2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰市、呼和浩特市高二上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰市、呼和浩特市高二上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.2．天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)：同一平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)為，，，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足(且為常數(shù))，化簡得曲線E：.當(dāng)，時(shí)，關(guān)于曲線E有下列四個(gè)命題：①曲線E既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；②的最大值為；③的最小值為；④面積的最大值為.其中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)3．在某市第一次全民核酸檢測(cè)中，某中學(xué)派出了8名青年教師參與志愿者活動(dòng)，分別派往2個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)需4名志愿者，其中志愿者甲與乙要求在同一組，志愿者丙與丁也要求在同一組，則這8名志愿者派遣方法種數(shù)為（）A.20 B.14C.12 D.64．在三棱錐中，，，，若，，則（）A. B.C. D.5．已知滿約束條件，則的最大值為（）A.0 B.1C.2 D.36．關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為A. B.C. D.7．已知空間四邊形，其對(duì)角線、，、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且使，用向量，表示向量是A. B.C. D.8．橢圓的焦點(diǎn)為、，上頂點(diǎn)為，若，則（）A B.C. D.9．甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員在某項(xiàng)體能測(cè)試中的6次成績統(tǒng)計(jì)如表：甲9816151514乙7813151722分別表示甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員這項(xiàng)測(cè)試成績的平均數(shù)，分別表示甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員這項(xiàng)測(cè)試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）A.， B.，C.， D.，10．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中討論過高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等．例如“百層球堆垛”：第一層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，第五層有15個(gè)球，…，各層球數(shù)之差：，，，，…即2，3，4，5，…是等差數(shù)列．現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1，3，6，12，23，41，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（）A.51 B.68C.106 D.15711．已知數(shù)列通項(xiàng)公式，則（）A.6 B.13C.21 D.3112．劉徽是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，他所提出的割圓術(shù)可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度.割圓術(shù)的第一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積.若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若數(shù)列{an}滿足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A＞0，則＋B－C的最小值為________14．如圖直線過點(diǎn)，且與直線和分別相交于，兩點(diǎn).（1）求過與交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程；（2）若線段恰被點(diǎn)平分，求直線的方程.15．如圖，某河流上有一座拋物線形的拱橋，已知橋的跨度米，高度米（即橋拱頂?shù)交诘闹本€的距離）．由于河流上游降雨，導(dǎo)致河水從橋的基座處開始上漲了1米，則此時(shí)橋洞中水面的寬度為______米16．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)，.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過斜率為的直線與圓C相交于M，N，兩點(diǎn)，求弦MN的長.18．（12分）已知圓，P（2，0），M點(diǎn)是圓Q上任意一點(diǎn)，線段PM的垂直平分線交半徑MQ于點(diǎn)C，當(dāng)M點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為曲線C（1）求曲線C方程；（2）已知直線l：x＝8，A、B是曲線C上的兩點(diǎn)，且不在x軸上，，垂足為，，垂足為，若D（3，0），且的面積是△ABD面積的5倍，求△ABD面積的最大值19．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對(duì)任意正整數(shù)n，20．（12分）已知圓與直線（1）若，直線與圓相交與，求弦長（2）若直線與圓無公共點(diǎn)求的取值范圍21．（12分）已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，.（1）求點(diǎn)C到平面的距離；（2）線段上是否存在點(diǎn)F，使與平面所成角正弦值為，若存在，求出，若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可得選項(xiàng).【詳解】由得，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，故選：B.2、D【解析】①：根據(jù)軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的方程特征進(jìn)行判斷即可；②：結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式、曲線方程特征進(jìn)行判斷即可；③：根據(jù)卡西尼卵形線的定義，結(jié)合基本不等式進(jìn)行判斷即可；④：根據(jù)方程特征，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)，時(shí)，.①：因?yàn)橐源匠滩蛔?，以代方程不變，同時(shí)代，以代方程不變，所以曲線E既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，因此本命題正確；②：由，所以有，所以，當(dāng)時(shí)成立，因此本命題正確；③：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，因此本命題正確；④：，因?yàn)?，所以，的面積為，因此本命題正確，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用方程特征進(jìn)行求解判斷是解題的關(guān)鍵.3、B【解析】分（甲乙）、（丙?。┰偻唤M和不在同一組兩種情況討論，按照分類、分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；【詳解】解：依題意甲乙丙丁四人再同一組，有種；（甲乙），（丙?。┎辉谕唤M，先從其余4人選2人與甲乙作為一組，另外2人與丙丁作為一組，再安排到兩個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)，則有種，綜上可得一共有種安排方法，故選：B4、B【解析】根據(jù)空間向量的基本定理及向量的運(yùn)算法則計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】連接,因?yàn)椋?，因?yàn)椋裕?故選：B5、B【解析】作出給定不等式表示的平面區(qū)域，再借助幾何意義即可求出的最大值.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影，其中，，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為2，縱截距為的平行直線系，作出直線，平移直線到直線，使其過點(diǎn)A時(shí)，的縱截距最小，最大，則，所以的最大值為1.故選：B6、B【解析】設(shè)，解集為所以二次函數(shù)圖像開口向下，且與交點(diǎn)為，由韋達(dá)定理得所以的解集為，故選B.7、C【解析】根據(jù)所給的圖形和一組基底，從起點(diǎn)出發(fā)，把不是基底中的向量，用是基底的向量來表示，就可以得到結(jié)論【詳解】解：故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量的基本定理及其意義，解題時(shí)注意方法，即從要表示的向量的起點(diǎn)出發(fā)，沿著空間圖形的棱走到終點(diǎn)，若出現(xiàn)不是基底中的向量的情況，再重復(fù)這個(gè)過程，屬于基礎(chǔ)題8、C【解析】分析出為等邊三角形，可得出，進(jìn)而可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】在橢圓中，，，，如下圖所示：因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn)，焦點(diǎn)為、，所以，，為等邊三角形，則，即，因此，.故選：C.9、B【解析】根據(jù)給定統(tǒng)計(jì)表計(jì)算、，再比較、大小判斷作答.【詳解】依題意，，，，，所以，.故選：B10、C【解析】對(duì)高階等差數(shù)列按其定義逐一進(jìn)行構(gòu)造數(shù)列，直到出現(xiàn)一般等差數(shù)列為止，再根據(jù)其遞推關(guān)系進(jìn)行求解.【詳解】現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1，3，6，12，23，41，各項(xiàng)與前一項(xiàng)之差：，，，，，…即2，3，6，11，18，…，，，，，…即1，3，5，7，…是等差數(shù)列，所以，故選：C11、C【解析】令即得解.【詳解】解：令得.故選：C12、B【解析】此點(diǎn)取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是正六邊形面積除以圓的面積，分別求出即可.【詳解】如圖，在單位圓中作其內(nèi)接正六邊形，該正六邊形是六個(gè)邊長等于半徑的正三角形，其面積，圓的面積為則所求概率.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查幾何概率模型求解，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出正六邊形的面積和圓的面積.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，得a1＋(n－1)d＋na1＋n(n－1)d＝an＋Sn＝An2＋Bn＋C，即(d－A)n2＋(a1＋－B)n＋(a1－d－C)＝0對(duì)任意正整數(shù)n都成立所以(d－A)＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0.＋B－C＝＋3A≥2.14、（1）；（2）.【解析】本題考查直線方程的基本求法：垂直直線的求法、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱、點(diǎn)在直線上的待定系數(shù)法【詳解】（1）由題可得交點(diǎn)，所以所求直線方程為，即；（2）設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，因?yàn)榫€段恰被點(diǎn)平分，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)，的坐標(biāo)分別代入，的方程，得方程組解得由點(diǎn)和點(diǎn)及兩點(diǎn)式，得直線的方程為，即【點(diǎn)睛】直線的考法主要以點(diǎn)的對(duì)稱和直線的平行與垂直為主．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，直線關(guān)于直線的對(duì)稱，是重點(diǎn)考察內(nèi)容15、【解析】以橋的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，可得拋物線的方程，設(shè)水面與橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為，求出，進(jìn)而可得水面的寬度.【詳解】以橋的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，即故拋物線的方程為，設(shè)河水上漲1米后，水面與橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，得，所以此時(shí)橋洞中水面的寬度為米故答案為：16、【解析】先將拋物線方程，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程是，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，所以拋物線開口方向向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程為：，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由圓的性質(zhì)可得圓心在線段的垂直平分線上，由題意求出的垂直平分線方程，從而得出圓心坐標(biāo)，再求出半徑，得到答案.（2）由題意先求出滿足條件的直線方程，求出圓心到直線的距離，由垂經(jīng)定理可得圓的弦長.【小問1詳解】由題意設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)的中點(diǎn)為，則,由圓的性質(zhì)可得則,又，所以則直線的方程為，即則圓C的圓心在直線上，即，故所以圓心,半徑所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】過斜率為的直線方程為：圓心到該直線的距離為所以18、（1）（2）【解析】（1）由定義法求出曲線C的方程；（2）先判斷出直線AB過定點(diǎn)H(2,0)或H(4,0).當(dāng)AB過定點(diǎn)H(4,0)，求出最大；當(dāng)H(2,0)時(shí)，可設(shè)直線AB：.用“設(shè)而不求法”表示出，不妨設(shè)（），利用函數(shù)的單調(diào)性求出△ABD面積的最大值.【小問1詳解】因?yàn)榫€段PM的垂直平分線交半徑MQ于點(diǎn)C，所以,所以,符合橢圓的定義，所以點(diǎn)C的軌跡為以P、Q為焦點(diǎn)的橢圓，其中，所以，所以曲線C的方程為.【小問2詳解】不妨設(shè)直線l：x＝8交x軸于G(8,0)，直線AB交x軸于H(h,0)，則,.因?yàn)?，，，所?又因?yàn)榈拿娣e是△ABD面積的5倍，所以.因?yàn)镚(8,0)，D（3，0），所以，所以H(2,0)或H(4,0).當(dāng)H(4,0)時(shí)，則H與A（或H與B）重合，不妨設(shè)H與A重合，此時(shí)，，要使△ABD面積最大，只需B在短軸頂點(diǎn)時(shí)，=2最大，所以最大；當(dāng)H(2,0)時(shí)，要想構(gòu)成三角形ABD，直線AB的斜率不為0，可設(shè)直線AB：.設(shè),則，消去x可得：，所以，，，所以.不妨設(shè)（），則，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=4時(shí)，，此時(shí)最大綜上所述，△ABD面積的最大值為.【點(diǎn)睛】（1）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題；（2）解析幾何中最值計(jì)算方法有兩類：①幾何法：利用幾何圖形求最值；②代數(shù)法：表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.19、（1）見解析（2）見解析【解析】(1)由，令，得，或，又的定義域?yàn)?，討論兩個(gè)根及的大小關(guān)系，即可判定函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，在，上遞減，則，即，由此能夠證明【小問1詳解】的定義域?yàn)?，，令，得，或，①?dāng)，即時(shí)，若，則，遞增；若，則，遞減；②當(dāng)，即時(shí)，若，則，遞減；若，則，遞增；若，則，遞減；綜上所述，當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，f(x)在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問2詳解】由(2)知當(dāng)時(shí)，在，上遞減，，即，，，，2，3，，，，【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，本題的關(guān)鍵是令a＝1，用已知函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造，再令x＝恰當(dāng)?shù)乩脤?duì)數(shù)求和進(jìn)行解題20、（1）；（2）或.【解析】（1）求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理求弦長；（2）由圓心到直線的距離大于半徑列式求解的范圍【詳解】解：（1）圓，圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，弦長（2）若直線與圓無公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離大于半徑解得或21、（1）（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減化簡可求得通項(xiàng)，（2）由（1）得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果【小問1詳解】因?yàn)?，所以時(shí)，，兩式作差得，，所以時(shí)，，又時(shí)，，得，符合上式，所以的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】由（1）知，所以即數(shù)列的前n項(xiàng)和22、（1）（2）存在，1【解析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面向