2023-2024學(xué)年廣東省廣州三中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年廣東省廣州三中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.都有可能2．如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點，E為AD的中點，則可用向量，，表示為（）A. B.C. D.3．在正方體中，為棱的中點，為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.1C.2 D.45．（2017新課標(biāo)全國卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A. B.C. D.6．①直線在軸上的截距為；②直線的傾斜角為；③直線必過定點；④兩條平行直線與間的距離為.以上四個命題中正確的命題個數(shù)為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（）A. B.C.1 D.8．設(shè)是雙曲線與圓在第一象限的交點，，分別是雙曲線的左，右焦點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬元購進(jìn)一臺新設(shè)備用于生產(chǎn).第一年需運營費用萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加萬元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為萬元.設(shè)該設(shè)備使用了年后，年平均盈利額達(dá)到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.11．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100血液中酒精含量在20~80之間為酒后駕車，80及以上為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每小時20%的速度減少，若他想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經(jīng)過的小時數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.6 B.7C.8 D.912．已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.外切C.相交 D.內(nèi)切二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.已知平面直角坐標(biāo)系中各頂點的坐標(biāo)分別為，，，則其“歐拉線”的方程為___________.14．點到拋物線上的點的距離的最小值為________.15．已知滿足的雙曲線（a，b＞0，c為半焦距）為黃金雙曲線，則黃金雙曲線的離心率為______16．設(shè)變量x，y滿足約束條件則的最大值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，我國某科研機(jī)構(gòu)開展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進(jìn)入二期臨床試驗.根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會產(chǎn)生抗體，人體中檢測到抗體，說明有抵御病毒的能力.通過檢測，用表示注射疫苗后的天數(shù)，表示人體中抗體含量水平（單位：，即：百萬國際單位/毫升），現(xiàn)測得某志愿者的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：天數(shù)123456抗體含量水平510265096195根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖.（1）根據(jù)散點圖判斷，與（a，b，c，d均為大于0的實數(shù)）哪一個更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；（3）從這位志愿者前6天的檢測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取4天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析，記其中的y值大于50的天數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中.參考公式：用最小二乘法求經(jīng)過點，，，，的線性回歸方程的系數(shù)公式，；.18．（12分）已知函數(shù)．若圖象上的點處的切線斜率為（1）求a，b的值；（2）的極值19．（12分）已知拋物線的焦點為，且為圓的圓心．過點的直線交拋物線與圓分別為，，，（從上到下）（1）求拋物線方程并證明是定值；（2）若，的面積比是，求直線的方程20．（12分）已知，，分別是銳角內(nèi)角，，的對邊，，.（1）求的值；（2）若的面積為，求的值.21．（12分）已知橢圓C：，右焦點為F(，0)，且離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上不同的兩點，且直線MN與圓O：相切，若T為弦MN的中點，求|OT||MN|的取值范圍22．（10分）設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.（1）若“x∈A”是“x∈B”充分條件，求a的取值范圍；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】求出圓心到直線的距離，然后與圓的半徑進(jìn)行大小比較即可求解.【詳解】解：圓的圓心，，因為圓心到直線的距離，所以直線與圓的位置關(guān)系是相交，故選：A.2、B【解析】利用空間向量的基本定理，用，，表示向量【詳解】因為是的中點，是的中點，，故選：B3、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，計算平面的法向量，利用線面角的向量公式即得解【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長為2，連接，以為坐標(biāo)原點如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，由于平面，平面，故又正方形，故平面故平面，所以為平面的一個法向量，故直線與平面所成角正弦值為.故選：D4、B【解析】根據(jù)遞推式以及迭代即可.【詳解】由，得，，，，，，.故選：B5、A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問題，其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.6、B【解析】由直線方程的性質(zhì)依次判斷各命題即可得出結(jié)果.【詳解】對于①，直線，令，則，直線在軸上的截距為-，則①錯誤；對于②，直線的斜率為，傾斜角為，則②正確；對于③直線，由點斜式方程可知直線必過定點，則③正確；對于④，兩條平行直線與間的距離為，則④錯誤.故選：B.7、B【解析】直接求導(dǎo)，令求出，再將帶入原函數(shù)即可求解.【詳解】由得，當(dāng)時，，解得，所以，.故選：B8、B【解析】先由雙曲線定義與題中條件得到，，求出，，再由題意得到，即可根據(jù)勾股定理求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)雙曲線定義：，，∴，∴，，，∴是圓的直徑，∴，中，，得故選【點睛】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于常考題型.9、B【解析】當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而求得取值范圍，當(dāng)斜率不存在是，可得，兩點坐標(biāo)，進(jìn)而可得的值.【詳解】當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立方程，得，恒成立，則，，，，，所以，當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，所以，，，綜上所述：，故選：B.10、D【解析】設(shè)該設(shè)備第年的營運費為萬元，利用為等差數(shù)列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設(shè)該設(shè)備第年的營運費為萬元，則數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，則該設(shè)備使用年的營運費用總和為，設(shè)第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故當(dāng)時，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點睛】本題考查等差數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用，注意根據(jù)題設(shè)條件概括出數(shù)列的類型，另外用基本不等式求最值時注意檢驗等號成立的條件.11、C【解析】根據(jù)題意列出不等式，利用指對數(shù)冪的互化和對數(shù)的運算公式即可解出不等式.【詳解】設(shè)該駕駛員至少需經(jīng)過x個小時才能駕駛汽車，則，所以，則，所以該駕駛員至少需經(jīng)過約8個小時才能駕駛汽車.故選：C12、C【解析】求出兩圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑和與差的關(guān)系，判斷圓與圓的位置關(guān)系【詳解】圓：的圓心為，半徑，圓：，即，圓心，半徑，兩圓的圓心距，顯然，即，所以圓與圓相交.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意知是直角三角形，即可寫出垂心、外心的坐標(biāo)，進(jìn)而可得“歐拉線”的方程.【詳解】由題設(shè)知：是直角三角形，則垂心為直角頂點，外心為斜邊的中點，∴“歐拉線”的方程為.故答案為：.14、【解析】設(shè)出拋物線上點的坐標(biāo)，利用兩點間距離公式，配方求出最小值.【詳解】設(shè)拋物線上的點坐標(biāo)，則，當(dāng)時，取得最小值，且最小值為.故答案為：15、##【解析】根據(jù)題設(shè)及雙曲線離心率公式可得，結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)即可求離心率.【詳解】由題設(shè)，，整理得：，所以，而，故.故答案為：.16、【解析】根據(jù)線性約束條件畫出可行域，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)直線在軸上截距最大時即可求出答案.【詳解】畫出可行域，如圖，由，得，由圖可知，當(dāng)直線過點時，有最大值，且最大值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2），4023.87（3）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】（1）由于這些點分布在一條曲線的附近，從而可選出回歸方程，（2）設(shè)，，則建立w關(guān)于x的回歸方程，然后根據(jù)公式和表中的數(shù)據(jù)求解回歸方程即可，再將代入回歸方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值，（3）由題意可知x的可能取值為0，1，2，然后求對應(yīng)的概率，從而可求出分布列和期望【小問1詳解】根據(jù)散點圖可知這些點分布在一條曲線的附近，所以更適合作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型.【小問2詳解】設(shè)，變換后可得，設(shè)，建立w關(guān)于x的回歸方程，，所以所以w關(guān)于x的回歸方程為，所以，當(dāng)時，，即該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為4023.87miu/mL.【小問3詳解】由表格數(shù)據(jù)可知，第5，6天的y值大于50，故x的可能取值為0，1，2，，，，X的分布列為012.18、（1）（2）極大值為，極小值為【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)圖象上的點處的切線斜率為，列出方程組，解之即可得解；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得解.【小問1詳解】解：，，；【小問2詳解】解：由（1）得，令，得或，，－1（－1，3）3＋0－0＋的極大值為，極小值為.19、（1），證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理即可獲解（2），再結(jié)合焦點弦公式即可獲解【小問1詳解】由題知，故，拋物線方程為，設(shè)直線的方程為，，，，，，得，，，，【小問2詳解】，由（1）知，可求得，，故的方程為，即【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是要把面積的比例關(guān)系轉(zhuǎn)為為邊的比例關(guān)系20、（1）；（2）4.【解析】（1）由正弦定理即可得答案.（2）根據(jù)題意得到，再由關(guān)于角的余弦定理和整理化簡得，再由的面積，即可求出的值.【小問1詳解】由及正弦定理可得.【小問2詳解】由銳角中得，根據(jù)余弦定理可得，代入得，整理得，即，解得，，解得.21、（1）；（2）[，3].【解析】（1）由題可得，即求；（2）當(dāng)直線的斜率不存在或為0，易求，當(dāng)直線MN斜率存在且不為0時，設(shè)直線MN的方程為：，利用直線與圓相切可得，再聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理求得，然后利用基本不等式即得.【小問1詳解】由題可得，∴??=2，??=∴橢圓C的方程為：；小問2詳解】當(dāng)直線MN斜率為0時，不妨取直線MN為??=，則，此時，則；當(dāng)直線MN斜率不存在，不妨取直線MN為x=，則，此時，則；當(dāng)直線MN斜率存在且不為0時，設(shè)直線MN的方程為：，，因為直線MN與圓相切，所以，即，又因為直線MN與橢圓C交于M，N兩點：由，得，則，所以MN中點T坐標(biāo)為，則，，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)，即取