2023-2024學(xué)年浙江省武義第三中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題含解析

2023-2024學(xué)年浙江省武義第三中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線與圓相交與A，B兩點，則AB的長等于（）A3 B.4C.6 D.12．若橢圓對稱軸是坐標軸，長軸長為，焦距為，則橢圓的方程（）A. B.C.或 D.以上都不對3．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B.C. D.4．已知命題p：函數(shù)在（0，1）內(nèi)恰有一個零點；命題q：函數(shù)在上是減函數(shù)，若p且為真命題，則實數(shù)的取值范圍是A. B.2C.1<≤2 D.≤l或>25．攢（cuán）尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣或園林式建筑．下圖是一頂圓形攢尖，其屋頂可近似看作一個圓錐，其軸截面（過圓錐軸的截面）是底邊長為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)拿娣e約為（）A. B.C. D.6．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程，則x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A. B.C. D.7．東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形.對于圖2.下列結(jié)論正確的是（）①這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形；②若，，則；③若，則；④若是的中點，則三角形的面積是三角形面積的7倍.A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④8．“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．若橢圓的弦恰好被點平分，則所在的直線方程為（）A. B.C. D.10．已知向量，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11．已知，，，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.12．早在古希臘時期，亞歷山大的科學(xué)家赫倫就發(fā)現(xiàn):光從一點直接傳播到另一點選擇最短路徑，即這兩點間的線段.若光從一點不是直接傳播到另一點，而是經(jīng)由一面鏡子(即便鏡面是曲面)反射到另一點，仍然選擇最短路徑.已知曲線，且將假設(shè)為能起完全反射作用的曲面鏡，若光從點射出，經(jīng)由上一點反射到點，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．隨機抽取某社區(qū)名居民，調(diào)查他們某一天吃早餐所花的費用（單位：元），所獲數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，則這個數(shù)據(jù)的眾數(shù)是_________14．關(guān)于曲線，則以下結(jié)論正確的個數(shù)有______個①曲線C關(guān)于原點對稱；②曲線C中，；③曲線C是不封閉圖形，且它與圓無公共點；④曲線C與曲線有4個交點，這4點構(gòu)成正方形15．已知向量，，，則___________.16．空間四邊形中，，，，，，，則與所成角的余弦值等于___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）令，求函數(shù)的零點；（2）令，求函數(shù)的最小值.18．（12分）如圖，在正方體中，為的中點，點在棱上（1）若，證明：與平面不垂直；（2）若平面，求平面與平面的夾角的余弦值19．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，記在區(qū)間的最大值為M，最小值為N，求的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上（1）求橢圓的標準方程；（2）若過定點的直線交橢圓于不同的兩點、(點在點、之間)，且滿足，求的取值范圍.21．（12分）已知O為坐標原點，雙曲線C：（，）的離心率為，點P在雙曲線C上，點，分別為雙曲線C的左右焦點，.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）已知點，，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，.證明：為定值.22．（10分）四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，（1）若為中點，求證平面；（2）若，求面與面的夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)弦長公式即可求出【詳解】因為圓心到直線的距離為，所以AB的長等于故選：C2、C【解析】求得、、的值，由此可得出所求橢圓的方程.【詳解】由題意可得，解得，，由于橢圓的對稱軸是坐標軸，則該橢圓的方程為或.故選：C.3、D【解析】設(shè)直線傾斜角為，則，即可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，又因為，所以.故選：D.4、C【解析】命題p為真時：；命題q為真時：，因為p且為真命題，所以命題p為真，命題q為假，即，選C考點：命題真假5、B【解析】由軸截面三角形，根據(jù)已知可得圓錐底面半徑和母線長，然后可解.【詳解】軸截面如圖，其中，，所以，所以，所以圓錐的側(cè)面積.故選：B6、B【解析】作出散點圖，由散點圖得出回歸直線中的的符號【詳解】作出散點圖如圖所示．由圖可知，回歸直線＝x＋的斜率＜0，當x＝0時，＝＞0.故選B【點睛】本題考查了散點圖的概念，擬合線性回歸直線第一步畫散點圖，再由數(shù)據(jù)計算的值7、A【解析】對于①，由三角形大邊對大角的性質(zhì)分析，對于②，根據(jù)題意利用正弦定理分析，對于③，利用余弦定理分析，對于④，利用三角形的面積公式分析判斷【詳解】對于①，根據(jù)題意，圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，故，，所以這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故①正確；對于②，由題知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因為，所以，故②正確；對于③，不妨設(shè)，所以在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)得，所以，所以，故③錯誤；對于④，若是的中點，則，所以，故④正確.故選：A第II卷（非選擇題8、A【解析】由正切函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用定義法判斷條件間充分、必要關(guān)系.【詳解】當，，則，當時，，.∴“，”是“”的充分不必要條件.故選：A9、D【解析】判斷點M與橢圓的位置關(guān)系，再借助點差法求出直線AB的斜率即可計算作答.【詳解】顯然點橢圓內(nèi)，設(shè)點，依題意，，兩式相減得：，而弦恰好被點平分，即，則直線AB的斜率，直線AB：，即，所以所在的直線方程為.故選：D10、A【解析】根據(jù)得出，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷.【詳解】解：∵，向量，，∴，即，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷：“”是“”的充分不必要條件，故選：A.11、A【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及根式的運算，確定的大小關(guān)系，則問題得解.【詳解】因為，即；又，故.故選：A.12、B【解析】記橢圓的右焦點為，根據(jù)橢圓定義，得到，由題中條件，確定本題的本質(zhì)即是求的最小值，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果.【詳解】記橢圓的右焦點為，根據(jù)橢圓的定義可得，，所以，因為，當且僅當三點共線時，，即；由題意可得，求的值，即是求最短路徑，即求的最小值，所以的最小值為，因此.故選：B.【點睛】思路點睛：求解橢圓上動點到一焦點和一定點距離和的最小值或差的最大值時，一般需要利用橢圓的定義，將問題轉(zhuǎn)化為動點與另一焦點以及該定點距離和的最值問題來求解即可.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將個數(shù)據(jù)寫出來，可得出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).【詳解】這個數(shù)據(jù)分別為、、、、、、、、、、、、、、，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為.故答案為：.14、2【解析】根據(jù)曲線的方程，以及曲線的對稱性、范圍，結(jié)合每個選項進行逐一分析，即可判斷.【詳解】①將方程中的分別換為，方程不變，故該曲線關(guān)于原點對稱，故正確；②因為，解得或，故，同理可得：，故錯誤；③根據(jù)②可知，該曲線不是封閉圖形；聯(lián)立與，可得：，將其視作關(guān)于的一元二次方程，故，所以方程無根，故曲線與沒有交點；綜上所述，③正確；④假設(shè)曲線C與曲線有4個交點且交點構(gòu)成正方形，根據(jù)對稱性，第一象限的交點必在上，聯(lián)立與可得：，故交點為，而此點坐標不滿足，所以這樣的正方形不存在，故錯誤；綜上所述，正確的是①③.故答案為：.【點睛】本題考察曲線與方程中利用曲線方程研究曲線性質(zhì)，處理問題的關(guān)鍵是把握由曲線方程如何研究對稱性以及范圍問題，屬困難題.15、2【解析】由空間向量數(shù)量積的坐標運算可得答案.【詳解】因為，，，所以，.故答案為：2.16、【解析】計算出的值，利用空間向量的數(shù)量積可得出的值，即可得解.【詳解】，，所以，，所以，.所以，與所成角的余弦值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）函數(shù)零點的個數(shù)，就是方程的解的個數(shù)，顯然是方程的一個解，再對a分類討論，即得函數(shù)的零點；（2）令，可得，得，再對二次函數(shù)的對稱軸分三種情況討論得解.【詳解】（1）由，可知函數(shù)零點的個數(shù)，就是方程的解的個數(shù)，顯然是方程的一個解；當時,方程可化為，得，由函數(shù)單調(diào)遞增，且值域為，有下列幾種情況如下:①當時，方程沒有根，可得函數(shù)只有一個零點；②當時，方程的根為，可得函數(shù)只有一個零點；③當且時，方程的根為，由，可得函數(shù)有兩個零點和；由上知，當或時，函數(shù)的零點為；當且時，數(shù)的零點為和.（2）令，可得，由，，可得，二次函數(shù)的對稱軸為，①當時，即，此時函數(shù)的最小值為；②當時，即，此時函數(shù)的最小值為；③當，即，此時函數(shù)最小值為.【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點問題，考查指數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖象，考查函數(shù)的最值問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設(shè)正方體的棱長為，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算出，即可證得結(jié)論成立；（2）利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，由得點的坐標為，，，因為，所以與不垂直，所以與平面不垂直【小問2詳解】解：設(shè)，則，，因為平面，所以，所以，得，且，即，所以，，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，因為平面，所以平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成夾角的余弦值為19、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求得，對參數(shù)進行分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的正負即可判斷的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，以及，再求其取值范圍即可.【小問1詳解】因為，故可得，令，可得或；當時，，此時在上單調(diào)遞增；當時，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問2詳解】由（1）可知：當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.則的最小值；又，當時，的最大值，此時；當時，的最大值，此時，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以；所以的取值范圍為.20、（1）（2）【解析】（1）代入點坐標，結(jié)合離心率，以及即得解；（2）設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達定理和判別式，分析即得解【小問1詳解】由題意可知：，解得：橢圓的標準方程為：【小問2詳解】①當直線斜率不存在，方程為，則，.②當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得：.由得：.設(shè)，，則，，又，，，則，，所以，所以，解得：,又，綜上所述：的取值范圍為.21、（1）（2）證明見解析【解析】(1)根據(jù)題意和雙曲線的定義求出，結(jié)合離心率求出b，即可得出雙曲線的標準方程；(2)設(shè)，根據(jù)兩點的坐標即可求出、，化簡計算即可.【小問1詳解】由題知：