奧數(shù)精講與訓(xùn)練第一冊

在快樂中學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中快樂！PAGE -PAGE１-前言在科技飛速發(fā)展的時代，在人才聚集的時代，每個國家都愈來愈重視教育，我們國家也提出了“科教興國”戰(zhàn)略。鄧小平說：“科技是第一生產(chǎn)力”胡錦濤主席說：“我們要發(fā)展成為一個創(chuàng)新型國家。”然而數(shù)學(xué)的發(fā)展對一個國家的科技發(fā)展有著決定性作用。人們愈來愈認(rèn)識到數(shù)學(xué)的重要性，也懂得數(shù)學(xué)早期培養(yǎng)的重要性。因此舉辦了很多內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)競賽。其中奧林匹克就是一項(xiàng)很重要也很有用的活動。數(shù)學(xué)奧林匹克競賽能夠很好的開發(fā)孩子智力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)邏輯思維，提高解決問題能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，提高教師教學(xué)水平，促進(jìn)教育改革等，為我國培養(yǎng)出更多更加優(yōu)秀的人才。本叢書根據(jù)學(xué)生的智力發(fā)展規(guī)律，掌握的基礎(chǔ)知識能力，奧林匹克精神，結(jié)合生活實(shí)際和數(shù)學(xué)故事，以精講的形式結(jié)合方法點(diǎn)撥，思維引導(dǎo)，章節(jié)訓(xùn)練進(jìn)行編輯。將奧數(shù)知識分專題講解，并附帶數(shù)學(xué)故事，真正貫徹了在學(xué)習(xí)中快樂，在快樂中學(xué)習(xí)的精神。使得孩子喜歡學(xué)，自己學(xué)，學(xué)了就懂，學(xué)了會用的目的。本叢書共分為4冊，包括所有小學(xué)奧數(shù)專題知識，由易到難，逐層深入。作者希望同學(xué)們在使用本書后，能夠在奧數(shù)專題知識，解決問題能力上有一個新的提高，在解決問題方法上，有一個新的突破。參加本書編寫的都是長期在數(shù)學(xué)各種競賽輔導(dǎo)第一線的有豐富經(jīng)驗(yàn)的老師，為本書增添了不少光彩。讓我們積極的享受學(xué)習(xí)奧數(shù)的樂趣，積極的參與各種奧數(shù)競賽，為自己人生寫下美好一筆，為祖國增添光彩吧！目錄TOC\o"1-2"\h\z\u第一章周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律 １蘋果樹下的例行出步 ３第二章倒推思想的應(yīng)用 ４“＞”、“＜”和“=”的本領(lǐng) ８第三章分?jǐn)?shù)的計算與比較大小 ９淘氣的數(shù)字“3” ２０第四章分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用 ２２韓信點(diǎn)兵 ２６第五章比和比例 ２７測量金字塔的高度 ３５第六章雞兔同籠 ３６維納的故事 ４０第七章容斥原理 ４１數(shù)學(xué)王國的巾幗英雄 ４６第八章同倍率變化規(guī)律 ４８小熊鋸木頭 ５０第九章工程問題 ５１狐貍賣蛋 ５５第十章綜合行程 ５７蝴蝶效應(yīng) ６７第十一章數(shù)的整除 ６８動物中的數(shù)學(xué)“天才” ７２第十二章質(zhì)數(shù)與合數(shù) ７３數(shù)學(xué)家的遺囑 ７８第十三章約數(shù)與倍數(shù) ７９麥比烏斯帶 ８６第十四章幾何面積 ８７一個故事引發(fā)的數(shù)學(xué)家 ９５第十五章不定方程 ９６為科學(xué)而瘋的人 １０１第十六章簡單方程 １０２數(shù)學(xué)家的“健忘” １０６普數(shù)奧數(shù)公式一覽 １０７第一章周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律生活中很多事物呈周期性變化，如一個星期7天，到第8天又是星期一，如此周而復(fù)始。又如分?jǐn)?shù)=0.142857142857…=可以寫成無限循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)為6位，也就是說，將寫成小數(shù)，在小數(shù)點(diǎn)后142857這六個數(shù)反復(fù)出現(xiàn)無窮循環(huán)，這也是一種周期問題。在具有周期現(xiàn)象的問題中，如能發(fā)現(xiàn)周期性，常能使看來復(fù)雜的問題輕易解決，例如求下列算式的和2002+2001-1999-1998+1997+1996-1995-1994+1993+……+6+5-4-3+2+1=2002+（2001-1999-1998+1997）+（1996-1995-1994+1993）+……+（5-4-3+2）+2002+0+0……+0+1=2003.我們發(fā)現(xiàn)，從2001開始，從左到右每4個數(shù)的代數(shù)和均為0，從而使2002個數(shù)的加、減運(yùn)算實(shí)際上變成2002+1這兩個數(shù)的和，問題大大的簡化了。解決周期性問題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)周期。周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。閏年：一年有366天；①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；平年：一年有365天。①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；例1在循環(huán)小數(shù)中，移動循環(huán)節(jié)的前一個小圓點(diǎn)，使得新的循環(huán)小數(shù)的第100位數(shù)字是5，問新的循環(huán)小數(shù)是什么？解：顯然，前一個小圓點(diǎn)的位置應(yīng)使“5”被包含在循環(huán)節(jié)中，用枚舉法討論，如果前一個小圓點(diǎn)加在“5”的上面，則循環(huán)節(jié)為3位數(shù)567.（100－4）÷3=32，到第100位數(shù)恰好用去32個循環(huán)節(jié)，第100位數(shù)字是7；如果前一個小圓點(diǎn)加在“4”的上面，則循環(huán)節(jié)為4位數(shù)4567.（100-3）÷4=24…1到第100位數(shù)字恰好用去24個循環(huán)節(jié)（4567）加1位，故第100位數(shù)字為4.如果前一個小圓點(diǎn)加在“3”的上面，則循環(huán)節(jié)為5位數(shù)34567，（100-2）÷5=19……3，到第100為恰好用去19個循環(huán)節(jié)，并在第29個循環(huán)節(jié)內(nèi)從左到右數(shù)3為，正好是5，所以新的循環(huán)小數(shù)為。例2四盞燈（如圖）組成舞臺彩燈，且每30秒鐘燈的顏色改變一次，第一次上下兩燈互換顏色，第二次左右兩燈互換顏色，第三次又上下兩燈互換顏色……這樣一直進(jìn)行下去，開燈1小時后四盞燈的顏色排列是什么形式的？解：如圖，每換四次，即每隔兩分鐘，四盞燈的顏色排列重復(fù)一次。因?yàn)?小時是30個兩分鐘，所以開燈1小時后四盞燈的顏色排列與開始是相同。例3我國農(nóng)歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬這12種動物按順序輪流代表各年的年號。已知2000年是龍年，問2100年是什么年？.C解：2000年和2100年相差了2100-2000=100(年),如果用蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬、鼠、牛、虎、兔、龍作為一周期的話,那就是100÷12=9(個)4(年),第個9周期的最后一年是龍年,應(yīng)為還多4年,所以2100年是猴年.習(xí)題1.將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)后，小數(shù)小數(shù)點(diǎn)后第110位上的數(shù)字是多少？2.甲、乙、丙三名學(xué)生，每天早晨輪流為李奶奶取牛奶。甲第一次取奶是星期一，他第100次取奶是星期幾？3.N是1、2、3、…、1995、1996、1997的最小公倍數(shù)，N等于個2與一個奇數(shù)的積。4.參加運(yùn)動會開幕式的旗手在運(yùn)動場排成一行，首先從左向右1至3報數(shù)，最右端的旗手報2；然后從右向左1至4報數(shù)，最左端的旗手報3.兩次都報1的旗手12人，共有多少旗手？蘋果樹下的例行出步

1884年春天，年輕的數(shù)學(xué)家阿道夫·赫維茨從哥廷根來到哥尼斯堡擔(dān)任副教授，年齡還不到25歲，在函數(shù)論方面已有出色的研究成果．希爾伯特和閩可夫斯基很快就和他們的新老師建立了密切的關(guān)系．他們這三個年輕人每天下午準(zhǔn)5點(diǎn)必定相會去蘋果樹下散步．希爾伯特后來回憶道：“日復(fù)一日的散步中，我們?nèi)悸耦^討論當(dāng)前數(shù)學(xué)的實(shí)際問題；相互交換我們對問題新近獲得的理解，交流彼此的想法和研究計劃．”在他們?nèi)酥?，赫維茨有著廣泛“堅實(shí)的基礎(chǔ)知識，又經(jīng)過很好的整理，”所以他是理所當(dāng)然的帶頭人，并使其他兩位心悅誠服．當(dāng)時希爾伯特發(fā)現(xiàn)，這種學(xué)習(xí)方法比鉆在昏暗的教室或圖書館里啃書本不知要好多少倍，這種例行的散步一直持續(xù)了整整八年半之久．以這種最悠然而有趣的學(xué)習(xí)方式，他們探索了數(shù)學(xué)的“每一個角落”，考察著數(shù)學(xué)世界的每一個王國，希爾伯特后來回憶道：“那時從沒有想到我們竟會把自己帶到那么遠(yuǎn)！”三個人就這樣“結(jié)成了終身的友誼．”

第二章倒推思想的應(yīng)用從前有一位老奶奶賣雞蛋，第一次賣了全部雞蛋的一半又加半個；第二次賣了余下的一半又加了半個；第三次賣了第二次余下的一半又加了半個，此時她還剩下一個雞蛋。問老奶奶原有雞蛋幾個？在這個問題中，我們發(fā)現(xiàn)直接從已知條件下手很難解決問題，那么我們不防換種思維方式，從結(jié)論入手進(jìn)行倒推，然后得出想要的結(jié)果。我們可以用倒推思想這樣想：第二次賣蛋后剩下的雞蛋個數(shù)為2×（1+）=3（個）；第一次賣蛋后剩下的雞蛋個數(shù)為2×（3+）=7（個）；原來有的雞蛋個數(shù)為2×（7+）=15（個）。這樣我們把問題很容易的解決了，那么我們可以再思考一下以后遇到類似的問題是否可以用相同的方法呢？那么我們現(xiàn)在來看看其它情況是否可以用這種方法解決問題.例1甲、乙、丙三堆石子共196塊，先從甲堆分給另外兩堆，使得這兩堆石子數(shù)量分別加一倍；再將乙堆照樣分配一次；最后將丙堆也照樣分配一次。結(jié)果丙堆的石子為甲堆石子的，問原來三堆石子中最少的一堆石子有多少塊？解：依題意，倒回去考慮。由于分配最后結(jié)果是丙堆的石子為甲堆石子數(shù)的，因此不妨設(shè)第三次分配后，丙堆有石子塊，甲堆有石子塊，那么乙堆有石子（塊）。第二次分配后（即丙將自己石子分給甲、乙，使他們石子數(shù)增倍前），此時甲堆有石子塊，乙堆有石子塊，丙堆有石子塊；第一次分配后（即乙將自己石子分配給甲、丙，使他們的石子數(shù)增倍前），甲堆有石子，乙堆有石子塊，丙堆有石子塊，因此原來（即在甲將自己的石子分配給乙、丙，使他們的石子數(shù)增倍前）三堆的石子數(shù)甲堆有（塊），乙堆有（塊），丙堆有（塊）。在倒推中知為正整數(shù)，從而推知為小于7的正偶數(shù)，即、4.當(dāng)時，三堆石子數(shù)不是整數(shù)，所以，從而甲、乙、丙三堆原來的石子數(shù)依次為109、60、27塊。最少一堆為丙堆，共有石子27塊。例2“貓捉老鼠”，如圖所示是一個的方格棋盤，有兩個棋子“貓”和“鼠”分別放在棋盤的圓圈中。開始時，貓在棋盤左上角，鼠可在棋盤圓圈中的任意位置。游戲規(guī)則是：棋子每一次移動可以從一圓圈沿直線移動到相鄰的圓圈（不允許輪到一到那個時呆在原地不動），兩個棋子輪流移動，請問按此規(guī)則貓是否一定能“捉到”老鼠？解：我們先將棋盤上24個圓圈安黑白兩色相同染色，此時與黑圈相鄰的必為兩個白圈、與白圈相鄰的必為兩個黑圈。貓要捉到老鼠時，老鼠的位置必與貓相鄰且輪到貓移動，此時貓、鼠所占的圈色必為異色。倒退一步想，在此前一步應(yīng)為老鼠移動，此時老鼠所在圓圈的顏色必與貓所在圓圈同色。由此推想，只要在老鼠移動后，下一步貓能確保移動到與老鼠同色的位置上即可。為此，貓可暫時不管鼠如何移動，先“占領(lǐng)”A圈（現(xiàn)在為黑圈），此時C圈為白圈、B圈為黑圈，然后伺機(jī)而動。若老鼠移入白圈，則貓由A移入C圈與老鼠同色；若老鼠移入黑圈，則貓由A移入B也與老鼠同色，然后緊追不舍（每次所占圓圈與老鼠同色）就可以捉住老鼠了。例3甲、乙兩個油桶各裝了15千克油，售貨員賣出了14千克從剩下較多油的甲桶倒一部分給乙桶，使得乙桶油增加1倍；然后從乙桶倒一部分油給甲桶，使甲桶油也增加1倍。這時甲桶油恰好是乙桶油的3倍，問售貨員從兩個桶里各賣了多少公斤油？解：賣前共有油30千克，賣出14千克后還有16千克油，最后甲桶油是乙桶油的3倍，因此甲桶有油（千克），乙桶有油（千克）。下列表依題意倒退推回去：甲桶乙桶乙桶倒給甲桶后124甲桶倒給乙桶后610甲桶倒給乙桶前115所以甲桶賣出（千克），乙桶賣出（千克）。例4一輛科學(xué)考察車要穿越人煙稀少地區(qū)，必須行駛414千米，汽車只能裝90升油，剛夠行駛270千米。司機(jī)決定出發(fā)前先運(yùn)一些油貯存在路上，經(jīng)計算知要設(shè)立兩個貯油站，問這兩個貯油站應(yīng)設(shè)在什么地方，使耗費(fèi)的汽油最少？解：如右圖，O表示起點(diǎn)，P表示終點(diǎn)。汽車一次能行駛270千米（需裝油90升），設(shè)一個貯油站在B點(diǎn)，使BP=270（千米），于是問題轉(zhuǎn)化為怎樣將90升油運(yùn)到B處。由于OB=414－270=144（千米），因此在OB間必須另設(shè)一個貯油站A，由A向B運(yùn)送90升油貯存起來。為此汽車需在A貯存油180升，其中90升運(yùn)往B點(diǎn)貯存起來，90升消耗在AB的路上。先從A到B，又從B返A(chǔ)，再從A到B，全長3AB。3AB=270，所以AB=270÷3=90（千米），即A在OB間距B90千米處，從而OA=144-90=54（千米），跑54千米耗油54÷3=18（升）。每次往返可在A點(diǎn)貯油90-2×18=54（升），貯油180升需往返2次后，再往A點(diǎn)跑一次。這樣總共耗油分三段，OA段耗油5×18=90（升），此時A點(diǎn)已貯油180升；AB段耗油90升，使B點(diǎn)貯油90升；BP點(diǎn)耗油90升，考察車到達(dá)終點(diǎn)，共計耗油90+90+90=270（升）。習(xí)題一、填空題：1.將一個數(shù)做如下運(yùn)算：乘以4，在加上112，減去20，最后除以4.這時得結(jié)果100，這個數(shù)是。2.兩個兩位數(shù)之和為198，這兩個兩位數(shù)分別是。3.已知3個互不相同的自然數(shù)之和為55，其中每兩個數(shù)之和分別是完全平方數(shù)。這三個自然數(shù)分別是。4.兩個兩位質(zhì)數(shù)之和是66，這兩個兩位數(shù)質(zhì)數(shù)是。5.小明在計算某數(shù)除以3.75時，把除號看成了乘號，得結(jié)果225.這道題的正確答案是。二、解答題6.一次考試后，小張向李軍外語考試得多少分，李軍回答說：“用我得的分?jǐn)?shù)減取8加上10，再除以7，隨后乘以4，得56”7.一群螞蟻搬家，原有一堆食物，第一次運(yùn)出的比全堆的一半少120克，第二次運(yùn)出的量比剩下的一半多100克，第三次運(yùn)出480克。這時窩里還有280克，問窩內(nèi)原有多少食物？8.籃子里有一些雞蛋，小明取走的比總數(shù)的一半多1個，小李取走的比余下的一半多1個，小軍取走的比小明取走后剩下的一半多1個。這時籃子里剩雞蛋1個，問籃子里原來有雞蛋多少個？9.兩人做一個移火柴的游戲，比賽的規(guī)則是：兩人從一堆火柴中可輪流移走1到7根火柴，直至移盡為止，輪到誰移走最后一根就算誰輸。如果開始時有1000根火柴，問首先移火柴的人在第一次移走多少根時才能在游戲中保證獲勝？10.500名士兵排成一列橫隊，第一次從做到右1、2、3、4、5（1至5）報數(shù)，第二次反過來從右到左1、2、3、4、5、6（1至6）報數(shù)，問既報1又報6的士兵有多少名？“＞”、“＜”和“=”的本領(lǐng)

很久很久以前，數(shù)學(xué)王國里亂糟糟的，沒有任何秩序。0~9十個兄弟不僅在王國中稱王稱霸，而且他們彼此之間總是吹噓自己的本領(lǐng)最大。數(shù)字天使看見這種情況很生氣，于是就派“＞”、“＜”和“=”三個小天使到數(shù)學(xué)王國，要求他們一定要讓王國變得有秩序起來。

三個小天使來到了數(shù)學(xué)王國，0~9十兄弟輕蔑地盯著他們，“9”問道：“你們?nèi)齻€是干什么的？我們的王國不歡迎你們?！?/p>

“=”天使笑了笑說：“我們是天使派到你們王國的法官，幫助你們治理好你們的國家。我是‘等號’在我兩邊的數(shù)字總是相等的；這兩位是‘大于號’和‘小于號’他們開口朝誰，誰就大，尖尖朝誰，誰就小?！?/p>

0~9十兄弟一聽他們是數(shù)字天使派來的法官，以及“=”的介紹，都乖乖地服從“＞”、“＜”和“=”的命令。

從此以后，數(shù)學(xué)王國越來越強(qiáng)盛，而且有著十分嚴(yán)格的秩序，任何人都不會違反。

小朋友們，你們說“＞”、“＜”和“=”的本領(lǐng)大不大呢？第三章分?jǐn)?shù)的計算與比較大小一．分?jǐn)?shù)的計算分?jǐn)?shù)計算是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分也是日常生活種經(jīng)常遇到的問題，因此學(xué)好分?jǐn)?shù)計算不僅是我們的任務(wù)更是我們的實(shí)際需要。分?jǐn)?shù)計算同整數(shù)計算一樣，即有知識要求又有能力要求。法則、定理、性質(zhì)是進(jìn)行計算的依據(jù)。要使計算快速、準(zhǔn)確，關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算技巧。對于復(fù)雜的分?jǐn)?shù)運(yùn)算題，常用的方法和技巧是通分、約分、湊整、分解、分析等。例1計算解：原式=（19+9+7+3+8+4）+（）=50+===50+1－=例2計算分析可以清楚地看到分子的括號部分與分母可以通過乘法意義轉(zhuǎn)化成同一個算式，從而使計算簡便。解：原式====1999.例3計算分析：若按部就班，計算的復(fù)雜性是可想而知的。通過觀察，3.6=，。因此在第一個括號中，可以把提取出來，再計算。解：原式=====10例4計算解：仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)每個分?jǐn)?shù)都可以約分，于是原式====例5計算。分析把相同的算式用同一個字母表示，先進(jìn)行字母運(yùn)算，得到最簡單的字母表達(dá)式代入，這是常用的一種巧妙的方法。解：令，。原式=（1+B）×A－（1+A）×B=A+AB-B-AB=A-B。所以原式===。例6計算（。分析由于99=33×3=11×9，因此可以把兩個括號內(nèi)的數(shù)分拆成整數(shù)與分?jǐn)?shù)的和，這樣就有公因數(shù)（1+3+9）。解：原式====。習(xí)題一1.計算2.計算3.計算4.計算5.計算6.計算7.有30個數(shù)：1.65，1.65+，，…，，。如果取每個數(shù)的整數(shù)部分，并將這些數(shù)相加，那么其中和是多少？8.計算9.計算10.計算二．比較大小與估算1.比較大小方法點(diǎn)撥：比較兩個分?jǐn)?shù)的大小，有兩種基本方法。第一種是：如果兩個分?jǐn)?shù)分母相同，分子大的分?jǐn)?shù)較大；第二種是：如果兩個分?jǐn)?shù)分子相同，分母小的分?jǐn)?shù)較大；或者統(tǒng)一分母，或者統(tǒng)一分子進(jìn)行比較。另外還有其它特殊方法，例如，相減做差比較法，如果差大于0，那么減數(shù)就小于被減數(shù)，否則，減數(shù)大于被減數(shù)；相除做商法，如果商大于1則被除數(shù)大于除數(shù)，否則，被除數(shù)小于除數(shù)；交叉相乘法比較，分?jǐn)?shù)和（b，d都大于0），如果,那么；倒數(shù)比較，倒數(shù)大的分?jǐn)?shù)小于倒數(shù)小的分?jǐn)?shù)；化為小數(shù)或循環(huán)小數(shù)比較等等。例1分?jǐn)?shù)、、、、中，哪一個最大？分析這五個分?jǐn)?shù)的分子和分母都不想同，如果統(tǒng)一分母，顯然計算量大。統(tǒng)一分子，可以看出分子的最小公倍數(shù)是，于是統(tǒng)一分子后比較好算。解：把五個分?jǐn)?shù)的分子變成相同的則，，，，，根據(jù)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，分子相同的分?jǐn)?shù)，分母小的分?jǐn)?shù)大，所以這五個分?jǐn)?shù)中最大的分?jǐn)?shù)是。例2比較和的大小。分析這兩個分?jǐn)?shù)的分子和分母都很接近，且都相差2.先分別求出和為1的另一個分?jǐn)?shù)，比較兩個分子相同的分?jǐn)?shù)，再比較原來的兩個分?jǐn)?shù)。解：因?yàn)?，，而，所以，即。?若，，比較與的大小。解：由于這兩個分?jǐn)?shù)的分子都是1，只要比較這兩個分?jǐn)?shù)分母的大小就可以了。分?jǐn)?shù)B的分母為：=19982+1997（1997-1998）=19982-1997=19982-1998+1與分?jǐn)?shù)A的分母相同，所以分?jǐn)?shù)A與分?jǐn)?shù)B的大小相等。例4在下列方框內(nèi)填兩個相鄰的整數(shù)，使不等式成立?！酴偐偂?。解：因?yàn)?，所?=﹤==3因此上面兩個方框內(nèi)應(yīng)分別填2和3，即,﹤﹤例5設(shè)，求N的整數(shù)部分。解：令，，，則，，所以，。又，即，所以，從而。所以N的整數(shù)部分是20009。例6設(shè)A是一個整數(shù)，求A，使得下面等式成立。，因?yàn)?，?===。所以。故A=2習(xí)題二一．填空題1.比較大?。?.比較大?。?.比較大小：4.比較大?。?.比較大?。?.比較大?。?.比較下列五個數(shù)的大小（按從大到小排列）：，，，，。8.在、、、、中最大的數(shù)是。9.A=12345678910111213÷312111101987654321，A的小數(shù)點(diǎn)后的前3位數(shù)字是。10.求的整數(shù)部分是。11.求的整數(shù)部分。12.有一個分?jǐn)?shù)，分母加上某數(shù)，而分子減去此數(shù)的2倍，分?jǐn)?shù)值變?yōu)?，求此?shù)。2.估算與取整某校師生為貧困地區(qū)捐款1995元。這個學(xué)校共有35名教師，14個教學(xué)班。各班的學(xué)生人數(shù)相同，且不少于30人，不超過45人。如果平均每人捐款的錢數(shù)是整數(shù)，那么平均每人捐款多少元？解決這個問題的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)題目所給的班級學(xué)生人數(shù)的范圍，先求出平均每人捐款錢數(shù)的范圍，然后再依據(jù)其他條件確定所求的整數(shù)值。方法點(diǎn)撥：用估算法求整數(shù)值是一種非常靈活的思想方法，它所涉及的問題面很廣泛，常常需要我們因題而宜地解決問題具體分析找到合適的揭露，當(dāng)然它的基礎(chǔ)仍是運(yùn)用各種運(yùn)算法則與技巧進(jìn)行快速的近似計算。首先估算出（或判斷出）問題解所在的數(shù)值范圍，進(jìn)而在此范圍內(nèi)依題目的條件確定整數(shù)解。例1某校師生為貧困地區(qū)捐款1995元。這個學(xué)校共有35名教師，14個教學(xué)班。各班的學(xué)生人數(shù)相同，且不少于30人，不超過45人。如果平均每人捐款的錢數(shù)是整數(shù)，那么平均每人捐款多少元？解：依題意有30×14+35=455（人）≤全校師生總數(shù)≤45×14+35=665（人），所以1995÷665=3（元）≤平均每人捐款≤1995÷445=（元）。由于平均每人捐款數(shù)應(yīng)為1995的約數(shù)，因?yàn)?不是1995的約數(shù)而3是1995的約數(shù)，所以平均每人捐款3元。說明：解決此題的第一步是依班級人數(shù)的范圍（30≤每班人數(shù)≤45），估計出平均每人捐款的范圍（3（元）≤平均每人捐款范圍≤（元），在此范圍內(nèi)的整數(shù)有3與4.第二步，由該整數(shù)應(yīng)為1995的約數(shù)，排除4得到3.例2有一列數(shù)，第一個數(shù)是105，第二個是85，從第三個開始，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)的平均數(shù)，那么第19個數(shù)的整數(shù)部分是幾？分析根據(jù)平均數(shù)的概念知，該數(shù)值介于被求“平均”兩數(shù)之間，我們知道，隨著求平均數(shù)的增加，所得平均數(shù)值的范圍會逐漸變窄，從而其整數(shù)部分將逐漸“穩(wěn)定”。解：第三個數(shù)=（105+85）÷2=95.第四個數(shù)=（85+95）÷2=90，第五個數(shù)=（95+90）÷2=92.5，第六個數(shù)=（90+92.5）÷2=91.25，第七個數(shù)都在91.25與91.875之間。所以這些數(shù)的整數(shù)部分都是91，故第19個（平均）數(shù)的整數(shù)部分為91.例331.719×1.2798的整數(shù)部分是幾？用放縮法估算：31.719×1.2798﹥31.7×1.27=31.7+31.7×0.27=31.7+31.7×0.2+31.7×0.07﹥31.7+31.7+6.3+2=40①，又31.719×1.2798﹤32×1.28=40.96﹤41.因此所求整數(shù)部分是40.說明：在利用放縮法時，在舍位或進(jìn)位（以便簡化計算）時，“步伐”應(yīng)盡可能的小，以便使所得結(jié)果盡可能接近“真值”。①中的放縮分了很多步，目的為此。例4已知，問的整數(shù)部分是多少？解：===。因?yàn)椹偐偅?﹤﹤﹤﹤2，所以的整數(shù)部分是101.例6今有長度分別為1厘米、2厘米、3厘米……、9厘米長的木棍各1根（規(guī)定不許折斷），從中選用若干根組成正方形，可有多少種不同方法。解：由于（1+2+3+4+…+9）÷4=11.25﹤12，這說明最大的正方邊長≤11.用枚舉法分別討論。邊長為11的四邊為9+2=8+3=7+4=6+5，有一個正方形；邊長為10的四邊為9+1=8+2=7+3=6+4，有一個正方形；邊長為9的四邊為8+1=7+2=6+3=5+4=9，用這5種組合可組成5個不同的正方形；邊長為8的四邊為7+1=6+2=5+3=8，有一個正方形；邊長為7的四邊為6+1=5+2=4+3=7,有一個正方形。顯然，不存在邊長≤6的正方形。所以，共可組成1+1+5+1+1=9個正方形。習(xí)題1.在下列方框中填兩個相鄰的整數(shù)，使不等式成立：□﹤﹤□2.分?jǐn)?shù)和的整數(shù)部分是。3.小明家住在一條小胡同里，各家的號碼從1號連續(xù)排下去，全胡同所有家的號碼之和再減去小明家的號碼是60，小明家的號碼是。4.一本書的頁碼是連續(xù)的正整數(shù)1、2、3，…，當(dāng)將這些頁碼加起來的時候，某個頁碼加了兩次，得到不正確的結(jié)果為1991.這個被加了兩次的頁碼為。5.在1、、、…、、中選出若干個數(shù)，使得它們的和大于3，至少要選個數(shù)。淘氣的數(shù)字“3”自然數(shù)家族中最調(diào)皮的要算數(shù)3了。由于他個頭長得比較矮，大家都親切地叫他“小3”。

小3走路從都不好好走。他走起路來連躥帶蹦，餓時身體往前走眼睛卻往后瞧。

這一次，小3又歪著腦袋一溜煙地往前跑，“咚的一聲和一位白胡子老爺爺撞了個滿懷。

白胡子老爺爺于；“小3，你又到處亂跑，撞了車碰了人多不好?！?/p>

小3不以為然地說：“撞一下沒事，到處跑一跑多自地呀！”

“沒事？從現(xiàn)地起你再撞著誰，異將和誰作一次乘法，不信，你異撞去吧?！卑缀永蠣敔斢檬种噶艘幌滦?，異不見了。

“撞著誰就和誰作一次乘法？嘻嘻，這倒挺好玩，我要撞一撞，試一試?！毙?說完就往前跑。

遠(yuǎn)遠(yuǎn)看見數(shù)2坐地一塊石頭上，小3低頭朝數(shù)2猛撞過去。只聽“咚”的一聲響，地上冒起一股白煙。白煙過后數(shù)2沒了，小3也沒了，坐地石頭上的卻是數(shù)6，小3呢？原來小3和數(shù)2被一個乘號“×”緊緊箍地一起，變到數(shù)6的肚子里去了，2×3=6.

數(shù)6站起來拍了拍褲子上的土，朝偶數(shù)村走去。小3一看數(shù)6往偶數(shù)村走，就著急了。他喊道：“不對，走錯方向了，我不住地偶數(shù)村，我是奇數(shù)，我住地奇數(shù)村。”

數(shù)2說；'你嚷嚷什么！誰讓你撞我，和我作乘法來著。任何一個奇數(shù)只要和我數(shù)2相乘，立刻就變成偶數(shù)?！?/p>

小3驚奇地說：“你那么厲害？如果偶數(shù)和你作乘法呢？”

“偶數(shù)和我數(shù)2相乘，當(dāng)然還是偶數(shù)。一句話，任何一個自然數(shù)和我相乘，都將變成為偶數(shù)?！?/p>

小3唉求說：“數(shù)2幫幫忙，你是偶數(shù)，我是奇數(shù)，咱倆沒關(guān)系，咱倆一起使勁，掙脫開這個乘號吧?！?/p>

數(shù)2搖搖頭說：“不對！誰說咱倆沒關(guān)系？你好好想一想，你小3除了是奇數(shù)，還是什么數(shù)？”

小3想了一下說：“我除了是奇數(shù)，還是個質(zhì)數(shù)。你知道什么是質(zhì)數(shù)嗎？質(zhì)數(shù)就是除了能被1和它本身整除外，再不能被其他自然數(shù)整除的那種自然數(shù)。1除外，1不算質(zhì)數(shù)?！睌?shù)2說？“我也是質(zhì)數(shù)呀，和你是一家子?！薄膀_人！我有許多質(zhì)數(shù)朋友，比如5、7、11等等都是奇數(shù)。你數(shù)2是偶數(shù)，怎么會是質(zhì)數(shù)呢?”

“是不是質(zhì)數(shù)，應(yīng)該用質(zhì)數(shù)的定義來衡量。我數(shù)2除了能被2和1整除外，不能再被其他自然數(shù)整除，當(dāng)然是質(zhì)數(shù)婁?！?/p>

小3想了想說：“對！你符合質(zhì)數(shù)定義，你是質(zhì)數(shù)。”

“我是質(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)，也是最小的質(zhì)數(shù)?！?/p>

“對！”

“我還是自然數(shù)家族中最小的偶數(shù)?！?/p>

“騙人！最小的偶數(shù)是零?！?/p>

“零雖說比我小，但是零不是咱武自然數(shù)家族中的成員啊！”

小3恍然大悟，點(diǎn)點(diǎn)頭說；“對！零不是自然數(shù)，自然數(shù)是從1開始的?！?/p>

“一、二、三！”小3向數(shù)2招招手說；“再見了，自然數(shù)家族中最小的質(zhì)數(shù)，最小的偶數(shù)?！?/p>

小3又開始跑了，他一面跑一面想數(shù)可撞不得！一撞偶數(shù)，就變成偶數(shù)了，可就回不了奇數(shù)村啦。

小3只顧想事，一不留神和數(shù)5撞地一起，一股白煙過后，3×5變成了15。

小3高興地說：“撞上奇數(shù)可沒事，三五一十五，結(jié)果還是一個奇數(shù)，一點(diǎn)沒變?！?/p>

數(shù)5嘟囔地說：“什么一點(diǎn)沒變啦！你數(shù)3是著述，我數(shù)5也是質(zhì)數(shù)，咱倆相乘變成了15，15可不是質(zhì)數(shù)。”

小3一摸后腦勺說：“對呀！和一個不是2的質(zhì)數(shù)相乘，雖說乘積還是個奇數(shù)，但是已經(jīng)不是質(zhì)數(shù)了。唉！說真的，咱倆相乘之后變成了什么數(shù)了？”

數(shù)5說：“咱倆相乘得15，這15除了可以被1和本神整除，還能被你—3，我—5整除，這樣的自然數(shù)叫合數(shù)。”

“變成合數(shù)了，那我可不干?！毙?使勁掙脫了乘號，又低頭猛跑?！斑恕钡囊宦?，又撞到了一個數(shù)。

一股白煙過后，小3搖了搖腦袋發(fā)現(xiàn)自己并沒變，還是數(shù)3.怪呀！我明明撞上了一個數(shù)，怎么沒發(fā)生變化呢？難道是地作夢？

只聽一個數(shù)地自己肚子里說：“你撞著我了?！?/p>

“你是誰？”

“我是1呀！”

“噢，我想起來了?！毙?說，“任何一個自然數(shù)和1相乘，還得原來的數(shù)。數(shù)1這個性質(zhì)真奇特。”

小3連躥帶蹦又往前跑，眼看就要撞上站地前面的一個數(shù)了，突然，一個人把他拉住了：“不能撞他，危險！”

小3一看，拉他的人正是那個白胡子老爺爺。小3不服氣地說：“為什么不能撞？偶數(shù)、奇數(shù)我都撞過，他有什么了不起？我偏要撞?！闭f完又低頭往前沖。

白胡子老爺爺說：“你看看他是誰？待前面的數(shù)一回頭，把小3嚇了一跳，原來他是數(shù)0。

白胡子老爺爺說：“0和任何數(shù)相乘都得0.你如果冒冒失失地一頭撞到0的身上，和0作乘法，可就永遠(yuǎn)變成了0，再也看不見你這個小3了?！?/p>

小3聽了這番話，嚇得出了一身冷汗。他趕緊向白胡子老爺爺一鞠躬說：“感謝您救了我一條命，我今后再也不到處跑了。老爺爺，您到底是誰呀？”

“闖一闖也好，使你他了不少見識，對自然數(shù)的乘法有了更深的了解。不過，你還要認(rèn)真地讀書和學(xué)習(xí)，才能不斷地進(jìn)步。你要問我是誰呀？你來看?！币还砂谉熯^后，出現(xiàn)了一本很大的數(shù)學(xué)書。??！白胡子老爺爺原來是數(shù)學(xué)書變的。第四章分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用一、基礎(chǔ)知識：百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中最基本的問題是：求一個數(shù)的幾分之幾是多少？解法：這個數(shù)×分率=分率所對應(yīng)的量。已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)？解法：分率所對應(yīng)的量÷分率=這個數(shù)。幾分之幾總是對于某個標(biāo)準(zhǔn)量而言的，也就是說，是“誰的幾分之幾”，這里“誰”是整體“1”。在解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時，明確整體“1”非常關(guān)鍵，否則就要出錯。例1水果店運(yùn)來一批橘子和蘋果，其中橘子重量占總重量的，橘子比蘋果少1440千克，運(yùn)來橘子多少千克？解：①蘋果重量占總重量的幾分之幾？③總重量是多少千克？④運(yùn)來橘子多少千克？例2有兩袋米，甲袋比乙袋少18千克．如果再從甲袋倒入乙袋6千克，這時甲袋的米相當(dāng)于乙袋的。問原來兩袋米各有多少千克？解：①倒米后甲袋比乙袋少多少千克？18＋6×2＝30（千克）．②倒米后甲袋比乙袋少幾分之幾？③倒米后乙袋有米多少千克？④原來乙袋有米多少千克？80－6＝74（千克）．⑤原來甲袋有米多少千克？74－18＝56（千克）．例3一本書，已看了130頁，剩下的準(zhǔn)備8天看完．如果每天看的頁數(shù)相等，3天看的頁數(shù)恰好是全書的。這本書共有多少頁？解：（頁）答：這本書共有330頁。例4奶奶賣了一些蘋果，第一天吃去又個，第二天吃去剩下的又個，第三天吃去再剩下的又個，這時剩下3個蘋果問奶奶買了多少蘋果？每天各吃了幾個蘋果？解：共買蘋果：答：奶奶共買蘋果11個，第一天吃蘋果4個，第二天吃蘋果2個，第三天吃蘋果2個。習(xí)題1、一本故事書共有120頁，第一天看完了全書的，第二天看完了余下的頁數(shù)的，剩下的第三天看完，第三天看了多少頁?2、一個書架有上下兩層，共有書287本。已知上層書本數(shù)的等于下層本數(shù)的，這個書架上、下層各有多少本？3、某小學(xué)六年級選出男生的和12名女生參加數(shù)學(xué)競賽，剩下男生人數(shù)是剩下的女生人數(shù)的2倍。已知這個學(xué)校六年級學(xué)生共有156人，男生各有多少人？4、食堂有一桶油，第一天吃掉一半多1公斤，剩下的油，第二天又吃掉一半多2公斤，再剩下的油第三天又吃掉一半多才多3公斤，最后桶里還剩下2公斤，問桶里原來有多少公斤的油？5、李大娘養(yǎng)的雞關(guān)在東西兩個院內(nèi)。已知東西院內(nèi)養(yǎng)雞40只；現(xiàn)在把西院養(yǎng)雞的賣給商店，賣給加工廠，再把剩下的雞與東院全部的雞相加，其中恰好等于原來東、西院養(yǎng)雞總數(shù)的一半。原來東西院一共有多少養(yǎng)雞多少只？6、某校四、五、六三個年級共有學(xué)生618人，其中五年級人數(shù)比四年級人數(shù)多，六年級比五年級少，求各年級人數(shù)。7、原計劃10天完成一批錄音機(jī)的組裝任務(wù)，由于工人們的努力，每天比原計劃多組裝6臺，因此實(shí)際只用了原計劃天數(shù)的就完成了任務(wù)。這批錄音機(jī)有多少臺？8、小明讀一本小說，第一天讀了全書的，第二天又讀了余下的，這時還有42頁沒有讀完。這本小說共有多少頁？9、五（2）班全班同學(xué)都參加了數(shù)學(xué)和作文課外小組，參加數(shù)學(xué)小組的占全班人數(shù)的，參加作文小組的占全班人數(shù)的56%，同時參加數(shù)學(xué)和作文的有8人。求全班有多少人？韓信點(diǎn)兵韓信點(diǎn)兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數(shù)。我們先考慮下列的問題：假設(shè)兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945（注：因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），然後再加3，得9948（人）。中國有一本數(shù)學(xué)古書「孫子算經(jīng)」也有類似的問題：「今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？」答曰：「二十三」術(shù)曰：「三三數(shù)之剩二，置一百四十，五五數(shù)之剩三，置六十三，七七數(shù)之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數(shù)之剩一，則置七十，五五數(shù)之剩一，則置二十一，七七數(shù)之剩一，則置十五，即得?！箤O子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考，不過根據(jù)考證，著作年代不會在晉朝之後，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發(fā)現(xiàn)得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩余定理。中國剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。第五章比和比例在應(yīng)用題的各種類型中，有一類與數(shù)量之間的（正、反）比例關(guān)系有關(guān)．在解答這類應(yīng)用題時，我們需要對題中各個量之間的關(guān)系作出正確的判斷．成正比或反比的量中都有兩種相關(guān)聯(lián)的量．一種量（記作x）變化時另一種量（記作y）也隨著變化．與這兩個量聯(lián)系著，有一個不變的量（記為k）．在判斷變量x與y是否成正、反比例時，我們要緊緊抓住這個不變量k．如果不變量K是變量y與x的商，即在x變化時y與x的商不變：，那么y與x成正比例；如果k是y與x的積，即在x變化時，y與x的積不變：xy＝k，那么y與x成反比例．如果這兩個關(guān)系式都不成立，那么y與x不成（正和反）比例．下面我們從最基本的判斷兩種量是否成比例的例題開始．例1下列各題中的兩種量是否成比例？成什么比例？①速度一定，路程與時間．②路程一定，速度與時間．③路程一定，已走的路程與未走的路程．④總時間一定，要制造的零件總數(shù)和制造每個零件所用的時間．⑤總產(chǎn)量一定，畝產(chǎn)量和播種面積．⑥整除情況下被除數(shù)一定，除數(shù)和商．⑦同時同地，竿高和影長．⑧半徑一定，圓心角的度數(shù)和扇形面積．⑨兩個齒輪嚙合轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)速和齒數(shù)．⑩圓的半徑和面積．(11)長方體體積一定，底面積和高．(12)正方形的邊長和它的面積．(13)乘公共汽車的站數(shù)和票價．(14)房間面積一定，每塊地板磚的面積與用磚的塊數(shù)．(15)汽車行駛時每公里的耗油量一定，所行駛的距離和耗油總量．分析以上每題都是兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，那么怎樣來確定這兩種量成哪種比例或不成比例呢？關(guān)鍵是能否把兩個相關(guān)的變量x、y用或用xy=k來表示，其中k是定量，如果不能寫出這兩種形式，或只能寫出加減法關(guān)系，那么這兩種量就不成比例．例如①×零件數(shù)＝總時間，總時間一定，制造每個零件用的時間與要制造的零件總數(shù)成反比例．③路程一定，已走的路程和未走的路程是加減法關(guān)系，不成比例．解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15)成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14)不成比例的有：③、⑩、(12)、(13)．例2一條路全長60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用時間之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小時3千米，問此人走完全程用了多少時間？分析要求此人走完全程用了多少時間，必須根據(jù)已知條件先求出此人走上坡路用了多少時間，必須知道走上坡路的速度（題中每小時行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3，就可以求出上坡路的路程．解：上坡路的路程：走上坡路用的時間：上坡路所用時間與全程所用時間比：走完全程所用時間：例3一塊合金內(nèi)銅和鋅的比是2∶3，現(xiàn)在再加入6克鋅，共得新合金36克，求新合金內(nèi)銅和鋅的比？分析要求新合金內(nèi)銅和鋅的比，必須分別求出新合金內(nèi)銅和鋅各自的重量．應(yīng)該注意到銅和鋅的比是2∶3時，合金的重量不是36克，而是（36－6）克．銅的重量始終沒有變．解：銅和鋅的比是2∶3時，合金重量：36－6＝30（克）．銅的重量：新合金中鋅的重量：36－12＝24（克）．新合金內(nèi)銅和鋅的比：12∶24＝1∶2．答：新合金內(nèi)銅和鋅的比是1∶2．例4師徒兩人共加工零件168個，師傅加工一個零件用5分鐘，徒弟加工一個零件用9分鐘，完成任務(wù)時，兩人各加工零件多少個？分析師傅加工一個零件用5分鐘，每分鐘可加工個零件，徒弟加工一個零件用9分鐘，每分鐘可加工零件個，師徒兩人效率的比是：，由于兩人的工作時間是一定的，根據(jù)，工作量與工作效率成正比例。解法1：設(shè)師傅加工x個，徒弟加工（168－x）個．5x＝168×9－9x，14x＝168×9，x＝108．168－x＝168－108＝60（個）．答：師傅加工108個，徒弟加工60個．解法2：由于師、徒兩人工作效率的比是：，那么他們工作量的比也是：，因此師傅工作量是徒弟工作量的（倍），徒弟的工作量為1倍量。＝60（個），（徒弟）．解法3：師傅每分鐘加工個，徒弟每分鐘加工個，用相遇問題思考方法可求出兩人各用了多少分鐘．然后用師、徒每分鐘各自的效率，分別乘以540就是各自加工零件的個數(shù)．解法4：按比例分配做：例5洗衣機(jī)廠計劃20天生產(chǎn)洗衣機(jī)1600臺，生產(chǎn)5天后由于改進(jìn)技術(shù)，效率提高25％，完成計劃還要多少天？分析這是一道比例應(yīng)用題，工效和工時是變量，不變量是計劃生產(chǎn)5天后剩下的臺數(shù)．從工效看，有原來的效率1600÷20＝80臺/天，又有提高后的效率80×（1＋25％）＝100臺/天．從時間看，有原來計劃的天數(shù)，要求效率提高后還需要的天數(shù)．根據(jù)工效和工時成反比例的關(guān)系，得：提高后的效率×所需天數(shù)＝剩下的臺數(shù)．解法1：設(shè)完成計劃還需x天．1600÷20×（1＋25%）×x＝1600－1600÷20×580×1.25×x＝1600－400100x＝1200x＝12．答：完成計劃還需12天．解法2：此題還可以轉(zhuǎn)化成正比例．根據(jù)實(shí)際效率是原來效率的1＋25%=倍，把原來效率看成“1”。實(shí)際和原來效率的比是：1=5：4，因?yàn)楣ばШ凸r成反比例，所以實(shí)際與原來所需時間的比是4∶5，如果設(shè)實(shí)際還需要x天，原來計劃的天數(shù)是20－5＝15天，根據(jù)實(shí)際與原來時間的比等于實(shí)際天數(shù)與原來天數(shù)的比，可以用正比例解答．設(shè)完成計劃還需x天．5x＝60，x＝12．解法3：（按工程問題解）設(shè)完成計劃還需x天．例6一個長方形長與寬的比是14：5，如果長減少13厘米，寬增加13厘米，則面積增加182平方厘米，那么原長方形面積是多少平方厘米？畫出圖便于解題：解法1：BC的長：182÷13＝14（厘米），BD的長：14＋13＝27（厘米），從圖中看出AB長就是原長方形的寬，AD與AB的比是14∶5，AB與BD的比是5∶（14－5）＝5∶9，原長方形面積是42×15＝630（平方厘米）．答：原長方形面積是630平方厘米．解法2：設(shè)原長方形長為14x，寬為5x．由圖分析得方程（14x－13）×13－5x×13＝182，9x＝27，x＝3．則原長方形面積（14×3）×（5×3）＝630（平方厘米）．例4、例5、例6是綜合性較強(qiáng)的題，介紹了幾種不同解法．要求大家從不同角度、綜合、靈活運(yùn)用所學(xué)知識，多角度去思考解答應(yīng)用題，從而提高自己思維判斷能力．習(xí)題1、植物園中菊花與月季花的盆數(shù)之比是31：5，蘭花與睡蓮的盆數(shù)之比是40：9，月季與睡蓮的盆數(shù)之比是25：3。現(xiàn)在我們知道植物園中有200盆蘭花，試求出菊花的總盆數(shù)。2、長方形棱長的和是216厘米，它的長、寬、高之比是4：3：2，長方體的表面積和體積各是多少?3、操場上有一群學(xué)生在玩游戲，其中男生人數(shù)與女生人數(shù)之比為3：2，后來教室里又出來6名女生加入，此時男生人數(shù)與女生人數(shù)之比是5：4，求原來有多少名男生？有多少名女生？4、有三箱水果共重60千克，如果從第一、二箱中都取出3千克水果放入第三箱中，則第一、二、三箱水果重量之比是1：2：3，問三箱水果原來分別重多少千克？5、一個容器內(nèi)已注滿水?，F(xiàn)有大、中、小三個球，第一把小球沉入水中：第二把小球取出，把中球沉入水中；第三取出中球把小球和大球一起沉入水中。現(xiàn)在知道每次從容器中溢出水量的情況是：第一次是第二次的1／3，第三次是第一次的2.5倍，求三個球的體積之比。6、汽車在南北走向的公路上行駛，由南向北頂風(fēng)行駛，每小時行50千米；由北向南順風(fēng)行駛，每小時行70千米。兩輛汽車同時從同一地點(diǎn)向北而行，一輛汽車往北駛?cè)ト缓蠓祷?，另一倆汽車往南駛?cè)ト缓蠓祷兀Y(jié)果4小時后兩車同時回到出發(fā)點(diǎn)。如果調(diào)頭時間不計，在這4小時內(nèi)兩車行駛的方向相同的時間有多少小時？7、某俱樂部男、女會員的人數(shù)之比是3：2，分為甲、乙、丙三組的人數(shù)之比是10：8：7，甲組中男、女會員人數(shù)之比。8、如右圖所示，圓B與圓C的面積之和等于圓A面積的4／5，且圓A中的陰影部分占圓A面積的1／6，圓B的陰影部分占圓B面積的1／5，圓C的陰影部分占圓C面積的1/3。求圓A、圓B、圓C的面積之比。9、甲、乙兩隊學(xué)生參加郊外夏令營，只有一輛接送,坐不下。甲隊學(xué)生坐車從學(xué)校出發(fā)的同時，乙隊學(xué)生開始步行，車到途中某處讓甲隊學(xué)生下車步行去營地，車立即返回接乙隊學(xué)生直接開到營地，結(jié)果兩隊同時到達(dá)。已知學(xué)生步行速度為4千米/小時，汽車載學(xué)生時的速度為40千米/小時，空車速度為50千米/小時，那么甲隊學(xué)生步行。路程與全程的比是多少？10、某校畢業(yè)生共分9個班，每班人數(shù)相等。已知一班的男生比二、三班兩個班的女生總數(shù)多1；四、五、六班三個班的女生總數(shù)比七、八、九班三個班的男生總數(shù)多1，那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)的比是多少？測量金字塔的高度有一天，泰勒斯看到人們都在看告示，他也上去看。原來告示上寫著法老要找世界上最聰明的人來測量金字塔的高度。泰勒斯就到找法老了。法老問泰勒斯用什么工具來量金字塔。泰勒斯說只用一根木棍和一把尺子，大家都覺得很奇怪。他把木棍插在金字塔旁邊，等木棍的影子和木棍一樣長的時候，就去量金字塔。他量了金字塔影子的長度和金字塔底面邊長的一半。把這兩個長度加起來就是金字塔的高度了。泰勒斯真是世界上最聰明的人，他不用爬到金字塔的頂上就方便量出了金字塔的高度。第六章雞兔同籠例1（古典題）雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？分析如果46只都是兔，一共應(yīng)有4×46=184只腳，這和已知的128只腳相比多了184-128=56只腳.如果用一只雞來置換一只兔，就要減少4-2=2（只）腳.那么，46只兔里應(yīng)該換進(jìn)幾只雞才能使56只腳的差數(shù)就沒有了呢？顯然，56÷2=28，只要用28只雞去置換28只兔就行了.所以，雞的只數(shù)就是28，兔的只數(shù)是46-28=18。解：①雞有多少只？（4×6-128）÷（4-2）=（184-128）÷2=56÷2=28（只）②免有多少只？46-28=18（只）答：雞有28只，免有18只。我們來總結(jié)一下這道題的解題思路：先假設(shè)它們?nèi)峭?于是根據(jù)雞兔的總只數(shù)就可以算出在假設(shè)下共有幾只腳，把這樣得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比較，看相差多少.每差2只腳就說明有一只雞；將所差的腳數(shù)除以2，就可以算出共有多少只雞.我們稱這種解題方法為假設(shè)法.概括起來，解雞兔同籠問題的基本關(guān)系式是：雞數(shù)=（每只兔腳數(shù)×兔總數(shù)-實(shí)際腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）兔數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)當(dāng)然，也可以先假設(shè)全是雞。例2雞與兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？分析這個例題與前面例題是有區(qū)別的，沒有給出它們腳數(shù)的總和，而是給出了它們腳數(shù)的差.這又如何解答呢？假設(shè)100只全是雞，那么腳的總數(shù)是2×100=200（只）這時兔的腳數(shù)為0，雞腳比兔腳多200只，而實(shí)際上雞腳比兔腳多80只.因此，雞腳與兔腳的差數(shù)比已知多了（200-80）=120（只），這是因?yàn)榘哑渲械耐脫Q成了雞.每把一只兔換成雞，雞的腳數(shù)將增加2只，兔的腳數(shù)減少4只.那么，雞腳與兔腳的差數(shù)增加（2+4）=6（只），所以換成雞的兔子有120÷6=20（只）.有雞（100-20）=80（只）。解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。100-20=80（只）。答：雞與兔分別有80只和20只。例3紅英小學(xué)三年級有3個班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三個班各有多少人？分析1我們設(shè)想，如果條件中三個班人數(shù)同樣多，那么，要求每班有多少人就很容易了.由此得到啟示，是否可以通過假設(shè)三個班人數(shù)同樣多來分析求解。結(jié)合下圖可以想，假設(shè)二班、三班人數(shù)和一班人數(shù)相同，以一班為標(biāo)準(zhǔn)，則二班人數(shù)要比實(shí)際人數(shù)少5人.三班人數(shù)要比實(shí)際人數(shù)多7-5=2（人）.那么，請你算一算，假設(shè)二班、三班人數(shù)和一班人數(shù)同樣多，三個班總?cè)藬?shù)應(yīng)該是多少？解法1：一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3=44（人）二班：44+5=49（人）三班：49-7=42（人）答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。分析2假設(shè)一、三班人數(shù)和二班人數(shù)同樣多，那么，一班人數(shù)比實(shí)際要多5人，而三班要比實(shí)際人數(shù)多7人.這時的總?cè)藬?shù)又該是多少？解法2：（135+5+7）÷3=147÷3=49（人）49-5=44（人），49-7=42（人）答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。想一想：根據(jù)解法1、解法2的思路，還可以怎樣假設(shè)？怎樣求解？例4劉老師帶了41名同學(xué)去北海公園劃船，共租了10條船.每條大船坐6人，每條小船坐4人，問大船、小船各租幾條？分析我們分步來考慮：①假設(shè)租的10條船都是大船，那么船上應(yīng)該坐6×10=60（人）。②假設(shè)后的總?cè)藬?shù)比實(shí)際人數(shù)多了60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假設(shè)成坐6人。③一條小船當(dāng)成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（條）小船當(dāng)成大船。解：[6×10-(41+1）÷（6-4）=18÷2=9（條）10-9=1（條）答：有9條小船，1條大船。例5有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀），求蜻蜓有多少只？分析這是在雞兔同籠基礎(chǔ)上發(fā)展變化的問題.觀察數(shù)字特點(diǎn)，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿.因此，可先從腿數(shù)入手，求出蜘蛛的只數(shù).我們假設(shè)三種動物都是6條腿，則總腿數(shù)為6×18=108（條），所差118-108=10（條），必然是由于少算了蜘蛛的腿數(shù)而造成的.所以，應(yīng)有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.這樣剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蟬的只數(shù).再從翅膀數(shù)入手，假設(shè)13只都是蟬，則總翅膀數(shù)1×13=13（對），比實(shí)際數(shù)少20-13＝7（對），這是由于蜻蜓有兩對翅膀，而我們只按一對翅膀計算所差，這樣蜻蜓只數(shù)可求7÷（2-1）=7（只）.解：①假設(shè)蜘蛛也是6條腿，三種動物共有多少條腿？6×18=108（條）②有蜘蛛多少只？（118-108）÷（8-6）=5（只）③蜻蜒、蟬共有多少只？18-5=13（只）④假設(shè)蜻蜒也是一對翅膀，共有多少對翅膀？1×13=13（對）⑤蜻蜒多少只？（20-13）÷2-1）=7（只）答：蜻蜒有7只.習(xí)題1.小華用二元五角錢買了面值二角和一角的郵票共17張，問兩種郵票各買多少張？2.有雞兔共20只，腳44只，雞兔各幾只？3.松鼠媽媽采松子，晴天每天可采20個，雨天每天可采12個，它一連幾天采了112個松子，平均每天采14個.問這幾天當(dāng)中有幾天有雨？4.蜘蛛有8條腿，蝴蝶有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和一對翅膀，現(xiàn)有這三種動物共21只，共140條腿和23對翅膀，問蜘蛛、蝴蝶、蟬各有幾只？5.體育老師買了運(yùn)動服上衣和褲子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、褲子每件19元，問老師買上衣和褲子各多少件？6.雞、兔共籠，雞比兔多26只，足數(shù)共274只，問雞、兔各幾只？維納的故事維納（1894－1964年）是最早為美洲數(shù)學(xué)贏得國際榮譽(yù)的大數(shù)學(xué)家，關(guān)于他的軼事多極了。維納最有名的故事是有關(guān)搬家的事。一次維納喬遷，妻子熟悉維納的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他。她還找了一張便條，上面寫著新居的地址，并用新居的房門鑰匙換下舊房的鑰匙。第二天維納帶著紙條和鑰匙上班去了。白天恰有一人問他一個數(shù)學(xué)問題，維納把答案寫在那張紙條的背面遞給人家。晚上維納習(xí)慣性地回到舊居。他很吃驚，家里沒人。從窗子望進(jìn)去，家具也不見了。掏出鑰匙開門，發(fā)現(xiàn)根本對不上齒。于是使勁拍了幾下門，隨后在院子里踱步。突然發(fā)現(xiàn)街上跑來一小女孩。維納對她講：“小姑娘，我真不走運(yùn)。我找不到家了，我的鑰匙插不進(jìn)去?！毙∨⒄f道：“爸爸，沒錯。媽媽讓我來找你?！?/p>

有一次維納的一個學(xué)生看見維納正在郵局寄東西，很想自我介紹一番。在麻省理工學(xué)院真正能與維納直接說上幾句話、握握手，還是十分難得的。但這位學(xué)生不知道怎樣接近他為好。這時，只見維納來來回回踱著步，陷于沉思之中。這位學(xué)生更擔(dān)心了，生怕打斷了先生的思維，而損失了某個深刻的數(shù)學(xué)思想。但最終還是鼓足勇氣，靠近這個偉人：“早上好，維納教授！”維納猛地一抬頭，拍了一下前額，說道：“對，維納！”原來維納正欲往郵簽上寫寄件人姓名，但忘記了自的名字……。第七章容斥原理我們知道，求和問題只要直接小家就可得出答案。但在某些情況下，問題卻不能直接相加。例如，某班學(xué)生去圖書室借書，每人都借了課外書，統(tǒng)計結(jié)果是：借語文書的39人，借數(shù)學(xué)書的32人，語文、數(shù)學(xué)兩種書都借的有26人，求全班學(xué)生共幾人？顯然，求全班的學(xué)生數(shù)，不能用39和32直接相加。當(dāng)借語文的39人和借數(shù)學(xué)的32人相加時，事實(shí)上重復(fù)包含的26人加了兩次。所以全班的學(xué)生數(shù)應(yīng)當(dāng)是：39+32-26=45（人）像上面這種有重復(fù)包含的情況，在解題時應(yīng)考慮排除由于重復(fù)、相互包含而引起的多加的數(shù)學(xué)題，就是包含與排除問題，簡稱，容斥問題?；靖拍睿杭希壕哂心承┫嗤再|(zhì)的對象所組成的共同體。（集合中任何兩個對象是不同的）集合的性質(zhì)：（1）集合內(nèi)的對象都具有共同的性質(zhì)或特點(diǎn)；（2）集合內(nèi)對象是不重復(fù)的。并集：所有屬于集合A又屬于集合B的對象所組成的集合。又叫A和B的和，用符號表示：A∪B，讀作A并B。交集：既屬于集合A有屬于集合B的對象組成的集合，用符號表示：A∩B，讀作A交B。容斥原理1：求集合A和B的并集：先求出集合A和B所有對象的和；再減去A和B交集。用符號表示：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣；容斥原理2：求集合A、B和C的并集：先求出A、B和C的所有對象的和；再分別減去集合A和B、B和C、A和C的交集；最后再加上集合A、B和C的交集。用符號表示：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C∣-∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣；例1集合A=,集合B=求，A∩B和A∪B分別等于多少？解：A∩B=;A∪B=例2設(shè)集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝。我們稱屬于集合I但不屬于集合A的元素的集合為在集合I中的補(bǔ)集（或余集），如右圖中陰影部分表示的集合（整個長方形表示集合I）.如，例2中就是集合A在集合I中的補(bǔ)集。顯然，A和沒有公共元素，即A∩=（表示空集，即沒有元素的集合）。此外，A∪=I。對于兩個沒有公共元素的集合A和B，顯然有|A∪B|=|A|+|B|。例如，A=｛1，2，…，100｝，B=｛101｝，則所以|A∪B|＝101＝100＋1=|A|＋|B|。如果集合A與B有公共元素，例如A＝｛1，2，…，100｝，B＝｛90，91，…，101｝，則A∩B＝（90，91，…，100｝，A∪B={1，2，…，101}.此時，|A∪B|與|A|+|B|有什么關(guān)系呢？在這個例中，|A∪B|=101，|A|＋|B|＝100＋12=112。所以|A∪B|=|A|+|B|-11我們注意到，11恰為A∩B的元素個數(shù).這是合理的，因?yàn)樵谇髚A∪B|時，90，91，…，100這11個數(shù)各被計入一次，而在求|A|＋|B|時，這11個數(shù)各被計入兩次（即多算了一次），并且這11個數(shù)組成的集合恰為A∩B.因此得到|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，（1）這就是關(guān)于兩個集合的容斥原理：集合A與B的并的元素個數(shù)，等于集合A的元素個數(shù)與集合B的元素個數(shù)的和，減去集合A與B的交的元素個數(shù)。（1）是容斥原理的第一個公式.我們還可以用右圖來說明.如圖我們用N1、N2、N3分別表示A∪B中互不重疊的部分的元素個數(shù)?？梢姡簗A|=N1＋N3，|B|=N2＋N3，|A∩B|=N3.因此|A∪B|=N1＋N2＋N3＝（N1＋N3）+（N2＋N3）-N3=|A|+|B|-|A∩B|。我們知道，當(dāng)集合A與B沒有公共元素時，有|A∪B|＝|A|+|B|.實(shí)際上這是公式（1）的特殊情形，因?yàn)榇藭r：例3某班有42人，其中26人愛打籃球，17人愛打排球，19人愛踢足球，9人既愛打籃球又愛踢足球，4人既愛大排球又愛踢足球。沒有一個人三種球都愛好。也沒有一個人三種求都不愛好。既愛打籃球又愛打排球的有幾人？解：設(shè)，愛好打籃球的人的集合為A，愛好打排球的人的集合為B，愛好踢足球的人的集合為C。因?yàn)椋珹∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C；所以，A∩B=A+B+C-A∩C-B∩C+A∩B∩C；則，A∩B=26+17+19-9-4+0-42=7(人)；答：既愛打籃球，又愛打排球的有7人。例4一張圓紙片的面積為5，一正方形紙片的面積為4，兩張紙片在桌面上覆蓋的面積為6，問兩張紙片重合部分的面積為多少？解：如右圖，重合部分的面積為：5+4-6=3。答：兩張紙片重合部分的面積為3.例5如圖，A、B、C分別代表面積為12、28、16的三張不同形狀的紙片，它們放在一起蓋住的面積為38，且A與B、B與C、C與A公共部分面積分別為8、7、6，求A、B、三個圖形公共部分的面積解：設(shè)，公共部分的面積是x，那么，12+28+16-8-7-6+x=38，x=3或38-（12+28+16-8-7-6）=3.答：公共部分的面積是3.例6暑假期間有12個同學(xué)取冷飲店，向服務(wù)元交出需要的冷飲統(tǒng)計數(shù)字如下：有6個人要可可，有五個人要咖啡，有5個人要果汁。有3個人既要可可又要咖啡，有2個人既要咖啡又要果汁，有3個人既要可可又要果汁，有1個人可可、咖啡、果汁都要。問有沒有人什么冷飲都不要的，如果有的話，有幾人？解：根據(jù)包含與排除問題的計算方法，可先求出要冷飲的人數(shù)為:6+5+5-3-2-3+1=9(人)。因?yàn)槿ダ滹嫷甑墓?2人，所以什么都沒要的有12-9=3（人）。答：有3人什么冷飲都沒要。習(xí)題1.某班有50人，會游泳的有27人，會體操的有18人，都不會的有15人.問既會游泳又會體操的有多少人？2.在1～1000這1000個自然數(shù)中，不能被2、3、5中任何一個數(shù)整除的數(shù)有多少個？3.五環(huán)圖中每一個環(huán)內(nèi)徑為4厘米，外徑為5厘米.其中兩兩相交的小曲邊四邊形（右圖中陰影部分）的面積相等.已知五個圓環(huán)蓋住的總面積是122.5平方厘米.求每個小曲邊四邊形的面積。4.某班全體學(xué)生進(jìn)行短跑、游泳和籃球三項(xiàng)測驗(yàn)，有4個學(xué)生這三項(xiàng)均未達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少一項(xiàng)達(dá)到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目及人數(shù)如下表：問這個班有多少名學(xué)生？5．有100位學(xué)生回答A、B兩題.A、B兩題都沒回答對的有10人，有75人答對A題，83人答對B題，問有多少人A、B兩題都答對？6.在一次數(shù)學(xué)競賽中甲答錯題目總數(shù)的，乙答對7道題，兩人對的題目是題目總數(shù)的，問：甲答對了多少道題？數(shù)學(xué)王國的巾幗英雄

陀螺是中小學(xué)生熟悉一種玩具。一只小小的陀螺在桌面上飛速地旋轉(zhuǎn)著。單見它立定一點(diǎn)，一面繞傾斜于桌面的軸急速自轉(zhuǎn)，另一面自轉(zhuǎn)軸又宛如錐體母線般繞著過定點(diǎn)而垂直于桌面的軸線，緩慢而穩(wěn)定地做公轉(zhuǎn)運(yùn)動。

陀螺旋轉(zhuǎn)的時候?yàn)槭裁床粫?？在千萬個玩陀螺的人中，能正確回答出這個問題的，大概不會太多。的確，陀螺的轉(zhuǎn)動是十分有趣而神秘的。

陀螺在科學(xué)上有很高的研究價值。把旋轉(zhuǎn)著的陀螺拋向空中。它能使自己的軸保持原來的方向。陀螺的這一特性，被用來制造定向陀螺儀，廣泛用于航海、航空和宇宙飛行之中。

然而，關(guān)于陀螺運(yùn)動的研究，或者用更有學(xué)術(shù)味道的話，叫剛體繞固定點(diǎn)運(yùn)動的問題，卻有一段神奇的歷史。

公元1888年，法蘭西科學(xué)院舉行第三次有獎國際征文，懸賞三千法郎，向全世界征集關(guān)于剛體繞固定點(diǎn)運(yùn)動問題的論文。在此之前的幾十年內(nèi)，鑒于該問題的重要性，法蘭西科學(xué)院曾以同樣的獎金進(jìn)行過兩次征文。不少杰出的數(shù)學(xué)家曾嘗試過解答，但都沒有能夠得到成功。兩次征文的獎金，依然原封不動地高擱著。為此，法蘭西科學(xué)院決定第三次征集論文，這使許多素有盛望的數(shù)學(xué)家躍躍欲試。可是到了評判那天，評委們?nèi)即鬄檎痼@。他們發(fā)現(xiàn)有一篇文章在無數(shù)平凡之中鶴立雞群。這是一篇閃爍著智慧光芒的佳作，每一個步驟，每一個結(jié)論，都充溢著高人一籌的才華。鑒于它具有特別高的科學(xué)價值，評委們破例決定，把獎金從原來的三千法郎提到五千法郎。

評判結(jié)束了，打開密封的名字一看，原來獲獎的是一位俄羅斯女性，她就是數(shù)學(xué)王國的巾幗英雄，一位蜚聲數(shù)壇的女?dāng)?shù)學(xué)家索菲婭。

打開世界的科學(xué)史，科學(xué)家中的女性屈指可數(shù)，女?dāng)?shù)學(xué)家更是寥若晨星。而在二十世紀(jì)之前能夠載入數(shù)學(xué)史冊的，大約只有柯瓦列夫斯卡婭一個。而她的奮斗經(jīng)歷則是充滿著傳奇的色彩。

索菲婭生于將軍之家，由于叔叔彼得的啟蒙，她對數(shù)學(xué)產(chǎn)了濃厚的興趣。但她的父親，一位退休了的軍人，帶著對女性古老的偏見，反對女兒學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。在這種情況下，索菲婭只好躲在自己的房間里偷偷地看數(shù)學(xué)書。這種神秘的學(xué)習(xí)氣氛，反而增加了索菲婭的好奇心和求知欲，她的進(jìn)取心更強(qiáng)了，這時她才13歲。翻過一個年頭，一本基利托夫的物理書引起了索菲婭的注意，因?yàn)榛蟹蚪淌谑撬泥従?。在翻看教授的著作時，她發(fā)現(xiàn)書中利用到許多三角知識，然而三角對于這時的她，卻是一個陌生的世界。于是她從畫弦開始，自己推導(dǎo)出一系列三角公式，這無疑相當(dāng)于一個數(shù)學(xué)分支史的再創(chuàng)造！這一超人的天賦，使基利托夫教授驚鄂了，他仿佛看到了一位新帕斯卡的出現(xiàn)。法國數(shù)學(xué)家帕斯卡在少年時代曾是世人公認(rèn)的神童。在基利托夫教授的再三說服下，索菲婭的父親終于同意她前往外地學(xué)習(xí)微積分和其他課程。就這樣索菲婭得以刻苦學(xué)習(xí)了兩年。正當(dāng)她渴望能上大學(xué)深造的時候，父親嚴(yán)令將她召回。這位當(dāng)過將軍的父親怎么也不能理解女兒和數(shù)學(xué)是不可共容的兩個詞，況且女兒已經(jīng)長大成人。

為了繼續(xù)自己的學(xué)業(yè)，索菲婭使出了作為姑娘的最為有效的一招。她決定出嫁了，丈夫是一位年輕開明的生物學(xué)家。婚后，她與丈夫雙雙來到彼得堡?？墒且坏侥抢?，美好的幻影立即破滅，因?yàn)楫?dāng)時的俄國大學(xué)不招收女生。

世界上的許多事情常常是事與愿違。結(jié)婚，既帶給索菲婭歡悅，也帶給她苦惱。沒過多久，索菲婭?柯瓦列夫斯卡婭當(dāng)了母親。幼小的生命，繁重的家務(wù)，淡化了她對數(shù)學(xué)的酷愛。一天，小孩屋里沒有糊墻的紙，她就用數(shù)學(xué)家奧斯特洛格拉德斯基的書撕下來裱糊。沒想到這到這些散頁中的各種符號，重新燃起了柯瓦列夫斯卡婭學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。在丈夫的支持下，她一面買了許多數(shù)學(xué)書日夜攻讀，另一面在彼得堡大學(xué)非正式跟班旁聽。隨著學(xué)業(yè)的進(jìn)步，她對深造的愿望更加強(qiáng)烈了！

公元1870年，年僅20歲的柯瓦列夫斯卡婭毅然決定前往柏林，那里有一所她所傾慕的學(xué)府——柏林大學(xué)。但是她不知道，在那個時代，歧視婦女的思想并沒有國界，柏林大學(xué)拒絕接納這位外國女生。然而柯瓦列夫斯卡婭并不因此甘休，她找到了在柏林大學(xué)任教的著名數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯，直接向他陳述自己的請求。這位年近花甲的教授迷惑了，他用懷疑的眼光看了看這個異邦的姑娘，然后向她提出了一個當(dāng)時相當(dāng)深奧的橢圓函數(shù)問題，這是教授前此一刻思考的。柯瓦列夫斯卡婭當(dāng)場作了解答。精辟的結(jié)論，巧妙的構(gòu)思，非凡的見解！魏爾斯特拉斯震撼了！教授破例答應(yīng)收她為私人學(xué)生。在名師指點(diǎn)下，柯瓦列夫斯卡婭如虎添翼，迅速地成長著。

公元1873年，柯瓦列夫斯卡婭連續(xù)發(fā)表了三篇關(guān)于偏微分方程的論文。由于論文的創(chuàng)造性和價值，1874年7月，哥廷根大學(xué)破例在無須答辯的情況下，授予柯瓦列夫斯卡婭博士學(xué)位，那年她才24歲。

1875年，柯瓦列夫斯卡婭滿懷熱情返回故土，但等待她的確是無限的憂愁。沙皇俄國決定不允許一個女人走上講臺，研究機(jī)構(gòu)也沒有女人的位置。就這樣，這位俄羅斯的天才兒女，令人惋惜地中斷了三年研究。而后又因小女兒的出生再次耽擱了兩年。1880年彼得堡召開科學(xué)大會，著名數(shù)學(xué)家車比雪夫請她為大會提供一篇文章。她從箱底翻出一篇六年前沒有發(fā)表的，關(guān)于阿貝爾積分的論文，獻(xiàn)給大會。然而這篇放置了六年之久的文章，依舊引起了大會的轟動。

1888年12月，法蘭系科學(xué)院授予柯瓦列夫斯卡婭波士頓獎，表彰她對于剛體運(yùn)動的杰出研究。1889年，瑞典科學(xué)院也向柯瓦列夫斯卡婭授予了獎。同年11月懾服于這位女?dāng)?shù)學(xué)家的巨大功績，和以車比雪夫?yàn)槭椎囊慌鷶?shù)學(xué)家的堅決請求，俄國科學(xué)院終于放棄了“女人不能當(dāng)院士”的舊規(guī)。年已古稀的車比雪夫激動地給柯瓦列夫斯卡婭大去了如下電報：

“在沒有先例地修改了院章之后，我國科學(xué)院剛剛選舉你做通訊院士。我非常高興看到，我的最急切和正義的要求之一實(shí)現(xiàn)了?！?/p>

1891年初，柯瓦列夫斯卡婭在從法國返回斯得哥爾摩途中病倒。由于醫(yī)生的誤診，無情的病魔奪去了她光彩的生命。此時她年僅42歲。第八章同倍率變化規(guī)律我們在數(shù)學(xué)問題中經(jīng)常遇到這樣的問題，如果甲是乙的n倍，現(xiàn)在甲乙同時變化（增加或者減少），如果甲減少（增加）的量仍舊是乙減少（或增加）量的n倍。例如，乙減少（或增加）A，甲就減少（增加）nA。那么變化后的結(jié)果，甲剩下的差仍舊是剩下的n倍。即，如果，那么我們把這種問題叫，同倍率變化問題。例1甲倉庫存糧32噸，乙倉庫存糧57噸，甲倉庫每天存入4噸，乙倉庫每天存入9噸，幾天之后乙倉庫是甲倉庫的2倍？解：甲的2倍：32×2=64；乙與甲2倍的差：64-57；甲增加4噸時，乙應(yīng)增加的噸數(shù)：4×2=8；乙多增加：9-8=1；經(jīng)過的天數(shù)：7÷1=7；答：7天后乙倉庫的甲乙的2倍。例2盒子里有紅、黃兩種顏色的小球，其中紅球的個數(shù)是黃球的3倍。每次從盤子里取出5個黃球，11個紅球，取了幾次后，黃球正好去完，紅球還剩下28個，盒子里原來黃球有多少個？分析如果要保證兩種顏色的球都同時正好去完，那么每次取的紅球應(yīng)當(dāng)是黃球的3倍，那么每次應(yīng)當(dāng)取3×5=15（個）。但實(shí)際只取了11個，每次少取了15-11=4（個），所以最后等到黃球取完時，紅球還剩28個。那么我們就可以算出總共取了28÷4=7（次），最后就可以求出共有黃球：7×5=35（個）解：3×5=15（個）15-11=4（個）28÷4=7（次）7×5=35（個）答：盒子里原來有黃球35個。習(xí)題1.有兩條繩子，長的是短的3倍，如果從這兩根繩子上各減去20米，長的就正好是短的4倍。長繩原來長多少米？2.李蘭的課外書是王偉的課外書的本數(shù)的6倍，如果二人各拿出2本后，李蘭現(xiàn)在的課外書就是王偉的8倍。李蘭原有課外書多少本？3.甲倉庫里有面粉200噸，乙倉庫里有面粉80噸。甲倉庫每天運(yùn)出25噸，乙倉庫每天運(yùn)出15噸，幾天后甲倉庫剩下的面粉是乙倉庫剩下的面粉的3倍？4.蘋果園里的蘋果樹是桃樹的3倍，管理員每天給25棵蘋果樹和15棵桃樹噴灑農(nóng)藥，幾天后，當(dāng)桃樹噴完農(nóng)藥時，蘋果樹還有140棵。果園里有蘋果樹和桃樹各多少棵？5.10年前父親的年齡是女兒的7倍，15年后父親的年齡是女兒的2倍。今年父親的年齡多大？6.的分子增加8，要使分?jǐn)?shù)的大小不變，分母應(yīng)該增加多少？7.甲、乙兩人在學(xué)校食堂就餐。甲乙的飯票的比為：4：3，甲每天用6元飯票，乙每天用5元飯票，乙用完時，甲還有10元。原來甲乙各有多少飯票？8.張家與李家本月的收入的錢數(shù)比是8：5，本月開支的錢數(shù)比是8：3.月底張家節(jié)余240元，李家節(jié)余270元。本月每家各收入多少元？小熊鋸木頭在一個美麗的大森林里，住著一群可愛的小動物。有一天，小兔蹦蹦跳跳的來到小熊家，發(fā)現(xiàn)小熊在幫它的媽媽鋸建房子用的木頭，它媽媽要求它把這根10米長的木頭鋸成每段2米的小木頭，小兔突然靈機(jī)一動問：“熊哥哥，你知道