2023-2024學(xué)年廣東省惠州市惠東中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年廣東省惠州市惠東中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列中，為其前項和，若．則（）A. B.C. D.2．劉徽是一個偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，他所提出的割圓術(shù)可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度.割圓術(shù)的第一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積.若在圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是（）A. B.C. D.3．函數(shù)的值域為（）A. B.C. D.4．如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x5．過坐標原點作直線的垂線，垂足為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知直線是圓的對稱軸，過點A作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.87．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，，公差為d，，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.當時，取得最大值C. D.使得成立的最大自然數(shù)n是158．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記{兩次的點數(shù)均為奇數(shù)}，{兩次的點數(shù)之和為8}，則（）A. B.C. D.9．函數(shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為（）A. B.0C. D.110．已知數(shù)列的通項公式為，其前項和為，則滿足的的最小值為（）A.30 B.31C.32 D.3311．若，，，則a，b，c與1的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.12．函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，，則的解集為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在處的切線方程為_________14．若函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點,則a的值為_____15．若，滿足約束條件，則的最大值為_____________16．已知數(shù)列的通項公式，則數(shù)列的前5項為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖1是一張長方形鐵片，，，，分別是，中點，，分別在邊，上，且，將它卷成一個圓柱的側(cè)面圖2，使與重合，與重合.（1）求證：平面；（2）求幾何體的體積.18．（12分）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓E于A，B兩點．當軸時，（1）求橢圓E的方程；（2）求的范圍19．（12分）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：.20．（12分）解下列不等式：（1）；（2）.21．（12分）已知圓，圓，動圓與圓外切，且與圓內(nèi)切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程，并說明軌跡是何種曲線；（2）設(shè)過點的直線與直線交于兩點，且滿足的面積是面積的一半，求的面積22．（10分）如圖，已知等腰梯形，，為等腰直角三角形，，把沿折起（1）當時，求證：；（2）當平面平面時，求平面與平面所成二面角的平面角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得.故選：C.2、B【解析】此點取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是正六邊形面積除以圓的面積，分別求出即可.【詳解】如圖，在單位圓中作其內(nèi)接正六邊形，該正六邊形是六個邊長等于半徑的正三角形，其面積，圓的面積為則所求概率.故選：B【點睛】此題考查幾何概率模型求解，關(guān)鍵在于準確求出正六邊形的面積和圓的面積.3、C【解析】根據(jù)基本不等式即可求出【詳解】因為，當且僅當時取等號，所以函數(shù)的值域為故選：C4、C【解析】過點A，B分別作準線的垂線，交準線于點E，D，設(shè)|BF|＝a，利用拋物線的定義和平行線的性質(zhì)、直角三角形求解【詳解】如圖，過點A，B分別作準線的垂線，交準線于點E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由拋物線定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因為|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，從而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此拋物線的方程為y2＝3x，故選：C.5、D【解析】求出直線直線過的定點A，由題意可知垂足是落在以O(shè)A為直徑的圓上，由此可利用的幾何意義求得答案,【詳解】直線，即，令，解得，即直線過定點,由過坐標原點作直線的垂線，垂足為，可知：落在以O(shè)A為直徑的圓上，而以O(shè)A為直徑的圓為，如圖示：故可看作是圓上的點到原點距離的平方，而圓過原點，圓上點到原點的最遠距離為，但將原點坐標代入直線中，不成立，即直線l不過原點，所以不可能和原點重合，故，故選：D6、C【解析】首先將圓心坐標代入直線方程求出參數(shù)a，求得點A的坐標，由切線與圓的位置關(guān)系構(gòu)造直角三角形從而求得.【詳解】圓即，圓心為，半徑為r=3，由題意可知過圓的圓心，則，解得，點A坐標為，，切點為B則，故選:C【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列等差中項的性質(zhì)，求和公式及單調(diào)性分別判斷.【詳解】因為，，所以，則，故A正確;當時,取得最大值，故B正確;，故C正確;因為，，，所以使得成立的最大自然數(shù)是，故D錯誤.故選：D8、B【解析】利用條件概率公式進行求解.【詳解】，其中表示：兩次點數(shù)均為奇數(shù)，且兩次點數(shù)之和為8，共有兩種情況，即，故，而，所以，故選：B9、A【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，計算得切線斜率，由斜率求得傾斜角【詳解】，設(shè)傾斜角為，則，，故選：A10、C【解析】由條件可得得出，再由解出的范圍，得出答案.【詳解】由，則由，即，即，所以所以滿足的的最小值為為32故選：C11、C【解析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，并求其導(dǎo)數(shù)，判斷該函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此作出該函數(shù)的大致圖象，由圖象可判斷a，b，c與1的大小關(guān)系.【詳解】令，則當時，，當時，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,而，由可知，故作出函數(shù)大致圖象如圖：由圖象易知，，故選：C.12、D【解析】分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，且有，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到且，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以函數(shù)在處的切線方程為，即，即切線方程為.故答案為：.14、a＝3【解析】對函數(shù)進行求導(dǎo),分類討論函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性結(jié)合已知可以求出a的值.【詳解】∵函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點,∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①當a≤0時，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0,函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增,f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上沒有零點,舍去；②當a＞0時，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解為x，∴f（x）在（0,）上遞減,在（,+∞）遞增，又f（x）只有一個零點,∴f（）1＝0，解得a＝3故答案為：a＝3【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究已知函數(shù)的零點求參數(shù)取值問題,考查了分類討論和數(shù)學(xué)運算能力.15、6【解析】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，再將目標函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動的過程中，結(jié)合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線過B點時取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點B的坐標代入目標函數(shù)解析式，求得最大值.【詳解】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應(yīng)的可行域，如圖所示：由，可得，畫出直線，將其上下移動，結(jié)合的幾何意義，可知當直線在y軸截距最大時，z取得最大值，由，解得，此時，故答案為6.點睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標，代入求值，要明確目標函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.16、【解析】根據(jù)數(shù)列的通項公式可得答案.【詳解】因為，所以數(shù)列的前5項為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析.（2）.【解析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定可得證；（2）作圓柱的母線，由平面幾何知識可得四邊形為平行四邊形，利用等體積法可求得，由幾何體的體積，可求得答案.【小問1詳解】證明：∵是直徑，∴，∵平面，平面，∴，∵平面，平面，，∴平面；【小問2詳解】如圖，作圓柱的母線，則，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，且①又依題知，，，為底面圓的四等分點，∴，且②由①②知四邊形為平行四邊形，得，且，∴，∵到面的距離為，∴，所以幾何體的體積.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率及通徑長求出橢圓方程；（2）分直線AB斜率存在和斜率不存在兩種情況得到的范圍，進而得到答案.【小問1詳解】當軸時，取代入橢圓方程得：，得，所以，又，解得，，所以橢圓方程為【小問2詳解】由，記，當軸時，由（1）知：，所以，當AB斜率為k時，直線AB為，，消去y得，所以，，所以，綜上，的范圍是.19、見解析【解析】將代入式子，得到，，進而進行化簡，最后通過基本不等式證明問題.【詳解】∵，，，∴，.∴＝，當且僅當，即時取“＝”20、（1）（2）【解析】（1）利用十字相乘解題即可（2）利用分子分母同號為正，異號為負思想，注意討論分母不為0【小問1詳解】由題，即，解得或，即；【小問2詳解】由題，解得或，即21、（1）（2）或【解析】（1）設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為，由題意，，從而可得，由橢圓的定義即可求解；（2）由題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理及點為線段的中點，可得，利用弦長公式求出及到直線AB的距離即可得的面積.【小問1詳解】解：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設(shè)圓的半徑為，由題意，，所以，由橢圓的定義可知，動圓圓心的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，則，所以，所以動圓圓心的軌跡的方程為；【小問2詳解】解：由題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)，，由，可得，所以①，②，且，即，因為的面積是面積的一半，所以點為線段的中點，所以，即③，聯(lián)立①②③可得，所以，因為到直線AB的距離，，所以，所以當時，，當時，.所以的面積為或.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點E，連，證明四邊形為平行四邊形，從而可得為等邊三角形，四邊形為菱形，從而可證，，即可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）取的中點M，連