2023-2024學年齊魯名校教科研協(xié)作體 山東、湖北部分重點中學高二數(shù)學第一學期期末達標檢測模擬試題含解析

2023-2024學年齊魯名校教科研協(xié)作體山東、湖北部分重點中學高二數(shù)學第一學期期末達標檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的通項公式是，則（）A10100 B.-10100C.5052 D.-50522．已知橢圓的長軸長為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長等于（）A.3 B.6C.8 D.123．已知實數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為（）A2 B.3C.4 D.54．已知，，若，則（）A.9 B.6C.5 D.35．2020年北京時間11月24日我國嫦娥五號探月飛行器成功發(fā)射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”三步走的收官之戰(zhàn)，經(jīng)歷發(fā)射入軌、地月轉移、近月制動、環(huán)月飛行、著陸下降、月面工作、月面上升、交會對接與樣品轉移、環(huán)月等待、月地轉移、再入回收等11個關鍵階段.在經(jīng)過交會對接與樣品轉移階段后，若嫦娥五號返回器在近月點（離月面最近的點）約為200公里，遠月點（離月面最遠的點）約為8600公里，以月球中心為一個焦點的橢圓形軌道上等待時間窗口和指令進行下一步動作，月球半徑約為1740公里，則此橢圓軌道的離心率約為（）A.0.32 B.0.48C.0.68 D.0.826．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項，前3項和為21，則()A.84 B.72C.33 D.1897．方程表示的圖形是A.兩個半圓 B.兩個圓C.圓 D.半圓8．七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，顧名思義，是由七塊板組成的.這七塊板可拼成許多圖形（1600種以上），如圖所示，某同學用七巧板拼成了一個“鴿子”形狀，若從“鴿子”身上任取一點，則取自“鴿子頭部”（圖中陰影部分）的概率是（）A. B.C. D.9．設，為雙曲線的上，下兩個焦點，過的直線l交該雙曲線的下支于A，B兩點，且滿足，，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．已知m是2與8的等比中項，則圓錐曲線x2﹣＝1的離心率是（）A.或 B.C. D.或11．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.612．在等差數(shù)列中，，則的公差為（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，向量，若，則實數(shù)的值為________.14．設函數(shù)的導函數(shù)為，已知函數(shù)，則______.15．已知拋物線的準線方程為，在拋物線C上存在A、B兩點關于直線對稱，設弦AB的中點為M，O為坐標原點，則的值為___________.16．向量，，若，且，則的值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，直線BC與平面PCD所成角的正弦值為.（1）求證：平面PCD⊥平面PAC；（2）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.18．（12分）已知數(shù)列，，其中，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，，且（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和19．（12分）已知雙曲線及直線（1）若與有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍（2）若與交于，兩點，且線段中點的橫坐標為，求線段的長20．（12分）已知三個條件①圓心在直線上；②圓的半徑為2；③圓過點在這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）（1）已知圓過點且圓心在軸上，且滿足條件________，求圓的方程；（2）在（1）的條件下，直線與圓交于、兩點，求弦長的最小值及相應的值21．（12分）如圖所示，在正方體中，E是棱的中點.（Ⅰ）求直線BE與平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一點F，使平面？證明你的結論.22．（10分）設函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論單調性；(2)證明：當時，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)已知條件，用并項求和法即可求得結果.【詳解】∵∴∴.故選：D.2、B【解析】根據(jù)橢圓中的關系即可求解.【詳解】橢圓的長軸長為10，焦距為8，所以，，可得，，所以，可得，所以該橢圓的短軸長，故選：B.3、B【解析】畫出可行域，找到最優(yōu)解，得最值.【詳解】畫出不等式組對應的可行域如下：平行移動直線，當直線過點時，.故選：B.4、D【解析】根據(jù)空間向量垂直的坐標表示即可求解.【詳解】.故選：D.5、C【解析】由題意可知，求出的值，從而可求出橢圓的離心率【詳解】解：由題意得，解得，所以離心率，故選：C6、A【解析】分析：設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)前三項的和為列方程，結合等比數(shù)列中，各項都為正數(shù)，解得，從而可以求出的值.詳解：設等比數(shù)列的公比為，首項為3，前三項的和為，，解之得或，在等比數(shù)列中，各項都為正數(shù)，公比為正數(shù)，舍去），，故選A.點睛：本題考查以一個特殊的等比數(shù)列為載體，通過求連續(xù)三項和的問題，著重考查了等比數(shù)列的通項，等比數(shù)列的性質和前項和等知識點，屬于簡單題.7、D【解析】其中，再兩邊同時平方，由此確定圖形【詳解】根據(jù)題意，，再兩邊同時平方，由此確定圖形為半圓.故選：D【點睛】幾何圖像中要注意與方程式是一一對應，故方程的中未知數(shù)的的取值范圍對應到圖形中的坐標的取值范圍8、C【解析】設正方形邊長為1，求出七巧板中“4”這一塊的面積，然后計算概率【詳解】設正方形邊長為1，由正方形中七巧板形狀知“4”這一塊是正方形，邊長為，面積為，所以概率為故選：C9、A【解析】設，表示出，由勾股定理列式計算得，然后在，再由勾股定理列式，計算離心率.【詳解】由題意得，，且，如圖所示，設，由雙曲線的定義可得，，因為，所以，得，所以，在中，，即.故選：A【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)10、A【解析】利用等比數(shù)列求出m，然后求解圓錐曲線的離心率即可【詳解】解：m是2與8的等比中項，可得m＝±4，當m=4時,圓錐曲線為雙曲線x2﹣＝1,它的離心率為：,當m=-4時，圓錐曲線x2﹣＝1為橢圓，離心率：，故選：A11、D【解析】根據(jù)全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【詳解】設正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D12、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質可得方程組，求得公差.【詳解】等差數(shù)列中,,，由通項公式可得解得故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)，由求解.【詳解】因為向量，向量，且，所以，解得，故答案為：214、【解析】首先求出函數(shù)的導函數(shù)，再令代入計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以，解得；故答案為：15、5【解析】先運用點差法得到，然后通過兩點距離公式求出結果詳解】解：拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為，設點，，，，的中點為，，則，，兩式相減得，即，又因為，兩點關于直線對稱，所以，解得，可得，則，故答案為：516、【解析】根據(jù)可求出，再根據(jù)向量垂直即可求出，即可得出答案.【詳解】因為，，所以，解得，又因為，所以，解得，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點，連接，證明，由線面垂直的判定定理可證明平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結論，（2）過點作于，以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，設，先根據(jù)直線BC與平面PCD所成角的正弦值為，求出，然后再求出平面PAB的法向量，利用向量的夾角公式可求得結果【小問1詳解】證明：取的中點，連接，因為AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，所以，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，因為平面，平面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面，【小問2詳解】過點作于，以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，在等腰梯形中，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，則，所以設因為平面，所以所以,設平面的法向量為，則，令，則，因為直線BC與平面PCD所成角的正弦值為，所以，解得，所以，，設平面的法向量為，因為，所以，令，則，所以，所以平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值為18、（1），（2）【解析】（1）利用公式法，基本量代換求出數(shù)列，的通項公式；（2）利用錯位相減法求和.【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為q，因為，所以，所以．所以，所以，所以．所以，所以，【小問2詳解】，所以，，所以.所以19、（1）且；（2）【解析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用方程組與兩個交點，求出k的范圍（2）設交點A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達定理以及弦長公式求解即可【詳解】（1）聯(lián)立y=2可得∵與有兩個不同的交點，且，且（2）設，由（1）可知，又中點的橫坐標為，，或又由（1）可知，為與有兩個不同交點時，20、（1）條件選擇見解析，圓的方程為（2）的最小值為，相應【解析】（1）選擇條件①或②或③，求得圓心和半徑，由此求得圓的方程.（2）首先求得直線過定點，根據(jù)求得最短弦長以及此時的值.【小問1詳解】若選條件①，由題意知，圓心是方程的解，解得，所以，設半徑為，則．則圓的方程為：若選條件②，設圓心，由題意知，所以圓心，半徑為，所以圓的方程為：若選條件③，設圓心，由題意知，即有，解得，圓心為，且半徑為，所以圓的方程為：【小問2詳解】由（1）圓的方程為：，圓心為，半徑.直線過定點，要使弦長最短，，，，，直線的斜率，也即直線的斜率為，所以.，，所以弦長最小值為21、（1）；（2）詳見解析【解析】設正方體的棱長為1.如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標系.（Ⅰ）依題意，得，所以.在正方體中，因為,所以是平面的一個法向量，設直線BE和平面所成的角為，則.即直線BE和平面所成的角的正弦值為.（Ⅱ）在棱上存在點F，使.事實上，如圖所示，分別取和CD的中點F，G，連結.因,且,所以四邊形是平行四邊形，因此.又E,G分別為，CD的中點，所以，從而.這說明，B，G，E共面，所以.因四邊形與皆為正方形，F(xiàn)，G分別為和CD的中點，所以，且，因此四邊形是平行四邊形，所以.而，，故.22、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）求導數(shù)，分和，兩種情況討論，即可求得的單調性；（2