二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)(文)專題檢測(cè)(四)-常用邏輯用語、推理與證明、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

專題檢測(cè)（四）常用邏輯用語、推理與證明、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用一、選擇題1．(2018·南寧聯(lián)考)命題“?x0∈R，x0＋cosx0－ex0>1”的否定是()A．?x0∈R，x0＋cosx0－ex0<1B．?x0∈R，x0＋cosx0－ex0≥1C．?x∈R，x＋cosx－ex≥1D．?x∈R，x＋cosx－ex≤1解析：選D因?yàn)樗o命題是一個(gè)特稱命題，所以其否定是一個(gè)全稱命題，即“?x∈R，x＋cosx－ex≤1”．2．(2018·長(zhǎng)春質(zhì)檢)命題“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是()A．若x2≥1，則x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，則x2<1C．若x>1或x<－1，則x2>1D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1解析：選D命題的形式是“若p，則q”，由逆否命題的知識(shí)，可知其逆否命題為“若綈q，則綈p”的形式，所以“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是“若x≥1或x≤－1，則x2≥1”．故選D.3．(2018·南昌調(diào)研)已知m，n為兩個(gè)非零向量，則“m與n共線”是“m·n＝|m·n|”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選D當(dāng)m與n反向時(shí)，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n＝|m·n|，則m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉＝|m|·|n|·|cos〈m，n〉|，則cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0≤〈m，n〉≤90，此時(shí)m與n不一定共線，即必要性不成立．故“m與n共線”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要條件，故選D.4．(2018·安徽八校聯(lián)考)某參觀團(tuán)根據(jù)下列約束條件從A，B，C，D，E五個(gè)鎮(zhèn)選擇參觀地點(diǎn)：①若去A鎮(zhèn)，也必須去B鎮(zhèn)；②D，E兩鎮(zhèn)至少去一鎮(zhèn)；③B，C兩鎮(zhèn)只去一鎮(zhèn)；④C，D兩鎮(zhèn)都去或者都不去；⑤若去E鎮(zhèn)，則A，D兩鎮(zhèn)也必須去．則該參觀團(tuán)至多去了()A．B，D兩鎮(zhèn) B．A，B兩鎮(zhèn)C．C，D兩鎮(zhèn) D．A，C兩鎮(zhèn)解析：選C若去A鎮(zhèn)，根據(jù)①可知一定去B鎮(zhèn)，根據(jù)③可知不去C鎮(zhèn)，根據(jù)④可知不去D鎮(zhèn)，根據(jù)②可知去E鎮(zhèn)，與⑤矛盾，故不能去A鎮(zhèn)；若不去A鎮(zhèn)，根據(jù)⑤可知也不去E鎮(zhèn)，再根據(jù)②知去D鎮(zhèn)，再根據(jù)④知去C鎮(zhèn)，再根據(jù)③可知不去B鎮(zhèn)，再檢驗(yàn)每個(gè)條件都成立，所以該參觀團(tuán)至多去了C，D兩鎮(zhèn)．故選C.5．下列命題是真命題的是()A．?x∈(2，＋∞)，x2>2xB．“x2＋5x－6>0”是“x>2”的充分不必要條件C．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件D．a(chǎn)⊥b的充要條件是a·b＝0解析：選CA選項(xiàng)，當(dāng)x＝4時(shí)，x2與2x顯然相等．B選項(xiàng)，由x2＋5x－6>0，得{x|x>1或x<－6}，{x|x>2}?{x|x>1或x<－6}，故“x2＋5x－6>0”是“x>2”的必要不充分條件．C選項(xiàng)，當(dāng)a1<0，q>1時(shí)，數(shù)列{an}遞減；當(dāng)a1<0，數(shù)列{an}遞增時(shí)，0<q<1.D選項(xiàng)，當(dāng)a＝0或b＝0時(shí)，a·b＝0但不垂直，故選C.6．已知條件p：x＋y≠－2，條件q：x，y不都是－1，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A因?yàn)閜：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因?yàn)榻恞?綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件．7．給出下面四個(gè)類比結(jié)論：①實(shí)數(shù)a，b，若ab＝0，則a＝0或b＝0；類比復(fù)數(shù)z1，z2，若z1z2＝0，則z1＝0或z2＝0.②實(shí)數(shù)a，b，若ab＝0，則a＝0或b＝0；類比向量a，b，若a·b＝0，則a＝0或b＝0.③實(shí)數(shù)a，b，有a2＋b2＝0，則a＝b＝0；類比復(fù)數(shù)z1，z2，有zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，則z1＝z2＝0.④實(shí)數(shù)a，b，有a2＋b2＝0，則a＝b＝0；類比向量a，b，若a2＋b2＝0，則a＝b＝0.其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C對(duì)于①，顯然是正確的；對(duì)于②，若向量a，b互相垂直，則a·b＝0，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，取z1＝1，z2＝i，則zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若a2＋b2＝0，則|a|＝|b|＝0，所以a＝b＝0，故④是正確的．綜上，類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是2.8．某商場(chǎng)為了解商品的銷售情況，對(duì)某種電器今年一至五月份的月銷售量Q(x)(臺(tái))進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得數(shù)據(jù)如下：x(月份)12345Q(x)(臺(tái))691086根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為能較好地描述月銷售量Q(x)(臺(tái))與時(shí)間x(月份)變化關(guān)系的模擬函數(shù)是()A．Q(x)＝ax＋b(a≠0)B．Q(x)＝a|x－4|＋b(a≠0)C．Q(x)＝a(x－3)2＋b(a≠0)D．Q(x)＝a·bx(a≠0，b>0且b≠1)解析：選C觀察數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x增大時(shí)，Q(x)的值先增大后減小，且大約是關(guān)于Q(3)對(duì)稱，故月銷售量Q(x)(臺(tái))與時(shí)間x(月份)變化關(guān)系的模擬函數(shù)的圖象是關(guān)于x＝3對(duì)稱的，顯然只有選項(xiàng)C滿足題意，故選C.9．(2018·湘東五校聯(lián)考)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是()A．m>eq\f(1,4) B．0<m<1C．m>0 D．m>1解析：選C若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，則Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>eq\f(1,4)，因此當(dāng)不等式x2－x＋m>0在R上恒成立時(shí)，必有m>0，但當(dāng)m>0時(shí)，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m>0.10．在下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是()①命題p：“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－2≥0”的否定形式為綈p：“?x∈R，x2－2<0”；②O是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))，則O是△ABC的垂心；③“M>N”是“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))M>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))N”的充分不必要條件；④命題“若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題為“若x≠4，則x2－3x－4≠0”．A．1 B．2C．3 D．4解析：選C由特稱(存在性)命題與全稱命題的關(guān)系可知①正確．∵eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))，∴eq\o(OB,\s\up7(→))·(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→)))＝0，即eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(OB,\s\up7(→))⊥eq\o(CA,\s\up7(→)).同理可知eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))⊥eq\o(BA,\s\up7(→))，故點(diǎn)O是△ABC的垂心，∴②正確．∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x是減函數(shù)，∴當(dāng)M>N時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))M<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))N，當(dāng)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))M>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))N時(shí)，M<N.∴“M>N”是“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))M>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))N”的既不充分也不必要條件，∴③錯(cuò)誤．由逆否命題的寫法可知，④正確．∴正確的結(jié)論有3個(gè)．11．(2018·福州高三期末考試)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥1，,x＋2y≤2))的解集記為D.有下面四個(gè)命題：p1：?(x，y)∈D，x－2y≥2；p2：?(x，y)∈D，x－2y≥3；p3：?(x，y)∈D，x－2y≥eq\f(2,3)；p4：?(x，y)∈D，x－2y≤－2.其中的真命題是()A．p2，p3 B．p1，p4C．p1，p2 D．p1，p3解析：選A不等式組表示的可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝1，,x＋2y＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(1,3)，))所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3))).由圖可知，當(dāng)直線z＝x－2y過點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3)))時(shí)，z取得最小值，且zmin＝eq\f(4,3)－2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，所以真命題是p2，p3，故選A.12．一天，小亮看到家中的塑料桶中有一個(gè)豎直放置的玻璃杯，桶和玻璃杯的形狀都是圓柱形，桶口的半徑是杯口半徑的2倍，其正視圖如圖所示．小亮決定做個(gè)試驗(yàn)：把塑料桶和玻璃杯看作一個(gè)容器，對(duì)準(zhǔn)杯口勻速注水，注水過程中杯子始終豎直放置，則下列能反映容器最高水位h與注水時(shí)間t之間關(guān)系的大致圖象是()解析：選C向玻璃杯內(nèi)勻速注水，水面逐漸升高，當(dāng)玻璃杯中水滿時(shí)，開始向塑料桶內(nèi)流，這時(shí)水位高度不變，因?yàn)楸雍屯暗酌姘霃奖仁?∶2，則底面積的比為1∶4，在高度相同情況下體積比為1∶4，杯子內(nèi)水的體積與杯子外水的體積比是1∶3，所以高度不變時(shí)，杯外注水時(shí)間是杯內(nèi)注水時(shí)間的3倍，當(dāng)桶的水面高度與玻璃杯的水面高度一樣后，繼續(xù)注水，水面高度再升高，升高的速度開始慢，結(jié)合圖象知選C.13．觀察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，…，則52018的末四位數(shù)字為()A．3125 B．5625C．0625 D．8125解析：選B55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，……，可得59與55的后四位數(shù)字相同，由此可歸納出5m＋4k與5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位數(shù)字相同，又2018＝4×503＋6，所以52018與56的后四位數(shù)字相同，為5625，故選B.14．埃及數(shù)學(xué)中有一個(gè)獨(dú)特現(xiàn)象：除eq\f(2,3)用一個(gè)單獨(dú)的符號(hào)表示以外，其他分?jǐn)?shù)都要寫成若干個(gè)單位分?jǐn)?shù)和的形式，例如eq\f(2,5)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,15).可以這樣理解：假定有兩個(gè)面包，要平均分給5個(gè)人，若每人分得一個(gè)面包的eq\f(1,2)，不夠，若每人分得一個(gè)面包的eq\f(1,3)，還余eq\f(1,3)，再將這eq\f(1,3)分成5份，每人分得eq\f(1,15)，這樣每人分得eq\f(1,3)＋eq\f(1,15).形如eq\f(2,n)(n＝5,7,9，11，…)的分?jǐn)?shù)的分解：eq\f(2,5)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,15)，eq\f(2,7)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,28)，eq\f(2,9)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,45)，按此規(guī)律，eq\f(2,n)＝()A.eq\f(2,n＋1)＋eq\f(2,nn＋1) B.eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,nn＋1)C.eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,nn＋2) D.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋12n＋3)解析：選A根據(jù)分面包原理知，等式右邊第一個(gè)數(shù)的分母應(yīng)是等式左邊數(shù)的分母加1的一半，第二個(gè)數(shù)的分母是第一個(gè)數(shù)的分母與等式左邊數(shù)的分母的乘積，兩個(gè)數(shù)的原始分子都是1，即eq\f(2,n)＝eq\f(1,\f(n＋1,2))＋eq\f(1,\f(nn＋1,2))＝eq\f(2,n＋1)＋eq\f(2,nn＋1).15．一個(gè)人騎車以6m/s的速度勻速追趕停在交通信號(hào)燈前的汽車，當(dāng)他離汽車25m時(shí)，交通信號(hào)燈由紅變綠，汽車開始做變速直線行駛(汽車與人的前進(jìn)方向相同)，若汽車在時(shí)刻t的速度v(t)＝t(m/s)，那么此人()A．可在7秒內(nèi)追上汽車B．不能追上汽車，但其間最近距離為16mC．不能追上汽車，但其間最近距離為14mD．不能追上汽車，但其間最近距離為7m解析：選D因?yàn)槠囋跁r(shí)刻t的速度v(t)＝t(m/s)，所以加速度a＝eq\f(vt,t)＝1，所以汽車是勻加速運(yùn)動(dòng)，以汽車停止位置為參照，人所走過的位移為S1＝－25＋6t，汽車在時(shí)間t內(nèi)的位移為S2＝eq\f(t2,2)，故設(shè)相對(duì)位移為ym，則y＝－25＋6t－eq\f(t2,2)＝－eq\f(1,2)(t－6)2－7，故不能追上汽車，且當(dāng)t＝6時(shí)，其間最近距離為7m，故選D.16．“干支紀(jì)年法”是中國(guó)歷法上自古以來使用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀(jì)年法，其相配順序?yàn)椋杭鬃印⒁页?、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……共得?0個(gè)組合，周而復(fù)始，循環(huán)記錄．已知1894年是“干支紀(jì)年法”中的甲午年，那么2020年是“干支紀(jì)年法”中的()A．己亥年 B．戊戌年C．辛丑年 D．庚子年解析：選D由題知，天干的周期為10，地支的周期為12，因?yàn)?894年為甲午年，所以2014年為甲午年，從2014年到2020年，經(jīng)過了6年，所以天干中的甲變?yōu)楦?，地支中的午變?yōu)樽?，?020年是庚子年，故選D.二、填空題17．(2018·沈陽質(zhì)檢)在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的過程中，我們使用了倒序相加的方法，類比可求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.解析：令S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，①S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°，②則①＋②得2S＝89，S＝eq\f(89,2).答案：eq\f(89,2)18．設(shè)命題p：?a>0，a≠1，函數(shù)f(x)＝ax－x－a有零點(diǎn)，則綈p：_____________.解析：全稱命題的否定為特稱(存在性)命題，綈p：?a0>0，a0≠1，函數(shù)f(x)＝aeq\o\al(x,0)－x－a0沒有零點(diǎn)．答案：?a0>0，a0≠1，函數(shù)f(x)＝aeq\o\al(x,0)－x－a0沒有零點(diǎn)19．命題p：“?x∈R，ax2－2ax＋3>0恒成立”，命題q：“?x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”，若p∨q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：因?yàn)閜∨q為假命題，所以命題p和q都是假命題，命題p是真命題的充要條件是a＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4a2－12a<0))?0≤a<3，所以其為假的充要條件是a<0或a≥3，命題q的否定是真命題，即?x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，則Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3，所以－1≤a<0或a＝3.答案：[－1,0)∪{3}20．已知某房地產(chǎn)公司計(jì)劃出租70套相同的公寓房．當(dāng)每套房月租金定為3000元時(shí)，這70套公寓房能全部租出去；當(dāng)月租金每增加50元時(shí)(設(shè)月租金均為50元的整數(shù)倍)，就會(huì)多一套房子不能出租．設(shè)已出租的每套房子每月需要公司花費(fèi)100元的日常維修等費(fèi)用(設(shè)沒有出租的房子不需要花這些費(fèi)用)，則要使公司獲得最大利潤(rùn)，每套房月租金應(yīng)定為________元．解析：設(shè)利潤(rùn)為y元，租金定為3000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．則y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(58＋x＋70－x,2)))2＝204800，當(dāng)且僅當(dāng)58＋x＝70－x，即x＝6時(shí)，等號(hào)成立，故每月租金定為3000＋300＝3300(元)時(shí)，公司獲得最大利潤(rùn)．答案：330021．某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是________小時(shí)．解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(192＝eb，,48＝e22k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eb＝192，,e11k＝\f(1,2)，))當(dāng)x＝33時(shí)，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×192＝24.答案：2422．使用“□”和“○”按照如下規(guī)律從左到右進(jìn)行排位：□，○，□，○，○，○，□，○，○，○，○，○，□，○，○，○，○，○，○，○，…，若每一個(gè)“□”或“○”占一個(gè)位置，如上述圖形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是“□”，則第2019位之前(不含第2019位)，共有______個(gè)“○”．解析：記“□，○”為第1組，“□，○，○，○”為第2組，“□，○，○，○，○，○”為第3組，以此類推，第k組共有2k個(gè)圖形，故前k組共有k(k＋1)個(gè)圖形，因?yàn)?4×45＝1980<2018<45×46＝2070，所以在這2018個(gè)圖形中有45個(gè)“□”，1973個(gè)“○”．答案：197323．(2018·東北三校聯(lián)考)甲、乙、丙三位教師分別在哈爾濱、長(zhǎng)春、沈陽的三所中學(xué)里教不同的學(xué)科A，B，C，已知：①甲不在哈爾濱工作，乙不在長(zhǎng)春工作；②在哈爾濱工作的教師不教C學(xué)科；③在長(zhǎng)春工作的教師教A學(xué)科；④乙不教B學(xué)科．可以判斷乙