專題2抽象函數(shù)

專題二抽象函數(shù)一、常見解題方法：特殊值法（賦值法）常見的賦值技巧：等等。（2）函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)(如奇偶性,單調(diào)性周期性,特殊點(diǎn)等)反應(yīng)出來的,抽象函數(shù)也是如此,只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì),靈活進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,抽象函數(shù)問題才能轉(zhuǎn)化,化難為易,常用的解題方法有:1,利用奇偶性整體思考;2,利用單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化;3,利用周期性回歸已知4;利用對(duì)稱性數(shù)形結(jié)合;5,借助特殊點(diǎn),布列方程等。（3）函數(shù)模型法初等函數(shù)模型抽象函數(shù)性質(zhì)正比例函數(shù)一次函數(shù)模型冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)正切函數(shù)，二、典型例題例1.已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有，且當(dāng)時(shí)，，又是判定該函數(shù)的奇偶性；是判斷該函數(shù)在上的單調(diào)性；求在[-12,12]上的最值。分析：容易知道是線性函數(shù)抽象得出的函數(shù)，即解析（1）令得得；再令得則，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)。（2）任取，則依題意。，即在上單調(diào)遞減。（3）由（2）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上單調(diào)遞減。在上是奇函數(shù)，所以。綜上。。。例2.已知函數(shù)對(duì)任意有，當(dāng)時(shí)，，，求不等式的解集。分析：一次函數(shù)模型，設(shè)，則滿足解：設(shè)且則即，故為增函數(shù)，因此不等式的解集為。例3.已知定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)對(duì)任意的都有，且當(dāng)時(shí)，。（1）求證：是偶函數(shù)；（2）求證：在上是增函數(shù)；（3）解不等式。分析：對(duì)數(shù)函數(shù)模型。設(shè)則解析：（1）令，則得；令，則得再令，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是偶函數(shù)。2)任取則因，，，為上的遞增函數(shù)。是增函數(shù)且是偶函數(shù)，，又原不等式等價(jià)于，又為上的遞增函數(shù)，解得的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意的，都有。求證：；（2）求證:對(duì)任意的恒有；求證：是上的增函數(shù)；解不等式。分析:指數(shù)函數(shù)模型，即滿足解析：（1）證明：對(duì)一切有。且，令，得(2當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，令，所以，。對(duì)任意的恒有。(3)設(shè)且，則，即為增函數(shù)。原不等式轉(zhuǎn)化為（因?yàn)椋┯桑?）知是上的增函數(shù)，所以，得原不等式的解集為例5.定義在（）上的函數(shù)滿足（1），對(duì)任意都有，（2）當(dāng)時(shí)，有，（1）試判斷的奇偶性；（2）判斷的單調(diào)性；（3）求證。分析：這是一道以抽象函數(shù)為載體，研究函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，再以這些性質(zhì)為基礎(chǔ)去研究數(shù)列求和的綜合題。解：（1）對(duì)條件中的，令，再令可得，所以是奇函數(shù)。（2）設(shè)，則，，由條件（2）知，從而有，即，故上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，在（0，1）上仍是單調(diào)減函數(shù)。（3）上的函數(shù)滿足對(duì)任意都有且當(dāng)時(shí)，。求證：函數(shù)是奇函數(shù)求證：函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)解不等式。例6．已知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時(shí)f(x)<0,且對(duì)任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減.命題意圖：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運(yùn)算能力和邏輯推理能力..知識(shí)依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想.錯(cuò)解分析：本題對(duì)思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準(zhǔn)確，運(yùn)算技能不過關(guān)，結(jié)果很難獲得.技巧與方法：對(duì)于(1)，獲得f(0)的值進(jìn)而取x=－y是解題關(guān)鍵；對(duì)于(2)，判定的范圍是焦點(diǎn).證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函數(shù).(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.令0<x1<x2<1,則f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由題意知f()<0，即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上為減函數(shù).例7已知對(duì)一切，滿足，且當(dāng)時(shí)，，求證：（1）時(shí)，（2）在R上為減函數(shù)。例題8、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m、n，總有，且時(shí)。（1）證明：f(0)=1，且x<0時(shí)f(x)>1；（2）證明：f(x)在R上單調(diào)遞減；（3）設(shè)，若，確定的范圍。（1）證明：令，已知時(shí)，設(shè)，，，即當(dāng)x<0時(shí)f(x)>1（2），則f(x)在R上單調(diào)遞減。（3）f(x)在R上單調(diào)遞減（單位圓內(nèi)部分）（一條直線）三、高考試題例11.已知的定義域?yàn)?，且?duì)一切正實(shí)數(shù)x，y都成立，若，則_______。例12.已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿足，并且有三個(gè)實(shí)根，則這三個(gè)實(shí)根之和是_______。分析：由知直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸。又有三個(gè)實(shí)根，由對(duì)稱性知必是方程的一個(gè)根，其余兩根關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故。滿足：，，則____________．例14．定義在上的函數(shù)滿足（），，則等于（A）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】(2010年高考重慶市理科15)解析：取x=1y=0