中考真題之折疊問題

折疊問題折疊對象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查問題有求折點位置、求折線長、折紙邊長周長、求重疊面積、求角度、判斷線段之間關系等；解題時，靈活運用軸對稱性質和背景圖形性質。軸對稱性質-----折線是對稱軸、折線兩邊圖形全等、對應點連線垂直對稱軸、對應邊平行或交點在對稱軸上。壓軸題是由一道道小題綜合而成，常常伴有折疊；解壓軸題時，要學會將大題分解成一道道小題；那么多作折疊的選擇題填空題，很有必要。1、（2009年浙江省紹興市）如圖，分別為的，邊的中點，將此三角形沿折疊，使點落在邊上的點處．若，則等于（）A．B．C．D．第2題圖2、（2009湖北省荊門市）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則（第2題圖A．40°B．30°C．20°D．10°3、（2009年日照市）將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以點B′，F，C為頂點的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是．4、（2009年衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC邊上的高.將△ABC按如圖所示的方式折疊，使點A與點D重合，折痕為EF，則△DEF的周長為A．9.5B．10.5C．11D．15.55、（2009泰安）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中線CM將△CMA折疊，使點A落在點D處，若CD恰好與MB垂直，則tanA的值為．6、(2009年上海市)在中，為邊上的點，聯結（如圖3所示）．如果將沿直線翻折后，點恰好落在邊的中點處，那么點到的距離是．AA圖3BMC7、(2009寧夏)如圖：在中，，是邊上的中線，將沿邊所在的直線折疊，使點落在點處，得四邊形．求證：．EECBAD8、（2009年清遠）如圖，已知一個三角形紙片，邊的長為8，邊上的高為，和都為銳角，為一動點（點與點不重合），過點作，交于點，在中，設的長為，上的高為．（1）請你用含的代數式表示．（2）將沿折疊，使落在四邊形所在平面，設點落在平面的點為，與四邊形重疊部分的面積為，當為何值時，最大，最大值為多少？BBCNMA9、（2009恩施市）如圖，在中，的面積為25，點為邊上的任意一點（不與、重合），過點作，交于點．設，以為折線將翻折（使落在四邊形所在的平面內），所得的與梯形重疊部分的面積記為．（1）用表示的面積；（2）求出時與的函數關系式；（3）求出時與的函數關系式；（4）當取何值時，的值最大？最大值是多少？EEDBCABCA提示：相似、二次函數10、（2009年天津市）已知一個直角三角形紙片，其中．如圖，將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊交于點，與邊交于點．（Ⅰ）若折疊后使點與點重合，求點的坐標；提示：畫出圖形，圖中性質△ACD≌△BCD,△BDC∽△BOA,BC=ACxxyBOA（Ⅱ）若折疊后點落在邊上的點為，設，，試寫出關于的函數解析式，并確定的取值范圍；提示：畫圖，△COB＇中由勾股定理得出函數關系式，由x取值范圍確定y范圍。xxyBOA（Ⅲ）若折疊后點落在邊上的點為，且使，求此時點的坐標．提示：畫圖，△COB＇∽△BOAxxyBOA11、（2009年湖南長沙）如圖，二次函數（）的圖象與軸交于兩點，與軸相交于點．連結兩點的坐標分別為、，且當和時二次函數的函數值相等．（1）求實數的值；（2）若點同時從點出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．當運動時間為秒時，連結，將沿翻折，點恰好落在邊上的處，求的值及點的坐標；yOxCNBPMA（3）在（2）的條件下，二次函數圖象的對稱軸上是否存在點yOxCNBPMA提示：第（2）問發(fā)現特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°特殊圖形四邊形BNPM為菱形；第(3)問注意到△ABC為直角三角形后，按直角位置對應分類；先畫出與△ABC相似的△BNQ，再判斷是否在對稱軸上。12、（2009年浙江省湖州市）已知拋物線（）與軸相交于點，頂點為.直線分別與軸，軸相交于兩點，并且與直線相交于點.(1)填空：試用含的代數式分別表示點與的坐標，則；(2)如圖，將沿軸翻折，若點的對應點′恰好落在拋物線上，′與軸交于點，連結，求的值和四邊形的面積；(3)在拋物線（）上是否存在一點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，試說明理由.第（第（2）題xyBCODAMNN′xyBCOAMN備用圖（第12題）13、(2009成都)如圖，將矩形ABCD沿BE折疊，若∠CBA′=30°則∠BEA′=_____．14、（2009年涼山州）如圖，將矩形沿對角線折疊，使落在處，交于，則下列結論不一定成立的是（）A．B．CDABCDABED．A′GDBCA15、（2009年衡陽市）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，則A′GDBCAA．1B．C．D．216、（2009東營）如圖所示，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D，C分別落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，則∠AED′等于（）（A）70°（B）65°（C）50°（D）25°EEDBC′FCD′A17、（2009年淄博市）矩形紙片ABCD的邊長AB=4，AD=2．將矩形紙片沿EF折疊，使點A與點C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為（）ABCDEGF（17題）FA．8BABCDEGF（17題）F18、（09四川綿陽）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB:AD=4:3，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE，則DE:AC=（）A．1:3B．3:8C．8:27D．7:25AABCDE19、（2009仙桃）將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、EF為折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折疊后，點C落在AD邊上的C1處，并且點B落在EC1邊上的B1處．則BC的長為（）．A、B、2C、3D、20、（2009年佳木斯）如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點B′的位置，AB′與CD交于點E.（1）試找出一個與△AED全等的三角形，并加以證明.（2）若AB=8，DE=3，P為線段AC上的任意一點，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，試求PG+PH的值，并說明理由.21、（2009年鄂州市）如圖27所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO為邊作矩形CMNO(1)試比較EO、EC的大小，并說明理由(2)令，請問m是否為定值？若是，請求出m的值；若不是，請說明理由(3)在(2)的條件下，若CO＝1，CE＝，Q為AE上一點且QF＝，拋物線y＝mx2+bx+c經過C、Q兩點，請求出此拋物線的解析式.(4)在(3)的條件下，若拋物線y＝mx2+bx+c與線段AB交于點P，試問在直線BC上是否存在點K，使得以P、B、K為頂點的三角形與△AEF相似?若存在，請求直線KP與y軸的交點T的坐標?若不存在，請說明理由。22、（2009年湖北荊州）如圖，將邊長為8㎝的正方形ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在F處，折痕為MN，則線段CN的長是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cmNNMFEDCBA23、(2009年溫州)如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長為8，⊙0的半徑為2，圓心在正方形的中心上，將紙片按圖示方式折疊，使EA恰好與⊙0相切于點A′(△EFA′與⊙0除切點外無重疊部分)，延長FA′交CD邊于點G，則A′G的長是24、（2009年北京市）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為1，M、N分別是AD、BC邊上的點，將紙片的一角沿過點B的直線折疊，使A落在MN上，落點記為A′，折痕交AD于點E,若M、N分別是AD、BC邊的中點，則A′N= ;若M、N分別是AD、BC邊的上距DC最近的n等分點（,且n為整數），則A′N= （用含有n的式子表示）25、（2009山西省太原市）問題解決圖（1）ABCDEFMN如圖（1），將正方形紙片折疊，使點落在邊上一點（不與點，重合），壓平后得到折痕．當時，求圖（1）ABCDEFMN方法指導：方法指導：為了求得的值，可先求、的長，不妨設：=2類比歸納在圖（1）中，若則的值等于；若則的值等于；若（為整數），則的值等于．（用含的式子表示）聯系拓廣如圖（2），將矩形紙片折疊，使點落在邊上一點（不與點重合），壓平后得到折痕設則的值等于．（用含的式子表示）圖（圖（2）NABCDEFM26、（2009年哈爾濱）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，將梯形沿對角線BD折疊，點A恰好落在DC邊上的點A′處，若∠A′BC＝20°，則∠A′BD的度數為（）．DACB（A）15°（B）20°（C）25°（DDACB27、(2009年撫順市)如圖所示，已知：中，．（1）尺規(guī)作圖：作的平分線交于點（只保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作圖形中，將沿某條直線折疊，使點與點重合，折痕交于點，交于點，連接，再展回到原圖形，得到四邊形．試判斷四邊形的形狀，并證明；若，求四邊形的周長和的長．BBCA折疊問題折疊對象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查問題有求折點位置、求折線長、折紙邊長周長、求重疊面積、求角度、判斷線段之間關系等；解題時，靈活運用軸對稱性質和背景圖形性質。軸對稱性質-----折線是對稱軸、折線兩邊圖形全等、對應點連線垂直對稱軸、對應邊平行或交點在對稱軸上。壓軸題是由一道道小題綜合而成，常常伴有折疊；解壓軸題時，要學會將大題分解成一道道小題；那么多作折疊的選擇題填空題，很有必要。1、（2009年浙江省紹興市）如圖，分別為的，邊的中點，將此三角形沿折疊，使點落在邊上的點處．若，則等于（）A．B．C．D．第2題圖2、（2009湖北省荊門市）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則（第2題圖A．40°B．30°C．20°D．10°3、（2009年日照市）將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以點B′，F，C為頂點的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是．4、（2009年衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC邊上的高.將△ABC按如圖所示的方式折疊，使點A與點D重合，折痕為EF，則△DEF的周長為A．9.5B．10.5C．11D．15.55、（2009泰安）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中線CM將△CMA折疊，使點A落在點D處，若CD恰好與MB垂直，則tanA的值為．6、(2009年上海市)在中，為邊上的點，聯結（如圖3所示）．如果將沿直線翻折后，點恰好落在邊的中點處，那么點到的距離是．AA圖3BMC7、(2009寧夏)如圖：在中，，是邊上的中線，將沿邊所在的直線折疊，使點落在點處，得四邊形．求證：．EECBAD8、（2009年清遠）如圖，已知一個三角形紙片，邊的長為8，邊上的高為，和都為銳角，為一動點（點與點不重合），過點作，交于點，在中，設的長為，上的高為．（1）請你用含的代數式表示．（2）將沿折疊，使落在四邊形所在平面，設點落在平面的點為，與四邊形重疊部分的面積為，當為何值時，最大，最大值為多少？BBCNMA9、（2009恩施市）如圖，在中，的面積為25，點為邊上的任意一點（不與、重合），過點作，交于點．設，以為折線將翻折（使落在四邊形所在的平面內），所得的與梯形重疊部分的面積記為．（1）用表示的面積；（2）求出時與的函數關系式；（3）求出時與的函數關系式；（4）當取何值時，的值最大？最大值是多少？EEDBCABCA提示：相似、二次函數10、（2009年天津市）已知一個直角三角形紙片，其中．如圖，將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊交于點，與邊交于點．（Ⅰ）若折疊后使點與點重合，求點的坐標；提示：畫出圖形，圖中性質△ACD≌△BCD,△BDC∽△BOA,BC=ACxxyBOA（Ⅱ）若折疊后點落在邊上的點為，設，，試寫出關于的函數解析式，并確定的取值范圍；提示：畫圖，△COB＇中由勾股定理得出函數關系式，由x取值范圍確定y范圍。xxyBOA（Ⅲ）若折疊后點落在邊上的點為，且使，求此時點的坐標．提示：畫圖，△COB＇∽△BOAxxyBOA11、（2009年湖南長沙）如圖，二次函數（）的圖象與軸交于兩點，與軸相交于點．連結兩點的坐標分別為、，且當和時二次函數的函數值相等．（1）求實數的值；（2）若點同時從點出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．當運動時間為秒時，連結，將沿翻折，點恰好落在邊上的處，求的值及點的坐標；yOxCNBPMA（3）在（2）的條件下，二次函數圖象的對稱軸上是否存在點yOxCNBPMA提示：第（2）問發(fā)現特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°特殊圖形四邊形BNPM為菱形；第(3)問注意到△ABC為直角三角形后，按直角位置對應分類；先畫出與△ABC相似的△BNQ，再判斷是否在對稱軸上。12、（2009年浙江省湖州市）已知拋物線（）與軸相交于點，頂點為.直線分別與軸，軸相交于兩點，并且與直線相交于點.(1)填空：試用含的代數式分別表示點與的坐標，則；(2)如圖，將沿軸翻折，若點的對應點′恰好落在拋物線上，′與軸交于點，連結，求的值和四邊形的面積；(3)在拋物線（）上是否存在一點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，試說明理由.第（第（2）題xyBCODAMNN′xyBCOAMN備用圖（第12題）13、(2009成都)如圖，將矩形ABCD沿BE折疊，若∠CBA′=30°則∠BEA′=_____．14、（2009年涼山州）如圖，將矩形沿對角線折疊，使落在處，交于，則下列結論不一定成立的是（）A．B．CDABCDABED．A′GDBCA15、（2009年衡陽市）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，則A′GDBCAA．1B．C．D．216、（2009東營）如圖所示，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D，C分別落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，則∠AED′等于（）（A）70°（B）65°（C）50°（D）25°EEDBC′FCD′A17、（2009年淄博市）矩形紙片ABCD的邊長AB=4，AD=2．將矩形紙片沿EF折疊，使點A與點C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為（）ABCDEGF（17題）FA．8BABCDEGF（17題）F18、（09四川綿陽）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB:AD=4:3，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE，則DE:AC=（）A．1:3B．3:8C．8:27D．7:25AABCDE19、（2009仙桃）將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、EF為折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折疊后，點C落在AD邊上的C1處，并且點B落在EC1邊上的B1處．則BC的長為（）．A、B、2C、3D、20、（2009年佳木斯）如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點B′的位置，AB′與CD交于點E.（1）試找出一個與△AED全等的三角形，并加以證明.（2）若AB=8，DE=3，P為線段AC上的任意一點，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，試求PG+PH的值，并說明理由.21、（2009年鄂州市）如圖27所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO為邊作矩形CMNO(1)試比較EO、EC的大小，并說明理由(2)令，請問m是否為定值？若是，請求出m的值；若不是，請說明理由(3)在(2)的條件下，若CO＝1，CE＝，Q為AE上一點且QF＝，拋物線y＝mx2+bx+c經過C、Q兩點，請求出此拋物線的解析式.(4)在(3)的條件下，若拋物線y＝mx2+bx+c與線段AB交于點P，試問在直線BC上是否存在點K，使得以P、B、K為頂點的三角形與△AEF相似?若存在，請求直線KP與y軸的交點T的坐標?若不存在，請說明理由。22、（2009年湖北荊州）如圖，將邊長為8㎝的正方形ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在F處，折痕為MN，則線段CN的長是（）A．3cm B．4cm