2023-2024學(xué)年福建省莆田六中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題含解析

2023-2024學(xué)年福建省莆田六中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓的半徑為，平面上一定點到圓心的距離，是圓上任意一點.線段的垂直平分線和直線相交于點，設(shè)點在圓上運動時，點的軌跡為，當時，軌跡對應(yīng)曲線的離心率取值范圍為（）A. B.C. D.2．橢圓的焦點坐標為（）A.和 B.和C.和 D.和3．如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半徑為4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子的高（）A.9cm B.6cmC.3cm D.4.5cm4．把點隨機投入長為，寬為的矩形內(nèi)，則點與矩形四邊的距離均不小于的概率為（）A. B.C. D.5．已知m是2與8的等比中項，則圓錐曲線x2﹣＝1的離心率是（）A.或 B.C. D.或6．直線的傾斜角的大小為（）A. B.C. D.7．現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重（）斤A.6 B.7C.9 D.158．圓心在x軸負半軸上，半徑為4，且與直線相切的圓的方程為（）A. B.C. D.9．如圖，在正方體中，點E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．雙曲線的漸近線方程為A. B.C. D.11．變量與的數(shù)據(jù)如表所示，其中缺少了一個數(shù)值，已知關(guān)于的線性回歸方程為，則缺少的數(shù)值為（）22232425262324▲2628A.24 B.25C.25.5 D.2612．已知圓M的圓心在直線上，且點，在M上，則M的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線左支上點滿足，則的面積為_________14．以正方體的對角線的交點為坐標原點O建立右手系的空間直角坐標系，其中，，，則點的坐標為______15．若等比數(shù)列滿足，則的前n項和____________16．不大于100的正整數(shù)中，被3除余1的所有數(shù)的和是___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）求出方程的解的個數(shù)18．（12分）已知圓C：，直線l：.（1）當a為何值時，直線l與圓C相切；（2）當直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|=時，求直線l的方程.19．（12分）已知拋物線的焦點為，且為圓的圓心．過點的直線交拋物線與圓分別為，，，（從上到下）（1）求拋物線方程并證明是定值；（2）若，的面積比是，求直線的方程20．（12分）如圖，在四棱柱中，底面，，，且，（1）求證：平面平面；（2）求二面角所成角的余弦值21．（12分）已知函數(shù)（…是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的零點的個數(shù).22．（10分）已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分點A在圓內(nèi)，圓外兩種情況，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，結(jié)合橢圓、雙曲線的定義可判斷軌跡，再由離心率計算即可求解.【詳解】當A在圓內(nèi)時，如圖，,所以的軌跡是以O(shè)，A為焦點的橢圓，其中，，此時，，.當A在圓外時，如圖，因為，所以軌跡是以O(shè)，A為焦點的雙曲線，其中，，此時，，.綜上可知，.故選：D2、D【解析】本題是焦點在x軸的橢圓，求出c，即可求得焦點坐標.【詳解】，可得焦點坐標為和.故選：D3、A【解析】根據(jù)圓錐和球的體積公式以及半球的體積等于圓錐的體積，即可列式解出【詳解】由題意可得，，解得．故選：A4、A【解析】確定矩形四邊的距離均不小于的點構(gòu)成的區(qū)域，由幾何概型面積型的公式計算可得結(jié)果.【詳解】若點與矩形四邊的距離均不小于，則其落在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，所求概率.故選：A.5、A【解析】利用等比數(shù)列求出m，然后求解圓錐曲線的離心率即可【詳解】解：m是2與8的等比中項，可得m＝±4，當m=4時,圓錐曲線為雙曲線x2﹣＝1,它的離心率為：,當m=-4時，圓錐曲線x2﹣＝1為橢圓，離心率：，故選：A6、B【解析】由直線方程,可知直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，故選7、D【解析】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進而求出結(jié)果.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，由題意知，，由，解得，所以.故選：D8、A【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標為，，由直線與圓相切的判斷方法可得圓心到直線的距離，解得的值，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標為，，圓的半徑為4，且與直線相切，則圓心到直線的距離，解得：或13（舍，則圓的坐標為，故所求圓的方程為，故選：A9、B【解析】建立空間直角坐標系，利用向量夾角求解.【詳解】以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標系如圖所示，設(shè)正方體棱長為2，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B10、A【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程知，，故選A.11、A【解析】可設(shè)出缺少的數(shù)值，利用表中的數(shù)據(jù)，分別表示出、，將樣本中心點帶入回歸方程，即可求得參數(shù).【詳解】設(shè)缺少的數(shù)值為，則，，因為回歸直線方程經(jīng)過樣本點的中心，所以，解得.故選：A12、C【解析】由題設(shè)寫出的中垂線，求其與的交點即得圓心坐標，再應(yīng)用兩點距離公式求半徑，即可得圓的方程.【詳解】因為點，在M上，所以圓心在的中垂線上由，解得，即圓心為，則半徑，所以M的方程為故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】由雙曲線方程可得，利用雙曲線定義，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.【詳解】由雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線左支上點滿足，可得:，則，且，故，所以，故，故答案為：314、【解析】根據(jù)已知點的坐標，確定出坐標系即可得【詳解】如圖，由已知得坐標系如圖所示，軸過正方形的對角線交點，軸過中點，軸過中點，因此可知坐標為故答案為：15、##【解析】由已知及等比數(shù)列的通項公式得到首項和公比，再利用前n項和公式計算即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，得，解得，所以.故答案為：16、1717【解析】利用等差數(shù)列的前項和公式可求所有數(shù)的和.【詳解】100以內(nèi)的正整數(shù)中，被3除余1由小到大構(gòu)成等差數(shù)列，其首項為1，公差為3，共有項，它們的和為，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）f(x)的最大值為7，最小值為－33；（2）見解析.【解析】(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，列表求其單調(diào)性即可；(2)求出函數(shù)f(x)的極值即可.【小問1詳解】023+-+f(－2)＝－33↗f(0)＝7↘f(2)＝－1↗f(3)＝7∴f(x)的最大值為7，最小值為－33；【小問2詳解】02+-+↗f(0)＝7↘f(2)＝－1↗當a＜－1或a＞7時，方程有一個根；當a＝－1或7時，方程有兩個根；當－1＜a＜7時，方程有三個根.18、（1）；（2）或.【解析】（1）由題設(shè)可得圓心為，半徑，根據(jù)直線與圓的相切關(guān)系，結(jié)合點線距離公式列方程求參數(shù)a的值即可.（2）根據(jù)圓中弦長、半徑與弦心距的幾何關(guān)系列方程求參數(shù)a，即可得直線方程.【小問1詳解】由圓：，可得，其圓心為，半徑，若直線與圓相切，則圓心到直線距離，即，可得：.【小問2詳解】由（1）知：圓心到直線的距離，因為，即，解得：，所以，整理得：，解得：或，則直線為或.19、（1），證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)，結(jié)合韋達定理即可獲解（2），再結(jié)合焦點弦公式即可獲解【小問1詳解】由題知，故，拋物線方程為，設(shè)直線的方程為，，，，，，得，，，，【小問2詳解】，由（1）知，可求得，，故的方程為，即【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是要把面積的比例關(guān)系轉(zhuǎn)為為邊的比例關(guān)系20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證出，，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明.（2）分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量以及平面的一個法向量，由即可求解.【詳解】（1）證明：因為，，所以，，因為，所以，所以，即因為底面，所以底面，所以因為，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：如圖，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以，由圖知二面角為銳角，所以二面角所成角的余弦值為【點睛】思路點睛：解決二面角相關(guān)問題通常用向量法，具體步驟為：（1）建坐標系，建立坐標系的原則是盡可能的使得已知點在坐標軸上或在坐標平面內(nèi)；（2）根據(jù)題意寫出點的坐標以及向量的坐標，注意坐標不能出錯.（3）利用數(shù)量積驗證垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距離、線面角或二面角.21、（1）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）時函數(shù)沒有零點；或時函數(shù)有且只有一個零點；時，函數(shù)有兩個零點.【解析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后分和兩種情況判斷導(dǎo)函數(shù)正負，求其單調(diào)區(qū)間；（2）由，得，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值，畫出此函數(shù)的圖像，再判斷圖像與直線的交點情況，從而可得答案【詳解】（1）因為，所以，當時，恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，令，得；令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）顯然0不是函數(shù)的零點，由，得.令，則.或時，，時，，所以在和上都是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，時取極小值，又當時，.所以時，關(guān)于的方程無解，或時關(guān)于的方程只有一個解，時，關(guān)于的方程有兩個不同解.因此，時函數(shù)沒有零點，或時函數(shù)有且只有一個零點，時，函數(shù)有兩個零點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利