廣義區(qū)間值模糊粗糙集理論模型

廣義區(qū)間值模糊粗糙集理論模型

0廣義區(qū)間值模糊粗糊集模型的應用,還有助于人1982年，波蘭學者佩勒克提出了粗收集理論。粗糙集理論是一種刻畫不完整性和不確定性的數(shù)學工具,能有效地分析和處理不精確、不一致、不完整等各種不完備信息,并從中發(fā)現(xiàn)隱含的知識,揭示潛在的規(guī)律。區(qū)間值模糊集(IVF)是模糊集理論的一種推廣,它同時考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度這三個方面的信息。因此,它比傳統(tǒng)的模糊集在處理模糊性和不確定性等方面更具靈活性和實用性,已經(jīng)被廣泛應用到不同的領域。例如,文獻在近似推理方面的應用;文獻在區(qū)間值和直覺邏輯方面的應用。粗糙集理論和區(qū)間值模糊集理論都是處理信息系統(tǒng)中知識的不完善、不準確問題的工具,但各自特點不同,具有很強的互補性,因此把兩者結(jié)合起來是很自然的事情。例如,文獻基于區(qū)間值模糊算子研究了區(qū)間值模糊粗糙近似算子。然而,文獻中LI上的區(qū)間值模糊三角模與區(qū)間值模糊算子并不是對偶算子,只有當區(qū)間值模糊算子退化為一種特殊的算子時,才是對偶的。考慮到這一點,文獻在LI上定義了一種區(qū)間值模糊算子的剩余蘊含算子,進而討論了該算子一些有趣的性質(zhì)。本文利用文獻的這種區(qū)間值模糊剩余蘊含算子給出了它的對偶算子,把粗糙集理論和區(qū)間值模糊集理論結(jié)合起來,提出了一種廣義區(qū)間值模糊粗糙集模型,然后討論了該模型上、下近似算子的一系列性質(zhì)。最后,用公理化方法刻畫了這種廣義區(qū)間值模糊粗糙近似算子。1區(qū)間值模糊t-模本節(jié)我們主要介紹由Cornelis等人提出的在[0,1]2上一種特殊的完備格及它的一些邏輯運算。定義1.1設LI={[μ,v]∈[0,1]×[0,1]|μ≤v}。且v1≤v2,ue420[μ1,v1],[μ2,v2]∈LI。集對被稱作是一個完備的有界格。在上,算子∧和∨定義如下:ue420[μ1,ν1],[μ2,ν2]∈LI,[μ1,ν1]∧[μ2,ν2]=[min{μ1,μ2},min{ν1,ν2}],[μ1,ν1]∨[μ2,ν2]=[max{μ1,μ2},max{ν1,ν2}]。顯然,一個LI上的完備格有最小元和最大元定義1.2設A為論域U上的一個區(qū)間值模糊集,記作A={〈x,A(x)〉|x∈U},其中A:U→LI,x→A(x)=[μA(x),vA(x)]∈LI。為了方便起見,記A=[μA,vA]。論域U上的所有區(qū)間值模糊集記作IVF(U)。IVF(U)上的基本運算定義如下:ue420A,B∈IVF(U),設表示一個常值區(qū)間值模糊集:,ue420x∈U,其中α1≤α2。設任意的y∈U,,區(qū)間值模糊集[1,1]y,[1,1]U-{y}和[1,1]M定義如下:ue420x∈U,定義1.3設U和W是兩個非空集合,則U×W上一個區(qū)間值模糊子集R稱為U到W的區(qū)間值模糊關系,即為了簡便起見,記R=[μR,νR],其中μR和νR分別是U×W上的兩個模糊關系且滿足μR(x,y)≤νR(x,y),ue420(x,y)∈U×W。定義1.4如果:LI×LI→LI是一個遞增、可交換、可結(jié)合的映射且滿足,ue420α∈LI,則稱為一個LI上的區(qū)間值模糊三角模,簡稱為區(qū)間值模糊t-模。定義1.5如果:LI×LI→LI是一個遞增、可交換、可結(jié)合的映射且滿足,ue420α∈LI,則稱S為一個LI上的區(qū)間值模糊三角余模,簡稱為區(qū)間值模糊t-余模。定義1.6如果:LI→LI是一個遞減的映射且滿足,則稱是一個區(qū)間值模糊否算子。特別地,,則稱是一個對合的區(qū)間值模糊否算子;若,ue420[μ,ν]∈LI,則稱是一個標準的區(qū)間值模糊否算子。區(qū)間值模糊t-模與區(qū)間值模糊t-余模相對于區(qū)間值模糊否算子是對偶的當且僅當滿足下面的條件:定理1.1設T是[0,1]區(qū)間上的連續(xù)t-模,S是[0,1]區(qū)間上的連續(xù)t-余模,則通過以下式子定義方式可以生成區(qū)間值模糊t-模與區(qū)間值模糊t-余模:ue420I1=[μ1,v1],I2=[μ2,v2],2區(qū)間值模糊t-模文獻定義了區(qū)間值模糊蘊含算子Θ,它滿足LI上的史密斯公理。本小節(jié)利用這種區(qū)間值模糊蘊含算子,構造它的對偶算子,并討論其相關的性質(zhì),這為我們后面構建廣義區(qū)間值模糊粗糙集模型奠定了堅實的基礎。定義2.1設是LI上的區(qū)間值模糊t-模。區(qū)間值模糊t-模的剩余蘊含算子Θ定義如下:其中I1=[μ1,v1],I2=[μ2,v2]∈LI。定理2.1設T是[0,1]區(qū)間上的連續(xù)t-模,則通過以下式子定義方式可以生成區(qū)間值模糊t-模的剩余蘊含算子Θ:ue420I1,I2∈LI,其中θ是[0,1]區(qū)間上t-模的剩余算子,即θ(a,b)=sup{c∈I|T(a,c)≤b},其中a,b∈[0,1](見文獻)。定理2.2設T是[0,1]區(qū)間上的連續(xù)t-模,是標準的區(qū)間值模糊否算子。若區(qū)間值模糊t-余模定義如下:ue420I1=[μ1,v1],I2=[μ2,v2]∈LI,則證明由等式(5)和定義1.6直接可以得證。定理2.2表明由等式(1)給出的區(qū)間值模糊t-模與由等式(5)給出的區(qū)間值模糊t-余模相對于標準的區(qū)間值模糊否算子是對偶的?，F(xiàn)在我們定義LI上的一個二元運算:定理2.3設T是[0,1]區(qū)間上的連續(xù)t-模,則通過以下式子定義方式可以生成二元運算Ψ:ue420I1,I2∈LI,證明由等式(4)、(8)和定義1.6直接可以得證。定理2.4表明由等式(4)給出的區(qū)間值模糊蘊含算子Θ與由等式(8)給出的算子Ψ相對于標準的區(qū)間值模糊否算子是對偶的。定理2.5設T是[0,1]區(qū)間上的連續(xù)t-模。區(qū)間值模糊蘊含算子Θ的對偶算子Ψ具有以下性質(zhì):ue420I1,I2,I3∈LI,3廣義區(qū)間值模糊粗模擬本節(jié)我們利用區(qū)間值模糊剩余蘊含算子Θ和它的對偶算子Ψ,給出一種廣義區(qū)間值模糊粗糙集的上下近似算子,并討論其一系列有趣的性質(zhì),最后通過一個實例說明該模型的可行性。在本節(jié)中,假設是標準的區(qū)間值模糊否算子,即;N是[0,1]區(qū)間上的標準否算子,即N(x)=1-x,ue420x∈[0,1]。定義3.1設R是U到W的區(qū)間值模糊關系。稱三元組(U,W,R)是區(qū)間值模糊近似空間。對于任意的A∈IVF(U),A關于近似空間(U,W,R)的上近似珔RA和下近似RA是定義在U上的一對區(qū)間值模糊集,其隸屬函數(shù)定義為:稱為A關于近似空間(U,W,R)的廣義區(qū)間值模糊粗糙集,而分別為A關于近似空間(U,W,R)的廣義區(qū)間值模糊粗糙上、下近似算子。注(1)若LI上的區(qū)間值模糊算子I為區(qū)間值模糊剩余蘊含算子Θ時,則定義3.1的模型就轉(zhuǎn)化為文獻中的模型。定義3.1的模型最大優(yōu)點就是下近似算子不加任何限制條件,本身就滿足LI上的史密斯公理。(2)若Θ為[0,1]區(qū)間上的剩余蘊含算子,Ψ為[0,1]區(qū)間上剩余蘊含算子的對偶算子,R為U到W的一個模糊關系,為[0,1]區(qū)間上的標準否定算子,A為U上的一個模糊集合的時候,則定義3.1的模型就轉(zhuǎn)化為文獻中的模型?，F(xiàn)在我們討論廣義區(qū)間值模糊粗糙集的性質(zhì)。利用定義3.1和定理2.4,我們很容易得到下面的定理,該定理表明廣義區(qū)間值模糊粗糙集算子是互相對偶的。定理3.1設(U,W,R)是區(qū)間值模糊近似空間,則定理3.2設(U,W,R)是區(qū)間值模糊近似空間,則區(qū)間值模糊粗糙近似算子滿足下列性質(zhì):ue420A,B,Ai∈IVF(W),ue420i∈Π,Π是指標集,因此(IVFU1)成立。因此(IVFU3)成立。因此(IVFU7)成立。(IVFU8)通過等式(9),下面等式成立:因此(IVFU8)成立。(IVFU9)根據(jù)[1,1]M和ue133的定義,得到因此,4廣義區(qū)間值模糊近似算子本節(jié)我們通過定義一對抽象的區(qū)間值模糊近似算子,用公理化方法進一步刻畫廣義區(qū)間值模糊粗糙集模型的特性。需要注意的是,本節(jié)若不加特殊說明,論域U,W均為有限論域。定義4.1設L,H:IVF(W)→IVF(U)。稱L,H為對偶算子,若ue420A∈IVF(W),定義4.2設L,H:IVF(W)→IVF(U)為兩個對偶算子。稱L,H為區(qū)間值模糊近似算子,若H滿足公理(H1)和(H2),或者等價地,L滿足公理(L1)和(L2):ue420A,B∈IVF(W),[α1,α2]∈LI,則存在v∈IVF(W),使得另一方面,記,則于是,通過文獻定理4(3),有。對于成立,所以。由v的定義E(v)=[1,1],于是。這意味著E是單調(diào)的,因此。由文獻定理5(6),。綜上,引理4.2設L,H:IVF(W)→IVF(U)為兩個對偶的區(qū)間值模糊近似算子。即H滿足公理(H1)和(H2),L滿足公理(L1)和(L2)。對于任意的x∈U,存在區(qū)間值模糊集vx和ux∈IVF(W),使得下面等式成立:ue420A∈IVF(W),另一方面,由結(jié)論和已知條件,設H:IVF(W)→IVF(U)。下面我們定義一個特殊的U到W的區(qū)間值模糊關系RelH,其隸屬函數(shù)如下:定理4.1設R∈IVF(U×W),則定理4.2設L,H:IVF(W)→IVF(U)為一對對偶的區(qū)間值模糊近似算子,即H滿足公理(H1)和(H2),L滿足公理(L1)和(L2),則證明設對于任意的A∈IVF(W),x∈U,有由和已知條件很容易得到RelH=L。定理4.3設L,H是一對對偶算子,則存在一個U×W上的區(qū)間值模糊關系R,使得都成立的充分必要條件是L,H是區(qū)間值模糊近似算子,即L滿足公理(L1)和(L2),H滿足公理(H1)和(H2)。證明必要性由定理3.2直接可得。充分性令R=RelH,則。由定理4.2直接得證。定理4.3表明我們在第3節(jié)中定義的廣義區(qū)間值模糊粗糙近似算子可以通過公理(L1),(L2),(H1)和(H2)來刻畫。當[α1,α2]∈LI,A∈IVF(U)時,由定理2.5(5),有從而,因此(H2)是成立的。另一方面,設,則因此,(H1)不成立。這就是說,類似地,我們可以舉例說明注例4.1表明我們定義的公理(H1)與(H2),或者公理(L1)與(L2)是相互獨立的,這就是說,公理(H1)與(H2),公理(L1)與(L2)是刻畫廣義區(qū)間值模糊粗糙近似算子的最小公理集。5區(qū)間值模糊不是對偶的標準算子近幾年來,經(jīng)典粗糙集理論被廣泛推廣到模糊環(huán)境之中。本文利用粗糙集的構造性方法,借助區(qū)間值模糊蘊含算子和它的對偶算子,把它擴展到區(qū)間值模糊環(huán)境下,提出了一種廣義區(qū)間值模糊粗糙集模型,并討論了該模型一些有趣的性質(zhì)。在公理化方法中,我們指出廣義區(qū)間值模糊粗糙近似算子可以通過公理(L1),(L2),(H1)和(H2)來刻畫,并且通過一個實例說明它們是刻畫廣義區(qū)間值模糊粗糙近似算子的最小公理集。這項工作可看作是對文獻結(jié)論的推廣。我們相信本文給出的粗糙集構造性方法在區(qū)間值模糊環(huán)境下對粗糙集的實際應用會有所幫助,而其公理化方法對研究區(qū)間值模糊粗糙集的代數(shù)結(jié)構也會有所幫助。(1)當且僅當,即,μA(x)≤μB(x)且vA(x)≤vB(x),x∈U;證明與文獻中定理3的證明是類似的,這里不再贅述。定理2.4設標準的區(qū)間值模糊否算子,則,其中Ii,Ij∈LI,i,j∈Π,Π是任意的指標集。(13),其中Ii∈LI,i∈Π,Π是任意的指標集。證明性質(zhì)(1)~(14)根據(jù)定理2.4與文獻中定理4與定理5可以直接得證。(15)設ue420I3∈LI,都有。不妨假設,從而由上面的結(jié)論(2),成立,所以Ψ(I1,I3)=Ψ(I2,I3)。從而。根據(jù)上面結(jié)論(3),,即I1=I2,這與假設矛盾,從而為了方便起見,我們采用以下表示符號:ue420A∈IVF(U),,Ψ(A,B)(Θ(A,B))是定義在U上的區(qū)間值模糊集,滿足證明由于區(qū)間值模糊粗糙近似算子是對偶的,因此我們只需討論ue133。(IVFU1)根據(jù)等式(9),ue420x∈U,有(IVFU2)的證明類似于(IVFU1)。(IVFU3)ue420x∈U,有(IVFU4)在(IVFU3)中,只需令中的α1=0,α2=0即可得證。(IVFU5)和(IVFU6)的證明直接由等式(9)和定理2.5(2)即可得證。(IVFU7)根據(jù)[1,1]W-{y}和ue133的定義,可以得到因此(IVFU9)成立。例3.1設U=W={x1,x2}。A={〈x1,[0.1,0.7]〉,〈x2,[0.6,0.8]〉}∈IVF(U),且R={〈(x1,x1),[0.7,0.8]〉,〈(x1,x2),[0.3,0.5]〉,〈(x2,x1),[0.4,0.6]〉,〈(x2,x2),[0.1,1]〉}∈IVF(U×U),T=min。則類似地,因此,引理4.1設E:IVF(W)→LI滿足以下條件:ue4