2023-2024學(xué)年隨州市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題含解析

2023-2024學(xué)年隨州市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．積分（）A. B.C. D.2．2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒?dòng)標(biāo)識（如圖1）.其中“100”的兩個(gè)“0”設(shè)計(jì)為兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切（如圖2）.已知，則由其中一個(gè)圓心向另一個(gè)小圓引的切線長與兩大圓的公共弦長之比為（）A. B.3C. D.3．有關(guān)橢圓敘述錯(cuò)誤的是（）A.長軸長等于4 B.短軸長等于4C.離心率為 D.的取值范圍是4．若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（）A.或 B.C.或 D.5．已知，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.C. D.6．若直線的斜率為，則的傾斜角為（）A. B.C. D.7．如圖，在長方體中，若，，則異面直線和所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．如圖，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過作直線與C及其漸近線分別交于Q，P兩點(diǎn)，且Q為的中點(diǎn)．若等腰三角形的底邊的長等于C的半焦距．則C的離心率為（）A. B.C. D.9．設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（，）C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg10．已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為A.2 B.3C.4 D.511．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，直角三角形的兩直角邊與斜邊的長分別稱“勾”“股”“弦”，且“”.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線交雙曲線左、右兩支于兩點(diǎn)，若恰好是的“勾”“股”，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.12．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數(shù)滿足，則的最小值是__________.14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在的一條漸近線上，若，則的離心率的取值范圍是________15．直線恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為________16．寫出一個(gè)漸近線的傾斜角為且焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為，其離心率，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)M作兩條不同的直線與橢圓C分別交于點(diǎn)A，B（均異于點(diǎn)M）.若∠AMB的角平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請給予證明；若不是，請說明理由.18．（12分）如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，為的中點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正切值19．（12分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值1.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于x的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20．（12分）某市對新形勢下的中考改革工作進(jìn)行了全面的部署安排.中考錄取科目設(shè)置分為固定賦分科目和非固定賦分科目，固定賦分科目（語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、體育與健康）按卷面分計(jì)算；非固定賦分科目（化學(xué)、生物、道德與法治、歷史、地理）按學(xué)生在該學(xué)科中的排名進(jìn)行等級賦分，即根據(jù)改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為A，，，，，，，共個(gè)等級.參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為，，，，，，，.等級考試科目成績計(jì)入考生總成績時(shí)，將A至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到，，，，，，，八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績.該市學(xué)生的中考化學(xué)原始成績制成頻率分布直方圖如圖所示：（1）求圖中的值；（2）估計(jì)該市學(xué)生中考化學(xué)原始成績不少于多少分才能達(dá)到等級及以上（含等級）？（3）由于中考改革后學(xué)生各科原始成績不再返回學(xué)校，只告知各校參考學(xué)生的各科平均成績及方差.已知某校初三共有名學(xué)生參加中考，為了估計(jì)該校學(xué)生的化學(xué)原始成績達(dá)到等級及以上（含等級）的人數(shù)，將該校學(xué)生的化學(xué)原始成績看作服從正態(tài)分布，并用這名學(xué)生的化學(xué)平均成績作為的估計(jì)值，用這名學(xué)生化學(xué)成績的方差作為的估計(jì)值，計(jì)算人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）附：，，.21．（12分）已知命題：，在下面①②中任選一個(gè)作為：，使為真命題，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.①關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等正根；②.（若選①、選②都給出解答，只按第一個(gè)解答計(jì)分.）22．（10分）如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn).求證：（1）平面；（2）平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)定積分的幾何意義求值即可.【詳解】由題設(shè)，定積分表示圓在x軸的上半部分，所以.故選：B2、C【解析】作出圖形，進(jìn)而根據(jù)勾股定理并結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求得答案.【詳解】如示意圖，由題意，，則，又，，所以，所以.故選：C.3、A【解析】根據(jù)題意求出，進(jìn)而根據(jù)橢圓的性質(zhì)求得答案.【詳解】橢圓方程化為：，則，則長軸長為8，短軸長為4，離心率，x的取值范圍是.即A錯(cuò)誤，B,C,D正確.故選：A.4、A【解析】由和的分母異號可得【詳解】由題意，解得或故選：A5、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】依題意，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，則點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：A6、C【解析】設(shè)直線l傾斜角為，根據(jù)題意得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率是，可得，又因?yàn)椋?，即直線的傾斜角為.故選：C.7、D【解析】根據(jù)長方體中，異面直線和所成角即為直線和所成角，再結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】解：連接、，如下圖所示由圖可知，在長方體中，且，所以，所以異面直線和所成角即為，又，，由余弦定理可得∶故選：D.8、C【解析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)雙曲線定義以及勾股定理列方程，解得離心率.【詳解】連接，由為等腰三角形且Q為的中點(diǎn)，得，由知．由雙曲線的定義知，在中，，（負(fù)值舍去）故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、雙曲線的離心率，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（），B正確；該大學(xué)某女生身高增加1cm，預(yù)測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學(xué)某女生身高為170cm，預(yù)測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯(cuò)誤故選D10、D【解析】拋物線焦點(diǎn)在軸上，開口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn)：本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到，可以簡化運(yùn)算.11、A【解析】根據(jù)雙曲線的定義及直角三角形斜邊的中線定理，再結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】如圖所示由題意可知，根據(jù)雙曲線的定義知，是的中點(diǎn)且.在中，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以.所以是等邊三角形，.在中，.由雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.12、C【解析】根據(jù)給定條件求出等比數(shù)列公比q的關(guān)系，再利用前n項(xiàng)和公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的的公比為q，由得：，解得，所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】利用“1”代換，結(jié)合基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值8.故答案為：8.14、【解析】設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段中點(diǎn)，所以有，代入坐標(biāo)求出點(diǎn)的軌跡為圓，因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離求出臨界狀態(tài)下漸近線的斜率，數(shù)形結(jié)合求出有公共點(diǎn)時(shí)漸近線斜率的范圍，從而求出離心率的范圍.【詳解】解：設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以有，即有，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以滿足：，代入可得：，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，如圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點(diǎn)，當(dāng)兩條漸近線與圓恰好相切時(shí)為臨界點(diǎn)，則：圓心到漸近線的距離為，因?yàn)椋?，即，且，所以，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，漸近線與圓有公共點(diǎn)，.故答案為：.15、【解析】解方程組可求得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】直線方程可化為，由，可得.故直線恒過定點(diǎn).故答案為：.16、(答案不唯一)【解析】根據(jù)已知條件寫出一個(gè)符合條件的方程即可.【詳解】如，焦點(diǎn)在y軸上，令，得漸近線方程為，其中的傾斜角為.故答案為：(答案不唯一).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）是，證明見解析【解析】（1）根據(jù)離心率及橢圓上的點(diǎn)可求解；（2）根據(jù)題意分別設(shè)出直線MA、MB，與橢圓聯(lián)立后得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過斜率公式計(jì)算即可證明.【小問1詳解】由，得，所以a2=9b2①，又橢圓過點(diǎn)，則②，由①②解得a=6，b=2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】設(shè)直線MA的斜率為k，點(diǎn)，因?yàn)椤螦MB的平分線與y軸平行，所以直線MA與MB的斜率互為相反數(shù)，則直線MB的斜率為-k.聯(lián)立直線MA與橢圓方程，得整理，得，所以，同理可得，所以，又所以為定值.18、（1）見解析；（2）.【解析】(1)證明BC⊥平面BDE即可；(2)以D為原點(diǎn)，DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，求平面BMD和平面BCD的法向量，利用法向量的求二面角的余弦，再求正切﹒【小問1詳解】∵ADEF為正方形∴ED⊥AD又∵正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，且ED?平面ADEF∴ED⊥平面ABCD∵BC?平面ABCD∴ED⊥BC在直角梯形ABCD中，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，則，|BD|＝2，在△BCD中，，∴BC⊥BD∵DE∩BD＝D，DE與BD平面BDE，∴BC⊥平面BDE又∵BC?平面BEC∴平面BDE⊥平面BEC；【小問2詳解】由(1)知ED⊥平面ABCD∵CD平面ABCD，∴CD⊥ED，∴DA，DC，DE三線兩兩垂直，故以D為原點(diǎn)，DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz：則,則設(shè)為平面BDM的法向量，則，取，取平面BCD的法向量為，設(shè)二面角的大小為θ，則，∴.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)，可得可得結(jié)果.（2）根據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想，可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并比較的極值與的大小關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）由，有，又有，解得：，，故函數(shù)的解析式為（2）由（1）有可知：故函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，所以的極小值為，極大值為由關(guān)于x的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即等價(jià)于函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)實(shí)數(shù)m的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)極值求函數(shù)的解析式，還考查了方程的根與函數(shù)圖像交點(diǎn)的等價(jià)轉(zhuǎn)換，屬基礎(chǔ)題.20、（1）（2）85（3）23【解析】（1）根據(jù)所有矩形面積之和等于1可得；（2）先根據(jù)矩形面積之和判斷達(dá)到等級的最低分?jǐn)?shù)為x所在區(qū)間，然后根據(jù)矩形面積之和等于0.9可得；（3）由題知，所以由可得.【小問1詳解】由得【小問2詳解】由題意可知，要使等級達(dá)到等級及以上，則成績需超過的學(xué)生.因?yàn)?，記達(dá)到等級的最低分?jǐn)?shù)為x，則，則由，解得所以該市學(xué)生中考化學(xué)原始成績不少于85分才能達(dá)到等級及以上.【小問3詳解】由題知，因?yàn)樗怨试撔W(xué)生的化學(xué)原始成績達(dá)到等級及以上的人數(shù)大約為人.21、答案見解析【解析】根據(jù)題意，分析、為真時(shí)的取值范圍，又由復(fù)合命題真假的判斷方法可得、都是真命題，據(jù)此分析可得答案.【詳解】解：選①時(shí)由知在上恒成立，∴，即又由q：關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等正根，