)直線y＝x＋a與拋物線y＝－x2＋4x－3相切時(shí)，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x＋a,y＝－x2＋4x－3）),得，x2－3x＋a＋3＝0，由Δ＝9－4(3＋a）＝0,得a＝－eq\f（3，4）.由圖象知當(dāng)a∈[－1，－eq\f(3,4)]時(shí)方程至少有三個(gè)根．變式遷移3（1，eq\f(5,4）)解析y＝x2－|x｜＋a＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)2＋a－\f(1,4）,x≥0,，x＋\f（1，2)2＋a－\f(1，4)，x〈0.）)當(dāng)其圖象如圖所示時(shí)滿足題意．由圖知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a〉1，，a－\f（1,4)<1，））解得1〈a<eq\f（5,4）.課后練習(xí)區(qū)1．D［f（x）＝2x＋2－x，因?yàn)閒(－x)＝f（x)，所以f(x）為偶函數(shù)．所以f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．］2.D［令y＝|x|,y＝｜x＋t｜，在同一坐標(biāo)系中作出其圖象，如圖，所以t＝1.]3．D[選項(xiàng)A、B、C中直線方程中的a的范圍與對(duì)數(shù)函數(shù)中的a的范圍矛盾．]4．C[函數(shù)y＝f（x)的圖象與函數(shù)y＝－f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱，函數(shù)y＝－f（x）的圖象向左平移1個(gè)單位即得到函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象．］5．B[∵b>0,∴前兩個(gè)圖象不是給出的二次函數(shù)圖象，又后兩個(gè)圖象的對(duì)稱軸都在y軸右邊，∴－eq\f(b,2a)>0,∴a<0，又∵圖象過(guò)原點(diǎn),∴a2－1＝0,∴a＝－1。］6．右1解析∵y＝3×（eq\f(1,3))x＝(eq\f（1，3））x－1，∴y＝(eq\f（1，3））x向右平移1個(gè)單位便得到y(tǒng)＝(eq\f(1,3）)x－1。7．(－1,2）解析∵f（x）＝eq\f（2x－1,x＋1)＝eq\f（2x＋1－3，x＋1)＝2－eq\f（3,x＋1)，∴函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為（－1,2)．8．（1)A(2)D（3）B（4）C9．解(1)∵f（4)＝0，∴4|m－4｜＝0，即m＝4.…………(2分）（2）f（x)＝x|x－4|＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(xx－4＝x－22－4，x≥4，,－xx－4＝－x－22＋4，x〈4.))………………(4分)f(x)的圖象如右圖所示．（3）由圖可知，f（x)的減區(qū)間是［2，4]．……………………（8分)（4)由圖象可知f(x）>0的解集為{x|0〈x〈4或x>4｝．………………………(10分）(5)∵f（5）＝5〉4，由圖象知，函數(shù)在[1,5）上的值域?yàn)閇0，5）．……………（12分)10.解設(shè)f1（x)＝（x－1)2，f2（x)＝logax，要使當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，不等式（x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝（x－1)2在(1，2)上的圖象在f2（x）＝logax的下方即可．當(dāng)0<a<1時(shí)，由圖象知顯然不成立．……………………（4分)當(dāng)a>1時(shí)，如圖，要使在(1，2)上,f1(x）＝（x－1)2的圖象