2023-2024學(xué)年遼寧省葫蘆島市協(xié)作校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年遼寧省葫蘆島市協(xié)作校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．為調(diào)查學(xué)生的課外閱讀情況，學(xué)校從高二年級(jí)四個(gè)班的182人中隨機(jī)抽取30人了解情況，若用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣的間隔和隨機(jī)剔除的個(gè)數(shù)分別為（）A.6，2 B.2，3C.2，60 D.60，22．如圖，樣本和分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的平均數(shù)分別為和，標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，則（）AB.C.D.3．若集合，，則A. B.C. D.4．在平面上給定相異兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線的虛軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.5．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，若不等式對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為（）A.3 B.C. D.7．已知直線m經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線m的斜率為（）A.-2 B.C. D.28．如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為（）A. B.C.8 D.129．在圓內(nèi)，過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A. B.C. D.10．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡稱黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（）A. B.C. D.11．過點(diǎn)且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為（）A B.C. D.12．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長線上一點(diǎn)，，則為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線方程為________.14．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第行從左向右的第2個(gè)數(shù)為____________.15．設(shè)，，若將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位能使其圖像與原圖像重合，則正實(shí)數(shù)的最小值為___________.16．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)為橢圓C的下頂點(diǎn)，直線MA與MB的斜率之積為.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P，Q為橢圓C上位于x軸下方的兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x12345678y56.53122.7517.815.9514.51312.5根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制了散點(diǎn)圖觀察散點(diǎn)圖，兩個(gè)變量間關(guān)系考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為，與x的相關(guān)系數(shù).（1）用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程；（2）用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好（精確到0.001），并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品非原料成本；（3）根據(jù)企業(yè)長期研究表明，非原料成本y服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，若非原料成本y在之外，說明該成本異常，并稱落在之外的成本為異樣成本，此時(shí)需尋找出現(xiàn)異樣成本的原因.利用估計(jì)值判斷上述非原料成本數(shù)據(jù)是否需要尋找出現(xiàn)異樣成本的原因？參考數(shù)據(jù)（其中）：0.340.1151.531845777.55593.0630.70513.9參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，相關(guān)系數(shù).18．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率等于，點(diǎn)，且的面積等于（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知斜率存在且不為0的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)在直線PB上時(shí)，直線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)；若不過，請說明理由19．（12分）已知雙曲線與有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值.20．（12分）如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥AB，PA⊥AD，且E、F分別是AC、PB的中點(diǎn)（1）證明：EF∥平面PCD；（2）求證：平面PBD⊥平面PAC21．（12分）已知斜率為的直線與橢圓：交于，兩點(diǎn)（1）若線段的中點(diǎn)為，求的值；（2）若，求證：原點(diǎn)到直線的距離為定值22．（10分）如圖所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱，上，且，（1）證明：點(diǎn)在平面BEF內(nèi)；（2）若，，，求直線與平面BEF所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法即可求解.【詳解】從人中抽取人，除以,商余，故抽樣的間隔為，需要隨機(jī)剔除人.故選：A.2、B【解析】直接根據(jù)圖表得到答案.【詳解】根據(jù)圖表：樣本數(shù)據(jù)均小于等于10，樣本數(shù)據(jù)均大于等于10，故；樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)大于樣本數(shù)據(jù)，故.故選：B.3、A【解析】通過解不等式得出集合B，可以做出集合A與集合B的關(guān)系示意圖，可得出選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，解不等式即，所以或，所以集合，作出集合A與集合B的示意圖如下圖所示：所以：，故選A【點(diǎn)睛】本題考查集合間的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】先求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)面積的最大值求得，根據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，，,依題意得,即,兩邊平方化簡得,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓心為,半徑的圓，當(dāng)位于圓的最高點(diǎn)時(shí)的面積最大，所以,解得；當(dāng)位于圓的最左端時(shí)的面積最小，所以,解得,故雙曲線的離心率為.故選:C.5、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分離參數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)由題意，得，即對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，又，所以，即故選：D6、D【解析】應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求在上投影長及的模長，再應(yīng)用勾股定理求點(diǎn)C到直線AB的距離.【詳解】因?yàn)?，，所以設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，則故選：D7、A【解析】根據(jù)斜率公式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為：.故選：A8、B【解析】首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意知，該幾何體是一個(gè)由8個(gè)全等的正三角形圍成的多面體，正三角形的邊長為：，正三角形邊上的一條高為：，所以一個(gè)正三角形的面積為：，所以多面體的表面積為：.故選：B9、D【解析】由題，求得圓的圓心和半徑，易知最長弦，最短弦為過點(diǎn)與垂直的弦，再求得BD的長，可得面積.【詳解】圓化簡為可得圓心為易知過點(diǎn)的最長弦為直徑，即而最短弦為過與垂直的弦，圓心到的距離：所以弦所以四邊形ABCD的面積：故選：D10、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線中的，所以離心率，因?yàn)殡p曲線是黃金雙曲線，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A11、C【解析】設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的值，即可的解.【詳解】設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，代入點(diǎn)，得，解得，所以所求雙曲線方程為，即故選：C.12、B【解析】根據(jù)空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】因?yàn)闉閳A的弦的中點(diǎn)，所以圓心坐標(biāo)為，，所在直線方程為，化簡為，故答案為.考點(diǎn)：1、兩直線垂直斜率的關(guān)系；2、點(diǎn)斜式求直線方程.14、【解析】通過觀察、分析、歸納，找出規(guī)律運(yùn)算求解即可【詳解】前行共有正整數(shù)個(gè)，即個(gè)，因此第行第個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第個(gè)，即為故答案為：15、【解析】根據(jù)正弦型函數(shù)圖像平移法則和正弦函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解題.【詳解】解：由題意得：函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得：該函數(shù)與原函數(shù)圖像重合故可知，即故當(dāng)時(shí)，最小正實(shí)數(shù).故答案為：16、（1）（2）【解析】（1）由斜率之積求得，再由已知條件得，從而得橢圓方程；（2）延長QF2交橢圓于N點(diǎn)，連接，，設(shè)直線，，.直線方程代入橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得，結(jié)合不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性可得的范圍，再計(jì)算出四邊形面積得結(jié)論【小問1詳解】由題知：，，，又，∴橢圓.【小問2詳解】延長QF2交橢圓于N點(diǎn)，連接，，如下圖所示：，∴設(shè)直線，，.由，得，，，.，由勾形函數(shù)的單調(diào)性得，根據(jù)對稱性得：，且，，∴四邊形面積的最大值為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）反比例函數(shù)模型擬合效果更好，產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本約為11元，（3）見解析【解析】（1）令，則可轉(zhuǎn)化為，求出樣本中心，回歸方程的斜率，轉(zhuǎn)化求回歸方程即可，（2）求出與的相關(guān)系數(shù)，通過比較，可得用反比例函數(shù)模型擬合效果更好，然后將代入回歸方程中可求結(jié)果（3）利用已知數(shù)據(jù)求出樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，從而可得非原料成本y服從正態(tài)分布，再計(jì)算，然后各個(gè)數(shù)據(jù)是否在此范圍內(nèi)，從而可得結(jié)論【小問1詳解】令，則可轉(zhuǎn)化為，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以y關(guān)于x的回歸方程為【小問2詳解】與的相關(guān)系數(shù)為因?yàn)?，所以用反比例函?shù)模型擬合效果更好，把代入回歸方程得（元），所以產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本約為11元【小問3詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)闃颖緲?biāo)準(zhǔn)差為，所以，所以非原料成本y服從正態(tài)分布，所以因?yàn)樵谥猓孕枰朔窃铣杀緮?shù)據(jù)尋找出現(xiàn)異樣成本的原因18、（1）（2）【解析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為,設(shè)，用“設(shè)而不求法”表示出和.表示出直線PB，把A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為帶入后整理化簡，即可得到，從而可以判斷出直線恒過定點(diǎn).【小問1詳解】由題意可得：，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】由題意可知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線的方程為,設(shè)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為.聯(lián)立方程組，消去y可得：,所以.因?yàn)橹本€PB的方程為,且點(diǎn)D在直線PB上,所以則，所以，則,故，因?yàn)閗≠0,所以，則直線l的方程為，所以直線恒過定點(diǎn).19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)所求雙曲線與有共同的漸近線可設(shè)出所求雙曲線方程為，在根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，代入雙曲線方程中即可求解.（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得出的關(guān)系，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓方程即可求解.【小問1詳解】由題意，設(shè)雙曲線的方程為，則又因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，，所以雙曲線的方程為：【小問2詳解】由，消去整理，得，設(shè)，則因?yàn)橹本€與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，所以，解得.，所以則中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入圓得，解得.實(shí)數(shù)的值為20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】(1)連結(jié)，證明EF∥PD即可；(2)證明BD⊥平面PAC即可【小問1詳解】連結(jié)，則是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，，又平面，面，平面【小問2詳解】∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，AB、AD平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，∵BD平面ABCD，∴PA⊥BD，是菱形，，又，平面，又平面，∴平面平面﹒21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法即可求出的值；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，寫韋達(dá)；根據(jù)，求出，從而可證明原點(diǎn)到直線的距離為定值【小問1詳解】設(shè)，則，，兩式相減，得，即，所以，即，又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，即；【小問2詳解】設(shè)斜率為的直線為，，由，得，所以，，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，即，所以，原點(diǎn)到直線的距離為.所以原點(diǎn)到直線的距離為定值.22、（1）證明