2023-2024學年云南省玉溪民族中學數(shù)學高二上期末教學質量檢測試題含解析

2023-2024學年云南省玉溪民族中學數(shù)學高二上期末教學質量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知正數(shù)x，y滿足，則取得最小值時（）A. B.C.1 D.2．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出S的結果是（）A.128 B.64C.16 D.323．若函數(shù)在上為單調減函數(shù)，則的取值范圍（）A. B.C. D.4．設太陽光線垂直于平面，在陽光下任意轉動棱長為一個單位的立方體，則它在平面上的投影面積的最大值是（）A.1 B.C. D.5．在區(qū)間內隨機取一個數(shù)x，則使得的概率為（）A. B.C. D.6．命題“”的一個充要條件是（）A. B.C. D.7．如圖，在棱長為1的正方體中，點B到直線的距離為（）A. B.C. D.8．俗話說“好貨不便宜，便宜沒好貨”，依此判斷，“不便宜”是“好貨”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)在上可導，且，則與的大小關系為A. B.C. D.不確定11．已知：，直線l：，M為直線l上的動點，過點M作的切線MA，MB，切點為A，B，則四邊形MACB面積的最小值為（）A.1 B.2C. D.412．如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點，，交其準線于點，準線與對稱軸交于點，若，且，則此拋物線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在學習《曲線與方程》的課堂上，老師給出兩個曲線方程；，老師問同學們：你想到了什么？能得到哪些結論？下面是四位同學的回答：甲：曲線關于對稱；乙：曲線關于原點對稱；丙：曲線與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積；?。呵€與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積；四位同學回答正確的有______（選填“甲、乙、丙、丁”）14．在平面幾何中有如下結論：若正三角形的內切圓周長為，外接圓周長為，則.推廣到空間幾何可以得到類似結論：若正四面體的內切球表面積為，外接球表面積為，則__________15．已知函數(shù)，則________.16．已知過橢圓上的動點作圓（為圓心）：的兩條切線，切點分別為，若的最小值為，則橢圓的離心率為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）數(shù)列中，，且.（1）證明；數(shù)列是等比數(shù)列.（2）若，求數(shù)列的前n項和.18．（12分）已知直線，以點為圓心的圓C與直線l相切（1）求圓C的標方程；（2）過點的直線交圓C于A，B兩點，且，求的方程19．（12分）設圓的圓心為A，直線l過點且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E（1）判斷與題中圓A的半徑的大小關系，并寫出點E的軌跡方程；（2）過點作斜率為，的兩條直線，分別交點E的軌跡于M，N兩點，且，證明：直線MN必過定點20．（12分）已知集合，.（1）當時，求AB；（2）設，，若是成立的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）某市對排污水進行綜合治理，征收污水處理費，系統(tǒng)對各廠一個月內排出污水量x噸收取的污水處理費y元，運行程序如圖所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）請寫出y與x的函數(shù)關系式；（2）求排放污水150噸的污水處理費用.22．（10分）已知拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，雙曲線E的漸近線方程為（1）求拋物線C的標準方程和雙曲線E的標準方程；（2）若O是坐標原點，直線與拋物線C交于A，B兩點，求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)基本不等式進行求解即可.【詳解】因為正數(shù)x，y，所以，當且僅當時取等號，即時，取等號，而，所以解得，故選：B2、C【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫出執(zhí)行步驟，即可確定輸出結果.【詳解】根據(jù)流程圖的執(zhí)行邏輯，其執(zhí)行步驟如下：1、成立，則；2、成立，則；3、成立，則；4、成立，則；5、不成立，輸出；故選：C3、A【解析】分析可知對任意的恒成立，利用參變量分離法結合二次函數(shù)的基本性質可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，則，當時，在上單調遞減，在上單調遞減，所以，，故.故選：A.4、C【解析】確定正方體投影面積最大時,是投影面與平面AB'C平行，從而求出投影面積的最大值.【詳解】設正方體投影最大時，是投影面與平面AB'C平行，三個面的投影為兩個全等的菱形，其對角線為，即投影面上三條對角線構成邊長為的等邊三角形，如圖所示，所以投影面積為故選：C5、A【解析】解一元一次不等式求不等式在上解集，再利用幾何概型的長度模型求概率即可.【詳解】由，可得，其中長度為1，而區(qū)間長度為4，所以，所求概率為故選：A.6、D【解析】結合不等式的基本性質，利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】A.當時，滿足，推不出，故不充分；B.當時，滿足，推不出，故不充分；C.當時，推不出，故不必要；D.因為，故充要，故選：D7、A【解析】以為坐標原點，以為單位正交基底，建立空間直角坐標系，取，，利用向量法，根據(jù)公式即可求出答案.【詳解】以為坐標原點，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，取，，則，，則點B到直線AC1的距離為.故選：A8、A【解析】將“好貨”與“不便宜”進行相互推理即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，“好貨”一定“不便宜”，但是“不便宜”不一定是“好貨”，所以“不便宜”是“好貨”的必要不充分條件.故選：A.9、A【解析】由函數(shù)在上單調遞增，可得，從而可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】由，得，因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即恒成立，因為，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：A10、B【解析】由,所以.11、B【解析】易知四邊形MACB的面積為，然后由最小，根據(jù)與直線l：垂直求解.【詳解】：化為標準方程為：,由切線長得：,四邊形MACB的面積為，若四邊形MACB的面積最小，則最小，此時與直線l：垂直，所以，所以四邊形MACB面積的最小值，故選：B12、B【解析】根據(jù)拋物線定義，結合三角形相似以及已知條件，求得，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，過作垂直于準線，垂足為，過作垂直于準線，垂足為，如下所示：因為，又//，，則，故可得，又△△，則，即，解得，故拋物線方程為：.故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、甲、乙、丙、丁【解析】結合對稱性判斷甲、乙的正確性；通過對比和與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積來判斷丙丁的正確性.【詳解】對于甲：交換方程中和的位置得，所以曲線關于對稱，甲回答正確.對于乙：和兩個點都滿足方程，所以曲線關于原點對稱，乙回答正確.對于丙：直線與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積為，，，在第一象限，直線與曲線都滿足，，，所以在第一象限，直線的圖象在曲線的圖象上方，所以，丙回答正確.對于?。簣A與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積為，在第一象限，曲線與曲線都滿足，，，，所以在第一象限，曲線的圖象在曲線的圖象下方，所以，丁回答正確.故答案為：甲、乙、丙、丁14、【解析】分析：平面圖形類比空間圖形,二維類比三維得到,類比平面幾何的結論,確定正四面體的外接球和內切球的半徑之比,即可求得結論.詳解：平面幾何中，圓的周長與圓的半徑成正比，而在空間幾何中，球的表面積與半徑的平方成正比，因為正四面體的外接球和內切球的半徑之比是，，故答案為.點睛：本題主要考查類比推理，屬于中檔題.類比推理問題，常見的類型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復數(shù)與實數(shù)的類比；（5）向量與數(shù)的類比.15、2【解析】根據(jù)導數(shù)的計算法則計算即可.【詳解】∵，∴，∴∴.故答案為：2.16、【解析】由橢圓方程和圓的方程可確定橢圓焦點、圓心和半徑；當最小時，可知，此時；根據(jù)橢圓性質知，解方程可求得，進而得到離心率.【詳解】由橢圓方程知其右焦點為；由圓的方程知：圓心為，半徑為；當最小時，則最小，即，此時最?。淮藭r，；為橢圓右頂點時，，解得：，橢圓的離心率.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)遞推公式，結合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進行證明即可；（2）運用裂項相消法進行求解即可.【小問1詳解】∵，∴，又∵，∴，∴數(shù)列是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，從而，∴數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）知，則，∴，∴.18、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)點到直線的距離公式求出半徑，即可得到圓C的標方程；（2）根據(jù)弦長公式可求出圓心C到直線的距離，再根據(jù)點到直線的距離公式結合分類討論思想即可求出【小問1詳解】設圓C的半徑為r，∵C與l相切，∴，∴圓C的標準方程為【小問2詳解】由可得圓心C到直線的距離∴當?shù)男甭什淮嬖跁r，其方程為，此時圓心到的距離為3，符合條件；當?shù)男甭蚀嬖跁r，設，圓心C到直線的距離，解得，此時的方程為，即綜上，的方程為或19、（1）與半徑相等，（2）證明見解析【解析】（1）依據(jù)橢圓定義去求點E的軌跡方程事半功倍；（2）直線MN要分為斜率存在的和不存在的兩種情況進行討論，由設而不求法把條件轉化為直線MN過定點的條件即可解決.【小問1詳解】圓即為，可得圓心，半徑，由，可得，由，可得，即為，即有，則，所以其與半徑相等.因為，故E的軌跡為以A，B為焦點的橢圓（不包括左右頂點），且有，，即，，，則點E的軌跡方程為；【小問2詳解】當直線MN斜率不存在時，設直線方程為，則，，，，則，∴，此時直線MN的方程為當直線MN斜率存在時，設直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立：，得，設，，有則將*式代入化簡可得：，即，∴，此時直線MN：，恒過定點又直線MN斜率不存在時，直線MN：也過，故直線MN過定點.【點睛】數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，數(shù)形結合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質；另外，由于使用了數(shù)形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。20、（1）；（2）.【解析】（1）由，解得范圍，可得，由可得：，解得．即可得出（2）由，解得．根據(jù)是成立的必要條件，利用包含關系列不等式即可得出實數(shù)的取值范圍【詳解】（1）由，解得，可得：，可得：，化為：，解得，所以=.（2）q是p成立的充分不必要條件，所以集合B是集合A的真子集.由，解得，又集合A=，所以或解得0≤a≤2，即實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定方法、集合之間的關系、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題21、（1）；（2）1400（元）.【解析】（1）根據(jù)已知條件即可容易求得函數(shù)關系式；（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)關系式，令，求得函數(shù)值即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，得：當時，；當時，；當時