2023-2024學(xué)年黃南市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年黃南市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.12．設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點(diǎn)，則A. B.C. D.3．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則（）A10100 B.-10100C.5052 D.-50524．已知函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.5．已知公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，則（）A.2 B.4C.5 D.256．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A.12 B.14C.16 D.187．點(diǎn)A是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的最小距離為（）A. B.C. D.8．已知三棱柱中，，，D點(diǎn)是線段上靠近A的一個三等分點(diǎn)，則（）A. B.C. D.9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A B.C. D.10．定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知正的邊長為，那么的平面直觀圖的面積為（）A. B.C. D.12．已知拋物線，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C.1 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)______.14．已知△ABC的周長為20，且頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是______15．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：，驗(yàn)證時，等式左邊________16．如圖所示，直線是曲線在點(diǎn)處的切線，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）如圖，在三棱錐中，，，記二面角的平面角為（1）若，，求三棱錐的體積；（2）若M為BC的中點(diǎn)，求直線AD與EM所成角的取值范圍19．（12分）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，一條漸近線的傾斜角為60°（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）求分別以，為左、右頂點(diǎn)，短軸長等于雙曲線虛軸長的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程20．（12分）已知直線過點(diǎn)，且被兩條平行直線，截得的線段長為.（1）求的最小值；（2）當(dāng)直線與軸平行時，求的值.21．（12分）已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求證：在上恒成立22．（10分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1＋a5＝-12，a4＋a8＝0.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列{bn}滿足b1＝-8，b2＝a1＋a2＋a3，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由可得拋物線標(biāo)椎方程為：，由焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程即可得解.【詳解】由可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了焦點(diǎn)和準(zhǔn)線相關(guān)基本量，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】設(shè)，則，若函數(shù)在x∈R上有大于零的極值點(diǎn)即有正根，當(dāng)有成立時，顯然有，此時．由，得參數(shù)a的范圍為．故選B考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值3、D【解析】根據(jù)已知條件，用并項(xiàng)求和法即可求得結(jié)果.【詳解】∵∴∴.故選：D.4、A【解析】分離參數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)有兩個零點(diǎn)可知函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意得有兩個零點(diǎn)令,則且所以，在上為增函數(shù)，可得，當(dāng)，在上單調(diào)遞減，可得，即要有兩個零點(diǎn)有兩個零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解5、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)求得，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，則.故選：B.6、D【解析】利用給定的通項(xiàng)公式直接計(jì)算即得.【詳解】因數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則有，所以.故選：D7、A【解析】動點(diǎn)在曲線，則找出曲線上某點(diǎn)的斜率與直線的斜率相等的點(diǎn)為距離最小的點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可【詳解】不妨設(shè)，定義域?yàn)椋簩η髮?dǎo)可得：令解得：（其中舍去）當(dāng)時，，則此時該點(diǎn)到直線的距離為最小根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得：解得：故選：A8、A【解析】在三棱柱中，，轉(zhuǎn)化為結(jié)合已知條件計(jì)算即可.【詳解】在三棱柱中，滿足，且，則，，D點(diǎn)是線段上靠近A的一個三等分點(diǎn)，則，由向量的減法運(yùn)算得，.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在三棱柱中，，由向量的減法運(yùn)算得，再展開利用數(shù)量積運(yùn)算.9、B【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求得的值，再結(jié)合等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，故.故選：B.10、B【解析】，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得或，解之即可得解.【詳解】解：，由題意可得或即或，解得或故選：B.11、D【解析】作出正的實(shí)際圖形和直觀圖，計(jì)算出直觀圖的底邊上的高，由此可求得的面積.【詳解】如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖.由斜二測畫法可知，，，在圖②中作于，則.所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直觀圖面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】化簡拋物線的方程為，求得，即為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題意，拋物線，即，解得，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及積的求導(dǎo)法則計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，則，所以.故答案為：14、.【解析】由周長確定，故軌跡是橢圓，注意焦點(diǎn)位置和摳除不符合條件的點(diǎn)即可.【詳解】解：，所以，，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是.故答案為：.【點(diǎn)睛】考查橢圓定義的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.15、【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可解答.【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：，驗(yàn)證時，等式左邊=.故答案為：.16、##【解析】利用直線所過點(diǎn)求得直線的斜率，從而求得.【詳解】由圖象可知直線過，所以直線的斜率為，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，，求出切線方程即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)函數(shù)求出的最大值，求出的范圍即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，則切線的斜率為，又因?yàn)椋瑒t切點(diǎn)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即【小問2詳解】當(dāng)時，令得，列表得x001↘極小值↗所以當(dāng)時，的最大值為由題意知，故，解之得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18、（1）（2）【解析】（1）作出輔助線，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出，求出底面積和高，進(jìn)而求出三棱錐的體積；（2）利用空間基底表達(dá)出，結(jié)合第一問結(jié)論求出，從而求出答案.【小問1詳解】取AC的中點(diǎn)F，連接FD，F(xiàn)E，由BC=2，則，故DF⊥AC，EF⊥AC，故∠DFE即為二面角的平面角，即，連接DE，作DH⊥FE，因?yàn)椋云矫鍰EF，因?yàn)镈H平面DEF，所以AC⊥DH，因?yàn)?，所以DH⊥平面ABC，因?yàn)椋晒垂啥ɡ淼茫?，，又，由勾股定理逆定理可知，AE⊥CE，且∠BAC=，，在△ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），則，因?yàn)椋浴鱀EF為等邊三角形，則，故三棱錐的體積；【小問2詳解】設(shè)，則，，由（1）知：，，取為空間中的一組基底，則，由第一問可知：，則其中，且，，故，由第一問可知，又是的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)槿忮F中，所以，所以，故直線AD與EM所成角范圍為.【點(diǎn)睛】針對于立體幾何中角度范圍的題目，可以建立空間直角坐標(biāo)系來進(jìn)行求解，若不容易建立坐標(biāo)系時，也可以通過基底表達(dá)出各個向量，進(jìn)而求出答案.19、（1），2（2）【解析】（1）結(jié)合，聯(lián)立即得解；（2）由題意，即得解.【詳解】（1）由題意，又解得：故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，離心率為（2）由題意橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓方程為故即橢圓方程為：20、（1）3；（2）5【解析】（1）由題可得和的距離即為的最小值；（2）可得此時直線的方程為，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可求出距離.【詳解】（1）由題可得當(dāng)且時，取得最小值，即和的距離，由兩平行線間的距離公式，得，所以的最小值為3.（2）當(dāng)直線與軸平行時，方程為，設(shè)直線與直線，分別交于點(diǎn)，，則，，所以，即，所以.21、（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】（1）求得，根據(jù)其正負(fù)，即可判斷函數(shù)單調(diào)性從而求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化目標(biāo)不等式為，分別構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可證明.【小問1詳解】因?yàn)椋士傻?，又為單調(diào)增函數(shù)，令，解得，故當(dāng)時，；當(dāng)時，，故的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時，，要證，即證，又，則只需證，即證，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得最大值；令，，又為單調(diào)增函數(shù)，且時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得最小值.則，且當(dāng)時，同時取得最小值和最大值，故，即，也即時恒成立.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題；處理本題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，屬中檔題.22、（1）an＝2n-12；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，然后根