殊途同歸,打造高效課堂

殊途同歸，打造高效課堂——記《船有觸礁的危險嗎》課堂教學(xué)與作業(yè)反饋九江市同文中學(xué)鐘敏例題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個重要組成部分，是學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識、形成基本技能、培養(yǎng)思維能力的重要途徑。課本中的例題往往都是編者精挑細選，通過引入一定的生活情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，再由教師引導(dǎo)教學(xué)達到教學(xué)目標(biāo)的。如何充分的運用課本上的素材，挖掘習(xí)題資源的潛能，引導(dǎo)學(xué)生“一題多解、一題多用、多題一法”等，凸顯蘊涵其中的數(shù)學(xué)思想、方法。本文以北師大版《數(shù)學(xué)》九年級上冊1.4《船有觸礁的危險嗎》為例，共同探究課堂教學(xué)到底應(yīng)該給學(xué)生什么，才能更好地提高課堂教學(xué)的有效性。教材分析本節(jié)選取生活中的幾個題材：船有觸礁的危險嗎、小明測塔的高度、改變樓梯的安全性能等，使學(xué)生真正體會三角函數(shù)在解決問題中的重要作用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。本節(jié)的重點是讓學(xué)生親歷探索實際問題的過程，進一步體會三角函數(shù)在解決問題中的作用，能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助計算器進行三角函數(shù)的計算，并能對結(jié)果的意義進行說明，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和解決問題的能力。學(xué)生狀況分析大部分學(xué)生思維活躍，好奇心強，有強烈的求知欲望，平時課堂上學(xué)生愛討論，往往為一個問題爭得面紅耳赤。有一部分學(xué)生喜愛探究，遇到問題總喜歡探個究竟，愛動手擺一擺、試一試，從不同角度去研究；另外還有一部分學(xué)生熱愛與生產(chǎn)、生活有密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用意識較強，能把較復(fù)雜的問題簡單化，有一定轉(zhuǎn)化能力；但也有一部分學(xué)生學(xué)習(xí)被動，不能積極主動參與到學(xué)習(xí)中去，遇到不懂的問題便放下，等別人來解答。教學(xué)片斷情境問題(多媒體演示)：海中有一個小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁，今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達該島南偏西25°的C處。之后，貨輪繼續(xù)往東航行。你認為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進行交流。師問：貨輪向正東方向繼續(xù)行駛，有沒有觸礁的危險，由誰來決定?

生答：由A到BC的最短距離決定，根據(jù)題意，小島四周10海里內(nèi)有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里，則無觸礁的危險，如果小于10海里則有觸礁的危險。老師講解:過點A作AD⊥BC交BC的延長線于點D,如果AD>10海里,則無觸礁的危險.根據(jù)題意可知,∠BAD=55°,∠CAD=25°,BC=20海里.設(shè)AD=x海里,則因為20．79>10，所以貨輪沒有觸礁的危險。舉一反三，學(xué)生實踐：做一做：如圖，小明想測量塔CD的高度，他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進50m至B處，測得仰角為60°，那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計，結(jié)果精確到1m。)

老師先解釋仰角的概念，比較學(xué)習(xí)何為俯角。學(xué)生討論計算結(jié)果。生A演板：評析：該生做到這里便停了下來，最終沒有完成這道題。從解題方法來看，她并未按照老師在前面所展示的例題模式去應(yīng)用此類問題的方程解法，而是利用BC為未知數(shù)，通過兩個直角三角形中銳角三角函數(shù)的代入求解，方程看上去稍有些復(fù)雜，由于無理數(shù)的運算不夠熟練，該生最終放棄解題。一方面，我們需要表揚該生通過自己的實踐找到了正確解題思路，但從另一個角度來說突出了該生的不自信和計算能力差的弱勢。用投影儀展示學(xué)生B的解答：評析：該生能找到此題與觸礁問題的不同之處，從圖形上分析出一個為仰角、一個為俯角，三角函數(shù)的邊轉(zhuǎn)換又分別采用了乘法運算和除法運算。缺點是過程運算較為復(fù)雜，對運算能力較差的學(xué)生而言是個很大的障礙。投影儀展示學(xué)生C的解題思路：利用互余將仰角轉(zhuǎn)化為俯角，再根據(jù)觸礁問題的方法解決此題。解答：評析：該生非常聰明的在圖形中利用互余將仰角轉(zhuǎn)化為俯角，減少了計算量。同時進一步驗證了三角函數(shù)公式。學(xué)生D主動舉手講解他的解題思路：評析：當(dāng)大伙兒沉靜在設(shè)未知數(shù)，利用三角函數(shù)列方程的思維套路中時，該學(xué)生很巧妙的發(fā)現(xiàn)了特殊角，找到突破口，利用外角定理得出△ABD是一個等腰三角形，在Rt△BCD中，運用正弦值解決問題。此時，該作法贏得大家一片掌聲，但必須強調(diào)的是，若∠DBC≠2∠A時，此方法無法應(yīng)用，雖很巧妙，但過于特殊缺乏普遍意義。本節(jié)課我們花了半個小時的時間對該題進行討論，不可否認學(xué)生的熱情非常高漲，思維方式被有效拓展，從不同的路徑經(jīng)歷了探索的樂趣，這種智慧潛能的激發(fā)讓老師也頗感意外和欣喜。無獨有偶，作業(yè)反饋時，恰遇到這樣一道中考題。作業(yè)反饋：（2010年楚雄中考）如圖，河流的兩岸PQ，MN互相平行，河岸PQ上有一排小樹，已知相鄰兩樹之間的距離CD=50米，某人在河岸MN的A處測的∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到達B處，測的∠CBN=70°，求河流的寬度CE（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）。（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70Sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）以下選取了三位學(xué)生的作法并加以評析。學(xué)生A：過D作DG⊥MN，則DG=CE，DC=GE=50mBE=CEtan20°,AG=DGtan55°=CEtan55°∵AG+GE=AB+BE∴CEtan55°+50=120+CEtan20°CE=評析：該生雖然完成了此題，但輔助線做的并不理想，梯形AECD被拆分成Rt△ADG和矩形GECD。利用線段的等量關(guān)系列出方程解決問題。此方法給人的感覺有些復(fù)雜，但體現(xiàn)了該學(xué)生愛思考，還是值得老師關(guān)注的。學(xué)生B：過C作CH∥AD，得四邊形AHCD為平行四邊形∴AH=CD=50，∴HB=120m-50m=70m∵BE=HE=∴HE-BE=HB∴CE（tan55°-tan20°）=70∴CE=評析：該生所做的輔助線不同于學(xué)生A。通過平移變換將已知的線段量轉(zhuǎn)化為Rt△CHE中邊CH即可，運用新課中觸礁問題的解法便可解決此問題。此做法是對新授課內(nèi)容的很好應(yīng)用，舉一反三能力得到充分體現(xiàn)，值得稱贊。學(xué)生C：輔助線同學(xué)生B，∵∠HCB=∠HBE-∠CHE=35°∴BC=BH=70∴CE=CBtan70°=70tan70°評析：該生細心地發(fā)現(xiàn)∠CBE=2∠A，無需列方程，便可直接求出CE的長度。善于總結(jié)，活學(xué)活用，確實有事半功倍之效。此次作業(yè)反饋的質(zhì)量比較高，其中學(xué)生B和學(xué)生C的作法較為廣泛，大多數(shù)同學(xué)能正確運用課堂上所教授的方法，正確合理地計算出結(jié)果。本來一道較有難度的習(xí)題，無需教師精講，高效率的課堂交流早已使同學(xué)們真正掌握了新課的重難點內(nèi)容，于是課后很順利地完成了此題。通過此次課堂教學(xué)，我深刻的感受到學(xué)生的智慧無處不在，通過多種方法的相互比較基礎(chǔ)，不僅可以拓寬所有學(xué)生的視野，還可以培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性以及對問題進行分析、對比和歸納的習(xí)慣和能力。殊途真的可以同歸，