2023-2024學年綿陽市重點中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

2023-2024學年綿陽市重點中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡稱黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（）A. B.C. D.2．過點且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.3．若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B.C. D.4．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)有兩個極值點m，n，且，則的最大值為（）A. B.C. D.6．某商場為了解銷售活動中某商品銷售量與活動時間之間的關系，隨機統(tǒng)計了某次銷售活動中的商品銷售量與活動時間，并制作了下表：活動時間銷售量由表中數(shù)據(jù)可知，銷售量與活動時間之間具有線性相關關系，算得線性回歸方程為，據(jù)此模型預測當時，的值為（）A B.C. D.7．已知，則下列說法錯誤的是（）A.若，分別是直線，的方向向量，則直線，所成的角的余弦值是B.若，分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則直線l與平面所成的角的正弦值是C.若，分別是平面，的法向量，則平面，所成的角的余弦值是D.若，分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則直線l與平面所成的角的正弦值是8．某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的k的值是A.3 B.4C.5 D.69．已知等差數(shù)列的公差為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10．雙曲線的光學性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（）A. B.C. D.11．如圖所示，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，則等于（）A. B.C. D.12．已知直線l和拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，且，交AB于點D，點D的坐標為，則p的值為（）A. B.1C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中項的系數(shù)為______．（結(jié)果用數(shù)值表示）14．數(shù)列的前項和為，若，則=____________.15．如圖，在五面體中，//，，，四邊形為平行四邊形，平面，，則直線到平面距離為_________16．定義在上的函數(shù)滿足：有成立且，則不等式的解集為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某情報站有．五種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周末使用的四種密碼中等可能地隨機選用一種．設第一周使用密碼，表示第周使用密碼的概率（1）求；（2）求證：為等比數(shù)列，并求的表達式18．（12分）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求.19．（12分）設點是拋物線上異于原點O的一點，過點P作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點（P、A、B三點互不相同）（1）已知點，求的最小值；（2）若，直線AB的斜率是，求的值；（3）若，當時，B點的縱坐標的取值范圍20．（12分）已知橢圓C：經(jīng)過點，且離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切線l與橢圓交于A，B兩點，都有．若存在，求出r的值，并求此時△AOB的面積S的取值范圍；若不存在，請說明理由21．（12分）在①，②，③，，成等比數(shù)列這三個條件中選擇符合題意的兩個條件，補充在下面的問題中，并求解.已知數(shù)列中，公差不等于的等差數(shù)列滿足_________，求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知橢圓的左右焦點分別為，，點在橢圓上，與軸垂直，且（1）求橢圓的方程；（2）若點在橢圓上，且，求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線中的，所以離心率，因為雙曲線是黃金雙曲線，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A2、A【解析】由題意設直線方程為，根據(jù)點在直線上求參數(shù)即可得方程.【詳解】由題設，令直線方程為，所以，可得.所以直線方程為.故選：A.3、B【解析】由題意可知圓心在第一象限，設圓心的坐標為，可得圓的半徑為，寫出圓的標準方程，利用點在圓上，求得實數(shù)的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.4、C【解析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【詳解】因為，又因為，，所以.故選：C5、C【解析】對求導得，得到m，n是兩個根，由根與系數(shù)的關系可得m，n的關系，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求單調(diào)性，進而得最值.【詳解】由得：m，n是兩個根，由根與系數(shù)的關系得：，故，令記，則，故在上單調(diào)遞減.故選：C6、C【解析】求出樣本中心點的坐標，代入回歸直線方程，求出的值，再將代入回歸方程即可得解.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，將樣本中心點的坐標代入回歸直線方程可得，解得，所以，回歸直線方程為，故當時，.故選：C.7、D【解析】利用空間角的意義結(jié)合空間向量求空間角的方法逐一分析各選項即可判斷作答.【詳解】對于A，因分別是直線的方向向量，且，直線所成的角為，則，A正確；對于B，D，因分別是直線l的方向向量與平面的法向量，且，直線l與平面所成的角為，則有，B正確，D錯誤；對于C，因分別是平面的法向量，且，平面所成的角為，則不大于，，C正確.故選：D8、B【解析】循環(huán)體第一次運行后；第二次運行后；第三次運行后，第四次運行后；循環(huán)結(jié)束，輸出值為4，答案選B考點：程序框圖的功能9、C【解析】利用等差數(shù)列的定義和數(shù)列單調(diào)性的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，即，此時，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”；若等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”.因此，“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.10、D【解析】設，根據(jù)題意可得，由雙曲線定義得、，進而求出（用表示），然后在中，應用勾股定理得出關系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設，則.因為，所以，則，則，又因為，所以，則,在中，，即，所以.故選：D11、D【解析】根據(jù)向量的線性運算公式化簡可得結(jié)果.【詳解】因為E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，所以，，所以，故選：D12、B【解析】由垂直關系得出直線l方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達定理以及數(shù)量積公式得出p的值.【詳解】，，即聯(lián)立直線和拋物線方程得設，則解得故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求解出該二項式展開式的通項，然后求解出滿足題意的項數(shù)值，帶入通項即可求解出展開式的系數(shù).【詳解】展開式通項為，由題意，令，解得，，所以項的系數(shù)為.故答案為：.14、【解析】利用裂項相消法求和即可.【詳解】解：因為，所以.故答案為：.15、【解析】利用等價轉(zhuǎn)化的思想轉(zhuǎn)化為點到面的距離，作，利用線面垂直的判定定理證明平面，然后計算使用等面積法，可得結(jié)果.【詳解】作如圖由//，平面，平面所以//平面所以直線到平面距離等價于點到平面距離又平面，平面所以，又，則平面，，所以平面平面，所以又平面，所以平面所以點到平面距離為由，所以又，所以在中，又故答案為：【點睛】本題考查線面垂直的綜合應用以及等面積法求高，重點在于使用等價轉(zhuǎn)換的思想，考驗理解能力，分析問題的能力，屬中檔題.16、【解析】由，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解即可【詳解】設,又有成立，函數(shù)，即是上的增函數(shù)，，即,，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，，（2）證明見解析，【解析】(1)根據(jù)題意可得第一周使用A密碼，第二周使用A密碼的概率為0，第三周使用A密碼的概率為，以此類推；(2)根據(jù)題意可知第周從剩下的四種密碼中隨機選用一種，恰好選到A密碼的概率為，進而可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義可知為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】，，，【小問2詳解】第周使用A密碼，則第周必不使用A密碼（概率為），然后第周從剩下的四種密碼中隨機選用一種，恰好選到A密碼的概率為故，即故為等比數(shù)列且，公比故，故18、（1）（2）1280【解析】（1）直接利用等差數(shù)列通項公式即可求解；（2）先判斷出數(shù)列單調(diào)性，由，則時，，時，；然后去掉絕對值，利用等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【小問1詳解】設數(shù)列的公差為，由，可知，∴;【小問2詳解】由（1）知，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，由，則時，，時，；.19、（1）；（2）3；（3）；【解析】（1）根據(jù)兩點之間的距離公式，結(jié)合點坐標滿足拋物線，構(gòu)造關于的函數(shù)關系，求其最值即可；（2）根據(jù)題意，求得點的坐標，設出的直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理求得點坐標，同理求得點坐標，再利用斜率計算公式求得即可；（3）根據(jù)題意，求得點的坐標，利用坐標轉(zhuǎn)化，求得關于的一元二次方程，利用其有兩個不相等的實數(shù)根，即可求得的取值范圍.【小問1詳解】因為點在拋物線上，故可得，又，當且僅當時，取得最小值.故的最小值為.【小問2詳解】當時，故可得，即點的坐標為；則的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，可得：，故可得，解得：，又故可得同理可得：，又的斜率，即.故為定值.【小問3詳解】當時，可得，此時，因為兩點在拋物線上，故可得，，因為，故可得，整理得：，，因為三點不同，故可得，則，即，，此方程可以理解為關于的一元二次方程，因為，故該方程有兩個不相等的實數(shù)根，，即，故，則，解得或.故點縱坐標的取值范圍為.【點睛】本題考察直線與拋物線相交時范圍問題，定值問題，解決問題的關鍵是合理且充分的利用韋達定理，本題計算量較大，屬綜合困難題.20、（1）（2）存在，，【解析】（1）利用離心率和橢圓所過點列出方程組，求出，求出橢圓方程；（2）假設存在，分切線斜率存在和不存在分類討論，根據(jù)向量數(shù)量積為0求出r的值，表達出△AOB的面積，利用基本不等式求出的取值范圍，進而求出△AOB面積的取值范圍.【小問1詳解】因為橢圓C：的離心率，且過點所以解得所以橢圓C的方程為【小問2詳解】假設存在⊙O：滿足題意，①切線方程l的斜率存在時，設切線方程l：y＝kx＋m與橢圓方程聯(lián)立，消去y得，(*)設，，由題意知，(*)有兩解所以，即由根與系數(shù)的關系可得，所以因為，所以，即化簡得，且，O到直線l的距離所以，又，此時，所以滿足題意所以存在圓的方程為⊙O：△AOB的面積，又因為當k≠0時當且僅當即時取等號又因為，所以，所以當k＝0時，②斜率不存在時，直線與橢圓交于兩點或兩點易知存在圓的方程為⊙O：且綜上，所以【點睛】求解圓錐曲線相關的三角形或四邊形面積取值范圍問題，需要先設出變量，表達出面積，利用基本不等式或者配方，導函數(shù)等求出最值，求出取值范圍，特別注意直線斜率存在和不存在的情況，需要分類討論.21、詳見解析【解析】根據(jù)已知求出的通項公式.當①②時，設數(shù)列公差為，利用賦值法得到與的關系式，列方程求出與，求出，寫出的通項公式，可得數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求和即可；選②③時，設數(shù)列公差為，根據(jù)題意得到與的關系式，解出與，寫出的通項公式，可得數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求和即可；選①③時，設數(shù)列公差為，根據(jù)題意得到與的關系式，發(fā)現(xiàn)無解，則等差數(shù)列不存在，故不合題意.【詳解】解：因為，，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，選①②時，設數(shù)列公差為，因為，所以，因為，所以時，，解得，，所以，所以.所以.（i）所以（ii）（i）（ii），得：所以.選②③時，設數(shù)列公差為，因為，所以，即，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，化簡得，因為，所以，從而，所以，所以，（i）所以（ii）（i）（ii），得：，